4.3.1 等比数列的概念（第2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质及应用 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质. 2.能够运用等比数列的性质解决有关问题. 3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　等比数列{an}的常用性质 1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则　　　　　　　.  2.an=am·　　　　(q为公比,m,n∈N*).  3.在等比数列{an}中,公比为q,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为　　　　　　.  5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1. 可以将两项的乘积进行转化 aman=apaq qn-m qk+1 名师点睛 等比数列{an}的增减性 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列. (2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. (3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. 过关自诊 1.若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?若不是,则是什么条件? 提示 不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件. 2.[北师大版教材习题]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(　　) A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 B 所以新数列{anan+1}是公比为q2的等比数列. 3.在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=　　　　　.  答案 2 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　等比数列性质的应用 【例1】 已知{an}为等比数列. (1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. ∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5. (2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10. 变式探究1在例1(1)中,添加条件a1a7=4,其他条件不变,求an. 解 由等比数列的性质得a3a5=a1a7=4, 又由例1(1)知a3+a5=5,解得a3=1,a5=4或a3=4,a5=1. 由an>0知公比q>0,若a3=1,a5=4,则q=2,an=2n-3; 若a3=4,a5=1,则q= ,an=25-n. 变式探究2把例1(2)的条件改为“an>0,公比q为3,a1a2a3…a30=3300”,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解 由已知得a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10) =q300(a1a2a3…a10)3=3300,又q=3,∴a1a2a3…a10=1,则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0. 规律方法　应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题. (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman= 进行求解. 探究点二　等比数列的综合问题 【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数. 分析 用两个未知数表示这四个数,结合已知条件列方程组. 变式探究1将本例中的条件改为“有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80”,求这四个数. 探究点三　等比数列的实际应用 【例3】 [北师大版教材习题]某工厂2016年产值为200万元,计划从2017年开始,每年的产值比上一年增长20%.问至少从哪年开始,该厂的年产值可超过1 200万元?(lg 2≈0.3,lg 6≈0.78) 解 每年的产值构成等比数列{an},a1=200,公比q=1+20%=1.2. 由an=200×1.2n-1>1 200,得n>1+log1.26≈1+9.75=10.75,n≥11. 即至少从2026年开始,该厂的年产值可超过1 200万元. 规律方法　等比数列实际应用的求解策略 (1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要. 变式训练一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么　　　　分钟后,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).  答案 45　 解析 由题意,得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据内存64 MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而所用时间为15×3=45(分钟). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列的性质及应用. (2)等比数列中项的设解技巧. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳:定义法、类比、分类讨论. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 17 18 19 1.[探究点一]在等比数列{an}中,a2=27,公比q=- ,则a5=(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 C 解析 在等比数列{an}中,a2=27,q=- ,则a5=a2q3=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点一]已知等比数列{an},a3a10a17=8,则a10=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 解析 由题意可得a3a10a17=(a10)3=8,则a10=2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.[探究点一]在等比数列{an}中,a1=7,a4=a3a5,则a7=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.[探究点三]将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10=440 Hz,则与第四个单音的频率f4最接近的是(　　) A.880 Hz B.622 Hz C.311 Hz D.220 Hz C 解析 由题意,设十三个单音的频率构成的等比数列{fn}的公比为q,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点一](多选题)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为(　　) CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点一]已知等比数列{an}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17=　　　　.  34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点一]设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an, b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an. 解 设数列{an}的公比为q,则a1>0,q>0,∵b1+b2+b3=3, ∴log2a1+log2a2+log2a3=3, ∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8, ∴a2=2. ∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3, ∴log2a1·log2a3=-3,∴log2 ·log2a2q=-3,即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B级 关键能力提升练 9.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.某工厂去年产值为a,计划从今年起10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第(　　)年这个工厂的产值将超过2a. A.6 B.7 C.8 D.9 C 解析 设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.在正项等比数列{an}中,a3=2,16 =a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是(　　) A.T3 B.T4 C.T5 D.T6 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知数列{an}是等比数列,满足a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且b8=a8,则b7+b9=(　　) A.24 B.16 C.8 D.4 C 解析 ∵数列{an}是等比数列, ∴a8=4.又{bn}是等差数列,b8=a8,∴b7+b9=2b8=2a8=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若 A.512 B.32 C.8 D.2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.[2023江苏扬州检测](多选题)已知等比数列{an},则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　) A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0 C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0 BD 解析 设数列{an}的公比是q. 对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不符合题意;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B符合题意;对于C,ak·ak+1·ak+2= >0不一定成立,C不符合题意;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0一定成立,D符合题意.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(多选题)已知数列{an}为等比数列,则下列说法正确的是(　　) A.数列a2,a4,a8成等比数列 B.数列a1·a2,a3·a4,a5·a6成等比数列 C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列 D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若 an-1anan+1=324,则n=　　　　　.  14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2> 的最大正整数n的值为　　　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25. (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用. (1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由. 解 (1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 特例:若m+n=2p(m,n,p∈N*),则aman=. 4.数列{can}(c≠0),{|an|},{anbn}({bn}也是等比数列),{},也是等比数列. 解析 因为=q·q=q2,n≥2, 解析 在正项等比数列{an}中,a4a8a12==8,∴a8=2. 则log2a2+log2a14=log2(a2a14)=log2=log222=2. 解 (1)由已知得a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25, 解 (方法1)设四个数依次为a-d,a,a+d,,由条件,得解得所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. (方法2)设这四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),由条件,得解得当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;当q=,a=3时,所求四个数为15,9,3,1. (方法3)设四个数依次为x,y,12-y,16-x. 由条件,得 解得故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解 由题意,设这四个数分别为,b,bq,a,则解得所以这四个数分别为1,-2,4,10或-,-2,-5,-8. 变式探究2将本题条件改为“有四个数成等比数列,其积为,第二个数与第三个数的和为”,求这四个成等比数列的数的公比. 解 设这四个数为a,aq,aq2,aq3(其中aq≠0),由题意得所以 所以=±,整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0,解得q=3±2或 q=-5±2. 规律方法　等比数列的项的巧妙设法 在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为a,aq,aq2或,a,aq,此时公比为q;当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3(公比为q),当四个数均为正(负)数时,可设为,aq,aq3(公比为q2). 3.常见误区:四个数成等比数列时设成,aq,aq3,未考虑公比为负的情况. A. B. C. D.7 解析 在等比数列{an}中,a1=7,由a4=a3a5=,得a4=1或a4=0(舍去).由a1a7=,得a7=. =q12=2,即q=. f4=f10·q-6=440·=220≈311.08,故与220最接近的是311 Hz.故选C. A.-36 B.36 C.-36 D.36 解析 设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD. 解析 由a2a9a16=64得=64,即a9=4. 则log2a1+log2a2+…+log2a17=log2(a1a2…a17)=log2=log2417=34. 7.[探究点二]等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=;③三个数a2,,a4+依次成等差数列.试求数列{an}的通项公式. 解 由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得时,q=2,所以an=·2n-1,这时a2+a4+,2, 所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2n-1. 当时,q=,an=·26-n,a2+a4+≠2,不符合题意.故通项公式an=·2n-1. 当log2q=2时,q=4,a1=, ∴an=×4n-1=22n-3; 当log2q=-2时,q=,a1==8,∴an=8×=25-2n. lo(a5+a7+a9)的值为(　　) A.-5 B.- C.5 D. 解析 ∵log3an+1=log3an+1,∴=3, ∴数列{an}是等比数列,公比q=3, ∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q3+a4q3+a6q3)=lo[(a2+a4+a6)q3]=lo(9×33)=-5. 解析 依题意,数列{an}是等比数列,所以16=a2a6=,所以q2=. 又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=,所以an=a3qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<,因为n∈N*,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A. ∴a5a11==4a8,又a8≠0, =2,则=(　　) 解析 因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=, 所以=()9=512. 解析 设数列{an}的公比为q,由a1a2a3==4与a4a5a6==12,可得=(q3)3,q9=3.又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14. 解析 ∵a2a4=4=,且a3>0, ∴a3=2. 设公比为q,则a1+a2+a3=+2=14,∴=-3(舍去)或=2,即q=,∴a1==8.∴an=a1qn-1=8×()n-1=()n-4, ∴anan+1an+2=()3n-9>,即23n-9<9,∴n的最大值为4. (2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当+…+取最大值时,求n的值. 解 (1)∵a1a3+2a2a4+a3a5=25,由等比数列的性质可得+2a2a4+=25, ∴(a2+a4)2=25. ∵a3=2,q∈(0,1),则对任意的n∈N*,可得出an>0,∴a2+a4=5. ∴解得因此,an=a1qn-1=8×()n-1=24-n. (2)bn=log2an=log224-n=4-n,则数列{bn}为等差数列,可得Sn=,∴,则=-, ∴数列{}为等差数列,则+…+=-(n-)2+,由n∈N*,可得n=6或n=7时,+…+取得最大值. (2)由题意,得an+1=220+an, ∴an+1-, ∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列, ∴an-=-, ∵-<0,∴an<=366,∴an<380. 故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用. $$