压轴题：绝对值 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

七上压轴题之绝对值 【知识点精讲】 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数。 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 类型一、利用数轴化简绝对值 例．有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】根据数轴得到 ，，即可判断， ，，，根据绝对值性质求解即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ，， ∴， ，，， ∴原式， 故答案为． 【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数． 【变式训练1】有理数、、在数轴上的位置如图，化简：．    【答案】 【分析】根据有理数、、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负，即：，，，化简绝对值后合并即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，根据、、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负是解答本题的关键． 【变式训练2】有理数,,在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜”连接：,,,,,； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，，，，，分别表示在数轴上可得答案； （2）根据数轴确定出，， 的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：由（1）得：，，， ． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数，，在数轴上的位置确定，，的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键． 【变式训练3】已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，． (1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______． (2)化简：． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可； （2）根据数轴可以得出，即有，，，进而有，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数， ∴A、B之间的距离为，B、C之间的距离为， 故答案为：，； （2）由图，根据数轴可得：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴值为． 【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【变式训练3】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 有理数，，在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴确定，，的范围及绝对值情况，再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：，， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练4】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： 【答案】 【解析】 【分析】先确定单字母的正负性，再确定字母差的正负性，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴==． 【点睛】本题考查了数轴上的有理数的大小比较，绝对值的化简，熟练掌握大小比较的原理，准确实施化简是解题的关键． 【变式训练4】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且个位上的数字不大于十位上的数字，十位上的数字不大于百位上的数字，百位上的数字不大于千位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是__________． 【答案】9000 【变式训练5】有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为(       )． A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】根据数轴上点的位置得：，且， 则，，， 则． 故选A． 【变式训练6】．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     ) A．-1 B．1 C．3 D．-3 【答案】D 【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|， ∴原式． 故选：D． 类型二、分类讨论化简 例1．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（    ） A．2 B．–2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，-2，0，不可能为1． 故选：C． 【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种． 【变式训练1】(2023长沙.青竹湖第一次月考)若xy＞0，则＋＋1的值为（ ） A. ﹣2 B. 3或﹣2 C. 3 D. ﹣1或3 【答案】D 【解析】 【分析】由xy＞0，得到x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0，分两种情况利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵xy＞0， ∴x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0， ①当x＞0，y＞0时，原式＝1+1+1＝3 ②当x＜0．y＜0时，原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数乘法法则，绝对值的性质化简计算，熟记有理数乘法法则得到x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0进行化简计算是解题的关键． 【变式训练2】(2023长沙.青竹湖第一次月考) 若，，且，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出所求． 【详解】∵，，且， ∴，即，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则及绝对值的定义和性质． 例2．化简：  ． 【答案】． 【分析】先分别令x－1=0，x－2=0，分别求出x的对应值，再根据x的取值范围利用绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 【详解】令x－1=0，x－2=0得：x=1，x=2，分三种情况讨论： ①当x＜1时，原式=﹣（x－1）﹣（x－2）=﹣2x+3； ②当1≤x＜2时，原式=（x－1）－（x－2）=1； ③当x≥2时，原式=（x－1）+（x－2）=2x－3． 综上所述：原式=． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 【变式训练1】化简：. 【答案】 【解析】试题解析：①当时，原式 ②当时，原式 ③当时，原式 ④当时，原式 综上所述： 【变式训练2】若a，b，c都是非零有理数，求＋＋的值． 【答案】±1或±3. 【详解】分析：要对a，b，c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 详解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：     ①当a，b，c都是正数时，++=3；     ②当a，b，c都是负数时，===﹣1，所以和为﹣3；     ③当a，b，c中有两个正数，一个负数时，、、中有两个1，一个﹣1，所以和为1．     ④当a，b，c中有一个正数、两个负数时，、、中有两个﹣1，一个+1，所以和为﹣1．     综上所述：++=±1或±3． 点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【变式训练3】三个数是均不为0的三个数，且，则 ． 【答案】1或-1． 【分析】根据绝对值的定义化简即可得到结论． 【详解】解：∵三个数a、b、c是均不为0的三个数，且a+b+c=0， ∴a，b，c三个数中必有一个或两个负数， ①当a，b，c三个数中只有一个负数时，则， ②当a，b，c三个数中有两个负数时，， 综上所述：1或-1， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的除法．能分情况讨论是解题关键．注意互为相反数的两个数商为-1． 【变式训练4】若，，则 ． 【答案】-2或0或4 【分析】对a和b，以及的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【详解】解：①当，时，，， 原式； ②当，时，，， 原式； ③当，，且时，， 原式； ④当，，且时，， 原式； ⑤当，，且时，， 原式； ⑥当，，且时，， 原式． 故答案是：-2或0或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值． 类型三、几何意义化简绝对值 例1．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是 ，数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为 ； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)5，；(2)或6；(3)8 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案； （2）由数轴上两点间的距离公式列方程，即可解得答案； （3）分三种情况去绝对值，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和2两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）解：根据题意得， 或， 解得或； （3）解：有最小值，理由如下： 当时，， ， ，即此时大于8； 当时，； 当时，， ， ，即此时大于8； 综上所述，的最小值为8． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值化简，解题的关键是读懂题意，能灵活运用数轴上两点间的距离解决问题． 【变式训练1】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　． (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是　　． (5)若x表示一个有理数，当x为　　，式子有最小值为　　． 【答案】(1)4，5 (2)， (3)5 (4)或0或1或2或3 (5)3，6 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可； （2）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可； （3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x在与1之间时，有最小值5； （4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x在与3之间时（包含和3），，然后可得满足条件的所有整数x的值； （5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当时，有最小值，最小值为到4的距离，然后可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4，5； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可表示为点x到1与两点距离之和， ∴当x在与1之间时，有最小值5， 故答案为：5； （4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：表示为点x到与两点距离之和为4， ∴当x在与3之间时（包含和3），， ∴满足条件的所有整数x的是或0或1或2或3； 故答案为：或0或1或2或3； （5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为到4的距离，即， 故答案为：3，6． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的几何意义，正确理解数轴上两点之间的距离以及绝对值的几何意义是解题的关键． 【变式训练2】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　． (3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　； ②若，则　　　． 【答案】(1)3，4 (2)2或 (3)8，2 (4)①4；②5或． 【分析】（1）根据距离公式计算即可． （2）根据绝对值的意义计算即可． （3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可． （4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可． ②分，，三种情况计算即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：，数轴上表示1和的两点之间的距离是：；故答案为：3，4． （2），∴，∴，故答案为：2或． （3）∵，∴， ∴，∴或1，或， ∴A，B两点间的最大距离是：，最小距离是：； 故答案为：8，2． （4）①∵x的点位于与1之间， ∴，故答案为：4． ②当时，，得到，解得，； 当时，，得到，解得，； 当时，，得到，无解； 综上，或；故答案为：5或． 【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握绝对值方程的计算是解题的关键． 例2(2023长沙.青竹湖第一次月考)探索研究： （1）比较下列各式的大小．（用“<”、“>”或“=”连接） ①_______________； ②_______________； ③_______________． （2）观察、分析、归纳，并比较大小：_______________．（填“>”、“<”、“≥”、“≤”或“=”） （3）根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是_______________； ②如果，求m的值． 【答案】（1）>；=；= （2）≥ （3）；或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值即可求解； （2）根据（1）中规律可知，当a，b异号时，，当a，b同号或其中一个为0时，，由此可总结出答案； （3）根据（2）中结论即可得出答案． 小问1详解】 解：①∵ ，， ∴； ②，， ∴； ③，， ∴； 【小问2详解】 解：通过（1）的比较、分析、归纳， 可知当a，b异号时，，当a，b同号或其中一个为0时，， ∴ ； 【小问3详解】 解：①∵， ∴ 根据（2）中得出的结论可知，x为0或负数， ∴ x的取值范围是； ②∵，， ∴ ， ∴ m，n异号． 当m为正数，n为负数时， ， ∴， ∴， ∴，或， 解得或； 当m为负数，n为正数时， ， ∴， ∴， ∴，或， 解得或； 综上所述，m的值为：或． 【点睛】本题考查去绝对值、有理数的大小比较、解一元一次方程等知识，解题的关键是学会寻找规律解决问题，属于常考题型． 【变式训练3】阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______． (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______． (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______． (4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______． 【答案】(1)5；(2)；(3)﹣8，或；(4)2020，﹣505 【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可； （2）根据题目所给两点距离公式列式即可； （3）由绝对值的定义求解即可； （4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，则，画出数轴图，分情况讨论求解即可． （1） 解：． 故答案为：5； （2） 根据材料可知，有理数x与有理数7所对应两点之间的距离可表示为． 故答案为：； （3） 根据A，B两点之间的距离可以表示为，则可以表示数轴上有理数x与有理数﹣8所对应的两点之间的距离， 若，由绝对值的定义可知， 或， 解得或． 故答案为：﹣8，或； （4） 设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x， ∴， 如图1所示，当点D在A点左侧时， ； 图1 如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B）， ； 图2 如图3所示，当点D在BC之间时（包括B且包括C） （点B、D重合时，） 图3 如图4所示，当点D在C点右侧时， ， 图4 综上所述，当点D与点B重合时，即，AD+BD+CD有最小值， 此时． 故答案为：2020，﹣505． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 【变式训练4】(2023长沙一中双语第一次月考) 对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为______； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】（1）8 （2）或 （3）①1；②840 【解析】 【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【小问1详解】 解：， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值： ． 【变式训练1】阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边： ∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图3，点A、B都在原点的左边： ∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣； ③如图4，点A、B在原点的两边： ∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣， 综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． (3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________． 【答案】(1)3，3，4；(2)，1或-3；(3) 【解析】(1)解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为， 数轴上表示1和-3的两点之间的距离为； 故答案为：3，3，4； (2)解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是， 根据题意得，即，所以x=1或-3， 故答案为，1或-3； (3)解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为， 故答案为：． 【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　． (2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； (3)当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 【答案】(1)3，5，|x-5|，|y+1|；(2)1或-5；|a+4|+|a-2|=6；(3)1，9． 【详解】(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-(-3)=5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m-n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x-5|，表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+1|． 故答案为：3，5，|x-5|，|y+1|； (2)如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么|a-(-2)|=3， ∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5； ∵|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和， 若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离，等于6． 即|a+4|+|a-2|=6，故答案为：1或-5； (3)|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和， ∴当a=1时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9． ∴当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9． 类型四、非负性化简绝对值 例．若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个非负数. 【详解】解:因为,, 所以, 解得: , 故选D. 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义. 【变式训练1】若，且，求的值． 【答案】或. 【分析】先判定x、y的大小，然后确定x、y的值进行分类解答. 【详解】解：，当时，，则；当时，，则. 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y的大小和分类讨论. 【变式训练2】若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 【答案】C 【分析】根据判断在数轴上的位置，从而判断和的正负性，通过绝对值的非负性的解出答案. 【详解】解： 在数轴上 在的左边，的右边 ， 为负数，为正数 故答案选： 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里面数的正负性是解题的关键. 课后训练 1．若，，且，那么的值是（    ）． A．5或13 B．5或 C．或13 D．或 【答案】D 【分析】根据，，且，得到，，代入计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， ∴或 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，正确化简绝对值，灵活计算是解题的关键． 2．已知ab＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 【答案】C 【详解】解：设，分四种情况讨论： ①当a＞0，b＞0时，M=1+1+1=3； ②当a＜0，b＜0时，M=﹣1+（﹣1）+1=﹣1； ③a＞0，b＜0时，M=1﹣1﹣1=﹣1； ④当a＜0，b＞0时，M=﹣1+1﹣1=﹣1． 故选C． 点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 3． ． 【答案】1 【分析】首先分别判断和的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 4．有理数a，b，c，d满足则 ． 【答案】±2 【分析】根据有理数的除法法则可得a、b、c、d四个数中有1个负数或3个负数，然后分情况计算出a、b、c、d四个数中有1个负数时：的值，再计算出a、b、c、d四个数中有3个负数时：的值，即可求解． 【详解】∵四个有理数a、b、c、d满足， ∴a、b、c、d四个数中有1个负数或3个负数， ①a、b、c、d四个数中有1个负数时： ＝1＋1＋1−1＝2， ②a、b、c、d四个数中有3个负数时： ＝−1−1＋1−1＝−2， 故答案为：±2． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法和绝对值，关键是根据两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除确定a、b、c、d四个数中负数的个数． 5．已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴上点的位置得：，且， ，，， 则原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 6．若，那么 ． 【答案】7 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 7．已知，且，求． 【答案】0或﹣1 【分析】根据绝对值的定义得到的值，代入代数式即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴ 解得：=3或﹣1，b=1或0 ∵ ∴≥， 当=3时不符合题意 当=﹣1，=1或0时，+=0或﹣1∴+=0或﹣1 【点睛】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，掌握绝对值定义是解题的关键． 8．已知、、均为整数，且，试求的值． 【答案】2． 【分析】先根据绝对值运算、整数的性质可得a、b、c之间的等量关系，再代入化简绝对值即可得． 【详解】、、均为整数， 、也为整数，且、为两个非负整数， ， 或， 即或， （1）当时， 则， （2）当时， 则， 综上，的值为2． 【点睛】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值运算是解题关键． 9．已知有理数，，，且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据，，，且．即可求解． （2）先判断、、的正负号，即可化简． 【详解】（1）解： ，，，且．． 在数轴上将，，三个数在数轴上表示出来如图所示： （2）解：根据数轴位置关系，可得：、、． ． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是、、的正负性． 10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【答案】(1)，9 (2) (3)1，12 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：-3；9； （2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为-1， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数-1-10=-11表示的点重合， 故答案为：-11； （3）解：由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 24. (【变式训练4】(2023长沙麓山外国语第三次月考) 对于有理数 ,定义两种新运算 “☆” 与 “ ”,规定: ☆ , . （1）计算: ☆ . （2）若 满足 且 ,化简: ___; （3）如图: 已知数轴上 表示的数为 10,点 为数轴上一动点,点 为线段 的一个三等分点,设点 表示的数为 ,点 表示的数为 . ①若关于 的方程 有无数解,求 的值; ②若 ☆ ,求此时点 表示的数. 【分析】(1) 根据题目所给定义, 直接计算即可; （2）根据所给条件，根据题目所给定义，代入计算即可; （3）①根据条件,分类讨论: 当 时, 时, 时,分别求出对应的值即可; ②同理,根据条件,分类讨论: 当 时, 时, 时,分别求出对应的值即可. 【解答】解: (1) ☆ , , 故答案为: (2), 或 , 故答案为: ; （3）①由题意,得 有无数解, 当 时, , 当 时方程有无数解, 当 时, ,即 此时方程有唯一解, 当 时, , 当 时方程有无数解, 综上所述: 或 ; ②由题意,得 ; 当 时, ,解得 , 为线段 的一个三等分点, 或 , 解得 或 此时点 表示的数为 13 或 ; 当 时, , 无解; 当 时, ,解得 , 为线段 的一个三等分点, 或 , 解得 或 此时点 表示的数为 -23 或 . 综上所述: 点 表示的数为 13 或 或 -23 或 . 【点评】本题利用新定义运算考查数轴, 绝对值运算, 整式的运算, 一元一次方程的解法, 线段的倍分关系, 分类讨论思想, 理解新定义, 以及利用线段的倍分关系列方程是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七上压轴题之绝对值 【知识点精讲】 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数。 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 类型一、利用数轴化简绝对值 例．有理数、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【变式训练1】有理数、、在数轴上的位置如图，化简：．    【变式训练2】有理数,,在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜”连接：,,,,,； (2)化简：． 【变式训练3】已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，． (1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______． (2)化简：． 【变式训练4】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 有理数，，在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练5】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： 【变式训练6】(2023长沙麓山外国语第一次月考) 已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且个位上的数字不大于十位上的数字，十位上的数字不大于百位上的数字，百位上的数字不大于千位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是__________． 【变式训练7】有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为(       )． A． B． C．0 D． 【变式训练8】．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     ) A．-1 B．1 C．3 D．-3 类型二、分类讨论化简 例1．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（    ） A．2 B．–2 C．1 D．0 【变式训练1】(2023长沙.青竹湖第一次月考)若xy＞0，则＋＋1的值为（ ） A. ﹣2 B. 3或﹣2 C. 3 D. ﹣1或3 【变式训练2】(2023长沙.青竹湖第一次月考) 若，，且，则_______． 例2． 化简：  ． 【变式训练1】化简：. 【变式训练2】若a，b，c都是非零有理数，求＋＋的值． 【变式训练2】三个数是均不为0的三个数，且，则 ． 【变式训练3】若，，则 ． 类型三、几何意义化简绝对值 例1．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是 ，数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为 ； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式训练1】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　． (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是　　． (5)若x表示一个有理数，当x为　　，式子有最小值为　　． 【变式训练2】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　． (3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　； ②若，则　　　． 例2(2023长沙.青竹湖第一次月考)探索研究： （1）比较下列各式的大小．（用“<”、“>”或“=”连接） ①_______________； ②_______________； ③_______________． （2）观察、分析、归纳，并比较大小：_______________．（填“>”、“<”、“≥”、“≤”或“=”） （3）根据（2）中得出的结论解答下列问题： ①当时，则x的取值范围是_______________； ②如果，求m的值． 【变式训练1】阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______． (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______． (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______． (4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______． 【变式训练2】(2023长沙一中双语第一次月考) 对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为______； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） ． 【变式训练3】阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边： ∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图3，点A、B都在原点的左边： ∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣； ③如图4，点A、B在原点的两边： ∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣， 综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． (3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________． 【变式训练4】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　． (2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； (3)当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 类型四、非负性化简绝对值 例1．若，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，且，求的值． 【变式训练2】若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 课后训练 1．若，，且，那么的值是（    ）． A．5或13 B．5或 C．或13 D．或 2．已知ab＞0，则（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 3． ． 4．有理数a，b，c，d满足则 ． 5．已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 6．若，那么 ． 7．已知，且，求． 8．已知、、均为整数，且，试求的值． 9．已知有理数，，，且． (1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来； (2)化简：． 10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 11. (【变式训练4】(2023长沙麓山外国语第三次月考) 对于有理数 ,定义两种新运算 “☆” 与 “ ”,规定: ☆ , . （1）计算: ☆ . （2）若 满足 且 ,化简: ___; （3）如图: 已知数轴上 表示的数为 10,点 为数轴上一动点,点 为线段 的一个三等分点,设点 表示的数为 ,点 表示的数为 . ①若关于 的方程 有无数解,求 的值; ②若 ☆ ,求此时点 表示的数. 学科网（北京）股份有限公司 $$