4.4* 数学归纳法课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列 4.4　数学归纳法 人教A版 数学 选择性必修第二册 课程标准 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 归纳奠基 → 证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立 初始值n0的值要结合题意而定,不要理所当然认为是1 归纳递推 → 以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当　　 　时命题也成立”  只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. n=k+1 过关自诊 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少? 提示 n=4. 2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为　　　　　.  2k 提示 左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k项. 即当n=k+1时,等式也成立. 由①②知,对于n∈N*等式成立. 重难探究·能力素养全提升 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对数学归纳法原理的理解 【例1】 (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于　　　　　.  答案 6　 解析 由题意,得当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6. (2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下: ①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时, 对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明,错误是　　　　　　　　　　.  答案 未用归纳假设 解析 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符. 规律方法　数学归纳法的三个注意点 (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设. 解析 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法. 则上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 D 探究点二　用数学归纳法证明等式 【例2】 (1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　.  答案 2(2k+1) 解析 令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)·(2k+2),所以 规律方法　用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项. (2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要证的结论. 变式训练2[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:首项为a1,公差为d的等 这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据①和②,可知等式对任意正整数n都成立. 探究点三　用数学归纳法证明不等式 规律方法　用数学归纳法证明不等式的四个关键点 探究点四　归纳—猜想—证明 【例4】 将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20,21),……分别计算各组包含的正整数的和,如下: S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, …… (1)求S7的值; (2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明. 解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175. (2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+…+S2n-1=n4.证明如下: 记Mn=S1+S3+…+S2n-1. ①当n=1时,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4. Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以当n=k+1时猜想也成立. 由①②,可知对任意n∈N*,猜想都成立. 规律方法　“归纳—猜想—证明”的基本步骤 计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想前n项和Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明. 根据①和②,可知猜想对任何n∈N*都成立. 探究点五　数学归纳法在证明整除问题中的应用 【例5】 用数学归纳法证明:23n-1(n∈N*)能被7整除. 证明(1)当n=1时,23×1-1=8-1=7,能被7整除. (2)假设当n=k(k∈N*)时,23k-1能被7整除,那么当n=k+1时,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因为23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以当n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除. 规律方法　使用数学归纳法证明整除问题常用的方法:将n=k+1时的式子分成两部分,一部分应用归纳假设,另一部分通过变形处理,确定其能够被某个数整除.常用的变形技巧是加减同一个数以方便能够提取公因式. 变式训练5[北师大版教材习题]用数学归纳法证明:x2n-y2n能被x+y整除(n∈N*). 证明①当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y).故x2-y2能被x+y整除,命题成立. ②假设当n=k(k≥1)时,x2k-y2k能被x+y整除.那么,当n=k+1时,x2k+2-y2k+2 =x2x2k-y2y2k. 把x2k=(xk+yk)(xk-yk)+y2k,代入 得x2k+2-y2k+2=x2(xk+yk)·(xk-yk)+x2y2k-y2y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),由假设知x2k-y2k能被x+y整除,x2-y2能被x+y整除,故x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除. 所以当n=k+1时,命题成立.综上,对于n∈N*,原命题成立. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数学归纳法的概念. (2)增加或减少项的个数问题. (3)用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题. (4)归纳—猜想—证明. 2.方法归纳:代入法检验,数学归纳法. 3.常见误区:(1)对n0取值的问题易出错;(2)增加或减少的项数易出错;(3)从n=k到n=k+1时,注意两边项数的变化. 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(　　) A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)] B 解析 由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是 =2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(　　) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 AD 解析 由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 关于上述证明过程的说法正确的是( 　　) A.证明过程全都正确 B.当n=1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 BCD 解析 n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为　　　　　　 　　　.  34(34k+2+52k+1)-56·52k+1 解析 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2. 证明①当n=5时,25=32,52=25,显然25>52,所以此时命题成立. ②假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k>k2.因为k≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式当n=k+1时也成立. 综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数 证明①当n=2时,两条直线只有一个交点.而f(2)=1,命题成立. 第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点.即 由①②知,对于n≥2原命题成立. B级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1= n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(　　) A.1+2+3+…+k B.1+2+3+…+(k-1) C.1+2+3+…+(k+1) D.1+2+3+…+(k-2) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为　　　　　　　　.  A=4(5k+3k-1) 解析 因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1 =5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*). 证明①当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立. ②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,当n=k+1时,因为 α>-1,所以1+α>0.根据假设知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因为kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.这表明,当n=k+1时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数n都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式; (2)用数学归纳法证明猜想. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,…. (1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题; (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题. (1)解 不等式可写为5+3≥23,52+32≥25,53+33≥27,54+34≥29,所以归纳得到命题:5n+3n≥22n+1(n∈N*). (2)证明①当n=1时,易知命题成立; ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,即5k+3k≥22k+1,则当n=k+1时, 5k+1+3k+1=5×5k+3×3k=(4+1)×5k+(4-1)×3k=4×(5k+3k)+5k-3k ≥4×22k+1+5k-3k≥22(k+1)+1,即n=k+1时,命题也成立,由①②可知,5n+3n≥22n+1. 3.[北师大版教材习题]用数学归纳法证明:+…+=1-(n∈N*). 证明①当n=1时,左边=,右边=1-,左边=右边,等式成立. ②假设当n=k时等式成立,即+…+=1-(k∈N*),那么,当n=k+1时, +…+=1-=1-. 1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知 变式训练1对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立. =2(2k+1). (2)用数学归纳法证明:+…+(n∈N*). 证明①当n=1时,成立. ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即有+…+,则当n=k+1时,+…+,即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立. 差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1+. 证明①当n=1时,左边=S1=a1,右边=1·a1+=a1,等式成立. ②假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即Sk=ka1+成立.那么,当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=[ka1+]+{a1+[(k+1)-1]d} =(k+1)a1+=(k+1)a1+=(k+1)a1+. 【例3】 用数学归纳法证明1+≤1++…++n(n∈N*). 证明①当n=1时,左式=1+,右式=+1,所以≤1+,命题成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即1+≤1++…++k,则当n=k+1时,1++…++…+>1++2k·=1+. 又1++…++…++k+2k·+(k+1),即当n=k+1时,命题成立.由①和②可知,命题对所有的n∈N*都成立. 变式训练3用数学归纳法证明1++…+<2-(n≥2,n∈N*). 证明①当n=2时,1+<2-,命题成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即1++…+<2-. 当n=k+1时,1++…+<2-<2- =2-=2-.命题成立. 由①和②知原不等式在n≥2,n∈N*时均成立. 则当n=k+1时,由题设,可知Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=+1开始的n个连续自然数的和,所以Sn=[+1]+[+2]+…+[+n]=, 所以S2k+1==(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,从而 变式训练4已知数列,…,,…,Sn是该数列的前n项和, 解 S1=;S2=;S3=;S4=. 可以看出上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想Sn=. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. ①当n=1时,左边=S1=,右边=,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即+…+, 当n=k+1时,+…+,所以当n=k+1时猜想也成立. 1.[探究点一·2023福建福州检测]用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,不等式的左边比当n=k时增加的项为(　　) A. B. C. D. C.f(k)+ D.f(k)· 4.[探究点一](多选题)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下: ①当n=1时,≤1+1,不等式成立. ②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,< =(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立. 6.[探究点四]在数列{an}中,a1=,an+1=. (1)解 由a1=,an+1=,得a2=,a3=.猜想an=. (2)证明①当n=1时,a1=,结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么,当n=k+1时,ak+1=,结论成立. 由①和②可知对任意n∈N*,都有an=成立. f(n)=. ②假设当n=k(k≥2)时,命题成立,即f(k)=.那么,当n=k+1时, f(k+1)=f(k)+k=+k=,即当n=k+1时,命题成立. 9.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边(　　) A.增加了 B.增加了 C.增加了 D.增加了 13.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n 解 取n=1,2,3可得 解得a=,b=,c=. 下面用数学归纳法证明+…+. 即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1), ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立. 由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立. 15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)). 解 (1)f2(x)=f1[f1(x)]=,f3(x)=f1[f2(x)]= . 猜想:fn(x)=(n∈N*). (2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N*), ①当n=1时,f1(x)=,显然成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立. 结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立. $$