浙江省丽水市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

浙江省丽水市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．（3分）用一个a的值说明命题“若a＞0，则”是错误的，这个a的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（3分）一个多边形内角和的度数不可能的是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 4．（3分）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（　　） A．24V B． C．11V D．38V 5．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，BC＝AD C．∠A＝∠C，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠B 6．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则图象必经过另一点（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3） 7．（3分）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 8．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 9．（3分）如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（　　） A．中位数一定是2 B．众数一定是2 C．方差一定小于2 D．方差一定大于1 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　 　． 12．（3分）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　． 13．（3分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB＝α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　 　（用α的代数式表示）． 14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝　 　． 15．（3分）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 　 　尺． 16．（3分）两个边长分别为a，b（a＜b）的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为m，图2中阴影部分的面积为n，则大正方形ABCD的面积为 　 　（用m，n的代数式表示）． 三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18～20题每题8分，第21～23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）解方程 （1）（x﹣2）2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 18．（8分）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x＝，y＝，求OP的长． 19．（8分）设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人． 20．（8分）下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 （1）依据样本估计该校八年级女生的平均身高． （2）写出这10名女生身高的中位数和众数． （3）请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，将△ABC补成一个矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上． （1）请用三角板画出一个矩形的示意图． （2）若AB＝4，求出你所画矩形的面积． 22．（10分）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 某款中央空调每台进价为20000元． 素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台． 问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元． 23．（10分）已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值． （2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小． （3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明． 24．（12分）如图，在▱ABCD中，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，当点F恰好落在边AD上时，求证：四边形ABEF是菱形． （2）如图2，当点F恰好落在ED上，且时，求的值． （3）如图3，当∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝4时，连结BD，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当AF⊥BC时，求BE的长． ②当EF∥BD时，求BE的长． ③当点F恰好落在BD上时，求BE的长． 参考答案 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【解答】解：由题可知， x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：D． 2．（3分）用一个a的值说明命题“若a＞0，则”是错误的，这个a的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：当a＝时，a＞0，a2＝，＝2， ∵＜2， ∴a2＜， ∴命题“若a＞0，则a2≥”是错误的， 故选：C． 3．（3分）一个多边形内角和的度数不可能的是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【解答】解：270°不能被180°整除， 故选：B． 4．（3分）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（　　） A．24V B． C．11V D．38V 【解答】解：设I＝， 由图象可得，当R＝3时，I＝8， ∴8＝， 解得U＝24， 故选：A． 5．（3分）下列条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，BC＝AD C．∠A＝∠C，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠B 【解答】解：A、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形； B、由AB＝CD，BC＝AD可以判断四边形ABCD是平行四边形； C、由∠A＝∠C，AD∥BC，可以推出∠B＝∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形； D、由AB∥CD，∠A＝∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形； 故选：D． 6．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则图象必经过另一点（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3） 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， B选项中（2，﹣3），2×（﹣3）＝﹣6． 故选：B． 7．（3分）在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【解答】解：∵点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称， ∴a＝5，b＝﹣1， ∴a﹣b＝5+1＝6． 故选：D． 8．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【解答】解：∵方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是， ∴+m﹣m＝0， ∴m＝1， ∴方程为2x2﹣x﹣1＝0， （2x+1）（x﹣1）＝0， ∴2x+1＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣，x2＝1． 故另一个根为1． 故选：C． 9．（3分）如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（　　） A．中位数一定是2 B．众数一定是2 C．方差一定小于2 D．方差一定大于1 【解答】解：当这列数为1，1，1，3，4，时，平均数为2，中位数是1，众数是1，方差为×[3×（1﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝1.6，故选项A、B不符合题意； 当这列数为2，2，2，2，2，时，平均数为2，方差为×5×（2﹣2）2＝0，故选项D不符合题意； 所以选项C符合题意． 故选：C． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为BD中点时，则PE＝PF；②PE+PF＝h；③∠EPF+∠A＝180°；④若AB＝2，∠EPF＝60°，连结PC，则PE+PC有最小值为2；⑤若h＝2，∠EPF＝60°，连结EF，则S△PEF的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）如图： ∵菱形ABCD， ∴PB＝PD， ∴CA平分∠BCD， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴PE＝PF． ∴①正确， 故①不符合． （2）如图：延长EP交AD于F'． ∵菱形ABCD， ∴AD∥BC， ∵PE⊥BC， ∴PF'⊥AD． ∵菱形ABCD， ∴DB平分∠ADC， ∵PF⊥CD，PF'⊥AD， ∴PF＝PF'． ∴PE+PF＝PE+PF'＝EF'＝h． ∴②正确， 故②不符合． （3）∵菱形ABCD， ∴∠BAD＝∠BCD． ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEC+∠PFC＝90°+90°＝180°， ∴∠EPF+∠BCD＝360°﹣（∠PEC+∠PFC）＝180°， ∴∠EPF+∠BAD＝180°． ∴③正确． 故③不符合． （4）过C作CE'⊥AB，交BD于P， ∵PE＝PE'， ∴CE'＝CP+PE'＝CP+PE． ∵CE'最小， ∴PE+PC最小． ∵AB＝2， ∴BE'＝AB＝1， ∴CE'＝BE'＝， ∴PE+PC最小值． ∴④错误． 故④符合． （5）过F作FG⊥PE． 设PE＝x， 由②知PF＝h﹣PE＝2﹣x． ∵PF⊥CD，又∠PDF＝30°， ∴∠DPF＝60°， ∴∠GPF＝180°﹣∠BPE﹣∠DPF＝60°， ∴PG＝PF＝1﹣x， ∴GF＝PG＝﹣x， ∴S△PEF＝x（﹣x）＝（x﹣1）2+， ∴⑤错误， 故⑤符合． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算的结果是 　 　． 【解答】解：＝|﹣5|＝5． 12．（3分）若方程x2+mx+9＝0经配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值是 　 　． 【解答】解：∵（x﹣3）2＝0， ∴x2﹣6x+9＝0， ∴m＝﹣6． 故答案为：﹣6． 13．（3分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB＝α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　 　（用α的代数式表示）． 【解答】解：设EF与AC相交于点O， 由作图痕迹可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，AF为∠DAC的平分线， ∴∠AOF＝90°，∠FAO＝DAC． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝α， ∴∠FAO＝． ∴∠AFE＝180°﹣∠AOF﹣∠FAO＝90°﹣． 故答案为：90°﹣． 14．（3分）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x＝　 　． 【解答】解：∵这组数据的中位数和平均数相等， ∴＝10或9， 解得：x＝12或8， 故答案为：12或8． 15．（3分）《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 　 　尺． 【解答】解：设BC＝x尺（x＞0），则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，则： x2+（x+4﹣2）2＝（x+4）2． 解得x＝6． 答：门宽BC为6尺． 故答案为：6． 16．（3分）两个边长分别为a，b（a＜b）的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为m，图2中阴影部分的面积为n，则大正方形ABCD的面积为 　 　（用m，n的代数式表示）． 【解答】解：由题知， m＝a2+b2﹣＝， n＝b2﹣a2﹣2×＝ab﹣a2， 所以2m＝a2+b2﹣ab， 则2m+n＝a2+b2﹣ab+ab﹣a2＝b2， 即大正方形ABCD的面积为2m+n． 故答案为：2m+n． 三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18～20题每题8分，第21～23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）解方程 （1）（x﹣2）2＝2； （2）（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝2， ∴x﹣2＝±， ∴x＝2±，即x1＝2+，x2＝2﹣； （2）∵（2y﹣1）2+3（2y﹣1）＝0， ∴（2y﹣1）（2y+2）＝0， 则2y﹣1＝0或2y+2＝0， 解得y1＝，y2＝﹣1． 18．（8分）如图，P（x，y）是平面直角坐标系中的一点． （1）用二次根式表示线段OP的长． （2）若x＝，y＝，求OP的长． 【解答】解：（1）OP＝；（2）OP＝＝4． 19．（8分）设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人． 【解答】解：（1）由题意得：xy＝60， y＝， （2）∵x＝， ∴， ∴7≤y≤10， 答：估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人． 20．（8分）下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表． 身高（cm） 154 158 161 162 165 167 人数 1 2 2 3 1 1 （1）依据样本估计该校八年级女生的平均身高． （2）写出这10名女生身高的中位数和众数． （3）请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）． 【解答】解：（1）平均数＝＝161（cm）， 所以该校八年级女生的平均身高约为161cm； （2）162出现了3次，次数最多，所以众数为162cm， 10个数据按从小到大的顺序排列后，第5、第6个数是161、162，所以中位数是（161+162）÷2＝161.5（cm）； （3）由于平均数为161，中位数为161.5，众数为162，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，将△ABC补成一个矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上． （1）请用三角板画出一个矩形的示意图． （2）若AB＝4，求出你所画矩形的面积． 【解答】解：（1）如图，矩形BCDE即为所求； （2）过点B作BF⊥AC于点F， ∵∠BAF＝30°，AC＝AB＝4， ∴BF＝AB＝2， ∴△ABC的面积＝AC•BF＝4×2＝4， ∴所画矩形BCDE的面积＝2倍的△ABC的面积＝8． 22．（10分）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 某款中央空调每台进价为20000元． 素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台． 问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元． 【解答】解：（1）当团购3台时，每台空调的团购价为30000﹣500＝29500（元）； （2）设团购数量增加x台，表示每台空调的团购价为30000﹣500（x﹣2）＝﹣500x+31000（元）； （3）根据题意，得：（﹣500x+31000﹣20000）x＝58500， 整理，得：x2﹣22x+117＝0， 解得x1＝13＞11（舍去），x2＝9， 答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元． 23．（10分）已知反比例函数． （1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值． （2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小． （3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明． 【解答】（1）解：将点（1，3）坐标代入得：3＝， 解得：k1＝3， （2）解：∵中k1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，y随x的增大而减小， ∵2＜4， ∴a﹣b＞c﹣b，a﹣b＞0，c﹣b＞0， ∴a＞c＞b； （3）证明：∵反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24， ∴y2随x的增大而增大，则y2的最大值为，最小值为， ∵反比例函数．如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24， ∴y1随x的增大而减小，则y1的最大值为，最小值为， ∵函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8， ∴﹣＝5，﹣＝4.8， ∴（m+1）k1﹣k2m＝5m（m+1）①，mk1﹣（m+1）k2＝4.8m（m+1）②， ∴①﹣②得：k1+k2＝0.2m（m+1）， ∴k1+k2＝． 24．（12分）如图，在▱ABCD中，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，当点F恰好落在边AD上时，求证：四边形ABEF是菱形． （2）如图2，当点F恰好落在ED上，且时，求的值． （3）如图3，当∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝4时，连结BD，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解． ①当AF⊥BC时，求BE的长． ②当EF∥BD时，求BE的长． ③当点F恰好落在BD上时，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F， ∴AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE， ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BA＝BE， ∴AB＝AF＝BE＝EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C＝180°，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CED， ∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFE，BE＝EF， ∴AB＝AF＝CD， ∵∠AFE+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠C， ∴△ADF≌△DEC（AAS）， ∴EC＝DF， ∴＝， ∵＝m， ∴＝； （3）①如图，连接EF，设AF与BC交点N， ∵∠ABC＝45°，AB＝2，AF⊥BC， ∴AN＝BN＝2， ∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F， ∴AB＝AF＝2，∠B＝∠F＝45°， ∴NF＝2﹣2， ∵AF⊥BC，∠F＝45°， ∴EN＝NF＝2﹣2， ∴BE＝4﹣2； ②解：延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，如图， ∵BE∥AD，EF∥BD， ∴四边形BEGD为平行四边形， ∴BE＝DG，BD＝GE， ∴设BE＝DG＝x， ∵DK⊥BC，GH⊥BC，AD∥BC， ∴四边形DKHG为矩形， ∴HK＝DG＝x，GH＝DK． ∴由①知：DK＝GH＝2，CK＝2， ∴EC＝4﹣x， ∴EH＝EC+CK+KH＝4﹣x+2+x＝6， 在Rt△EHG 中，GE＝＝＝2＝BD， 由轴对称的性质得：∠AEB＝∠AEG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠AEG＝∠DAE， ∴GE＝AG＝2， ∴BE＝DG＝AG﹣AD＝2﹣4； ③设AE与BD交于点O，过点B作BM⊥直线AD于M，过点A作AN⊥BC于N，过点F作FP⊥AD于P，交BC于Q， ∵AD∥BC， ∴∠MBN＝∠M＝90°＝∠ANB＝∠APQ， ∴四边形ANBM是矩形，四边形APQN是矩形， ∴AM＝BM＝2，AN＝BM＝2＝PQ， ∵将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F， ∴AE⊥BF，AO＝OF，BO＝OF，BE＝EF， ∵S△ABD＝AD•BM＝BD•AO， ∴4×2＝2AO， ∴AO＝， ∴BO＝＝， ∴BF＝， ∴DF＝， ∵S△ABD＝AD•BM＝BF•AO+AD•PF， ∴8＝×+4PF， ∴PF＝， ∴FQ＝， ∴BQ＝＝＝， ∵EF2＝EQ2+FQ2， ∴BE2＝（﹣BE）2+， ∴BE＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/6 8:07:14；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$