2024-2025学年人教版九年级数学上册 点拨训练第07讲用因式分解法解一元二次方程

人教版九年级数学上 点拨*训练 第07讲 用因式分解法解一元二次方程 1、 学习目标： 1. 复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。 2. 学会利用因式分解解一元二次方程。 3. 会选择合适的方法解一元二次方程。 二、老师告诉你 解一元二次方程的口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b、c相等都为0，等根是0不要忘； b、c同时不为0.因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 (x+m) (x+n) 。 2.因式分解法求解一元二次方程的步骤： （1） 把方程的右边化为0； （2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式； （3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式； （4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。 【新知导学】 例1-1．方程（x-2）2=3（x-2）的解是（　　） A. x=2 B. x=3 C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=5 例1-2．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 【对应导练】 1．一元二次方程x2+x-6=0的根是（　　） A. x=-3 B. x1=2，x2=-3 C. x=2 D. x1=-2，x2=3 2．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 3．解下列方程： （1）3（x-5）2=2（5-x）； （2）-x2+4x-3=0． 4．用你喜爱的方法解方程：3x2-2x-5=0． 知识点2 选择适合（指定）方法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择 （1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法； （2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式； 对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根 【新知导学】 例2-1．用适当方法解方程： （1）y2-15=2y； （2）x2+2x+3=0； （3）（x-2）2+（x+2）2=4x-6； （4）4（x+2）（x-3）=（x-3）2． 例2-2．解方程： （1）x2-4x+3=0（用配方法求解）； （2）2（x-3）=3x（x-3）（用因式分解法求解）． 【对应导练】 1．用适当的方法解答下列各方程． （1）x2-5x+1=0 （2）3x2-x=3 （3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2-2x=x+3． 2．用指定的方法解方程 （1）（x+2）2-25=0（直接开平方法） （2）x2+4x-5=0（配方法） （3）4（x+3）2-（x-2）2=0（因式分解法） （4）2x2+8x-1=0（公式法） 3．阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 四、题型训练 1.解一元二次方程的方法在解方程中的应用 1．（x+2）2-10（x+2）+25=0（因式分解法） 2．用适当的方法解一元二次方程 （1）3x2-1=4x （2）x2-2x-399=0 （3）2x2-7x=0 （4）4x-6=（2x-3）2． 2. 根的判别式在因式分解法解方程中的应用 3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解． 4．已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 3. 因式分解法在几何中的应用 5．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 6．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．关于x的一元二次方程的解为( ) A.， B.， C.， D.， 2．方程的解是( ) A. B. C. D.， 3．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是( ) A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定 4．如果与互为相反数，那么x的值为( ) A.1 B. C.1或 D.2 5．已知x为实数，且满足，那么的值为( ) A.1 B.-3 C.-3或1 D.-1或3 6．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A. B. C. D. 7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( ) A.9 B.12 C.13 D.12或13 8．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，，例如把放入其中，就会得到.现将实数对放入其中，得到实数6，则m的值为( ) A.-10 B.-1 C.10或-1 D.-10或1 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．方程的根是________. 10．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______. 11．“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程，它的解是______. 12．已知是关于x的方程的一个根，则的值是______. 13．已知关于x的一元二次方程(a，b，c为常数，且)，此方程的解为，.则关于x的一元二次方程的解为__________. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（12分）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 15．（8分）已知关于x的一元二次方程：. （1）当时，解方程； （2）若的一个解是，求k. 16．（6分）用适当的方法解下列方程. （1）； （2）. 17．（6分）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则. 小霞： 移项，得， 提取公因式，得. 则或， 解得，. 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程. 18．（8分）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，.根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用：在(1)条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值. 19．（8分）已知:关于x的一元二次方程. (1)已知是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为中AB、的边长，当时，是等腰三角形，求此时m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第07讲 用因式分解法解一元二次方程（解析版） 1、 学习目标： 1. 复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。 2. 学会利用因式分解解一元二次方程。 3. 会选择合适的方法解一元二次方程。 二、老师告诉你 解一元二次方程的口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； b、c相等都为0，等根是0不要忘； b、c同时不为0.因式分解或配方； 也可直接套公式，因题而异择良方。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 (x+m) (x+n) 。 2.因式分解法求解一元二次方程的步骤： （1） 把方程的右边化为0； （2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式； （3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式； （4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。 【新知导学】 例1-1．方程（x-2）2=3（x-2）的解是（　　） A. x=2 B. x=3 C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=5 【答案】D 【解析】首先移项，再提取公因式（x-2），进而分解因式得出即可． 解：（x-2）2=3（x-2）， （x-2）2-3（x-2）=0， （x-2）（x-2-3）=0， 解得：x1=2，x2=5． 故选：D． 例1-2．方程（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0的实数根是（　　） A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 【答案】D 【解析】利用直接开平方法求解即可． 解：（1-x）（1+x）（1+x2）+15=0， （1-x2）（1+x2）+15=0， 1-（x2）2+15=0， ∴（x2）2=16， ∴x=±2． 故选：D． 【对应导练】 1．一元二次方程x2+x-6=0的根是（　　） A. x=-3 B. x1=2，x2=-3 C. x=2 D. x1=-2，x2=3 【答案】B 【解析】先利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 解：x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x+3=0或x-2=0， 所以x1=-3，x2=2． 故选：B． 2．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 【答案】（1）第三步 （2）过程见解析 【解析】对于（1），两边除以时，要考虑其是不是0即可判断； 对于（2），先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误； 故答案为：三； 【小问2详解】 ， 因式分解，得， 整理，得， 移项，得， 提公因式，得， 即或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． 3．解下列方程： （1）3（x-5）2=2（5-x）； （2）-x2+4x-3=0． 【解析】（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 解：（1）3（x-5）2=2（5-x）， 3（x-5）2+2（x-5）=0， （x-5）（3x-15+2）=0， ∴x-5=0或3x-13=0， ∴x1=5，． （2）-x2+4x-3=0， x2-4x+3=0， （x-3）（x-1）=0， ∴x-3=0或x-1=0， ∴x1=3，x2=1． 4．用你喜爱的方法解方程：3x2-2x-5=0． 【解析】利用因式分解法解方程． 解：（3x-5）（x+1）=0， 3x-5=0或x+1=0， 所以x1=，x2=-1． 知识点2 选择适合（指定）方法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择 （1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：①直接开平方法——②因式分解法——③公式法——④配方法； （2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式； 对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根 【新知导学】 例2-1．用适当方法解方程： （1）y2-15=2y； （2）x2+2x+3=0； （3）（x-2）2+（x+2）2=4x-6； （4）4（x+2）（x-3）=（x-3）2． 【解析】（1）先把方程化为一般式，然后因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）先把方程化为一般式，然后根据判别式的意义判断方程没有实数解； （4）先移项得到4（x+2）（x-3）-（x-3）2=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）y2-2y-15=0， （y-5）（y+3）=0， y-5=0或y+3=0， 所以y1=5，y2=-3； （2）x2+2x+3=0， （x+）2=0， x+=0， 所以x1=x2=-； （3）（x-2）2+（x+2）2=4x-6； x2-4x+4+x2+4x+4=4x-6， 整理得x2-2x+14=0， 因为Δ=（-2）2-4×14=-52＜0， 所以方程没有实数解； （4）4（x+2）（x-3）=（x-3）2， 4（x+2）（x-3）-（x-3）2=0， （x-3）（4x+8-x+3）=0， x-3=0或4x+8-x+3=0， 所以x1=3，x2=-． 例2-2．解方程： （1）x2-4x+3=0（用配方法求解）； （2）2（x-3）=3x（x-3）（用因式分解法求解）． 【解析】（1）利用配方法得到（x-2）2=1，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到2（x-3）-3x（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）x2-4x+3=0， x2-4x=-3， x2-4x+4=-3+4， 即（x-2）2=1， 得：x-2=±1， 解得：x1=3，x2=1； （2）2（x-3）-3x（x-3）=0， x-3）（2-3x）=0， x-3=0或2-3x=0， 所以x1=3，x2=． 【对应导练】 1．用适当的方法解答下列各方程． （1）x2-5x+1=0 （2）3x2-x=3 （3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2-2x=x+3． 【解析】（1）利用公式法解方程； （2）先将方程化为3x2-x-3=0，再利用公式法求解； （3）先变形得到（x+3）2-（1-2x）2=0，再利用因式分解得到（x+3+1-2x）（x+3-1+2x）=0，则原方程化为4-x=0，或3x+2=0，然后解一次方程即可； （4）先将方程化为3x2-3x-3=0，即x2-x-1=0，再利用公式法求解． 解：（1）∵a=1，b=-5，c=1， ∴b2-4ac=（-5）2-4×1×1=25-4=21＞0， ∴x=， 则x1=，x2=； （2）原方程可化为3x2-x-3=0， ∵a=3，b=-1，c=-3， ∴b2-4ac=（-1）2-4×3×（-3）=1+36=37＞0， ∴x=， 则x1=，x2=； （3）（x+3）2-（1-2x）2=0， （x+3+1-2x）（x+3-1+2x）=0， 即4-x=0，或3x+2=0， 解得x1=4，x2=-； （4）原方程可化为3x2-3x-3=0，即x2-x-1=0， ∵a=1，b=-1，c=-1， ∴b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=1+4=5＞0， ∴x=， 则x1=，x2=． 2．用指定的方法解方程 （1）（x+2）2-25=0（直接开平方法） （2）x2+4x-5=0（配方法） （3）4（x+3）2-（x-2）2=0（因式分解法） （4）2x2+8x-1=0（公式法） 【解析】（1）把-25移到等号的右边，然后利用直接开平方法求解； （2）把-5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解； （3）直接利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解． 解：（1）∵（x+2）2-25=0， ∴（x+2）2=25， ∴x+2=±5， ∴x1=3，x2=-7； （2）∵x2+4x-5=0， ∴x2+4x+4=9， ∴（x+2）2=9， ∴x+2=±3， ∴x1=-5，x2=1； （3）∵4（x+3）2-（x-2）2=0， ∴[2（x+3）+（x-2）][2（x+3）-（x-2）]=0， ∴（3x+4）（x+8）=0， ∴3x+4=0或x+8=0， ∴x1=-，x2=-8； （4）∵a=2，b=8，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=64+8=72， ∴x==， ∴x1=，x2=． 3．阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】C 【解析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解． 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 四、题型训练 1.解一元二次方程的方法在解方程中的应用 1．（x+2）2-10（x+2）+25=0（因式分解法） 【解析】可以把（x+2）看作一个整体，再套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，对方程的左边进行进一步分解． 解：因式分解得，[（x+2）-5]2=0， 解得，x1=x2=3． 2．用适当的方法解一元二次方程 （1）3x2-1=4x （2）x2-2x-399=0 （3）2x2-7x=0 （4）4x-6=（2x-3）2． 【解析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可； （3）方程利用因式分解法求出解即可； （4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 解：（1）方程整理得：3x2-4x-1=0， 这里a=3，b=-4，c=-1， ∵△=16+12=28， ∴x==； （2）方程整理得：x2-2x=399， 配方得：x2-2x+1=400，即（x-1）2=400， 开方得：x-1=20或x-1=-20， 解得：x1=21，x2=-19； （3）分解得：x（2x-7）=0， 解得：x1=0，x2=3.5； （4）方程整理得：（2x-3）（2x-3-2）=0， 解得：x1=1.5，x2=2.5． 2. 根的判别式在因式分解法解方程中的应用 3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解． 【解析】由一元二次方程的Δ=b2-4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解． 解：由题意知，m≠0，Δ=b2-4ac=[-（3m-1）]2-4m（2m-1）=1 ∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2-5x+3=0， 解得，x1=1，x2=3/2． 4．已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）k取负整数，再解一元二次方程即可． 解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=（-3）2-4×1×（-k）＞0， 解得k＞-；  （2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0， 因式分解得（x-1）（x-2）=0， 解得x1=1，x2=2． 3. 因式分解法在几何中的应用 5．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 【解析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明； （2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答． （1）证明：Δ=（k+3）2-4×3k=（k-3）2≥0， 故不论k取何实数，该方程总有实数根； （2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根， 则（k-3）2=0， 解得k=3， 方程为x2-6x+9=0， 解得x1=x2=3， 故△ABC的周长为：2+3+3=8； 当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2， 方程为x2-5x+6=0， 解得，x1=2，x2=3， 故△ABC的周长为：2+2+3=7． 6．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a=b=c, ∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1． 5、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．关于x的一元二次方程的解为( ) A.， B.， C.， D.， 答案：C 解析：， 分解因式得：， 解得：，， 故选C. 2．方程的解是( ) A. B. C. D.， 答案：C 解析： ， 解得，， 故选：C. 3．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是( ) A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定 答案：C 解析：， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C. 4．如果与互为相反数，那么x的值为( ) A.1 B. C.1或 D.2 答案：C 解析：与互为相反数， ， ， 或， 解得或. 故选：C. 5．已知x为实数，且满足，那么的值为( ) A.1 B.-3 C.-3或1 D.-1或3 答案：A 解析：设，则原式可化为：，解得：，， ， . 故选A. 6．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：是关于x的方程的一个根， 将代入方程得：，即， 可得（舍去）或， 则. 故选：C. 7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( ) A.9 B.12 C.13 D.12或13 答案：C 解析：解方程得， ，， 故第三边的边长为3或4. 设第三边的长为m， 三角形的两边长分别为3和6， ， 第三边的边长为4， 这个三角形的周长是. 故选：C. 8．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，，例如把放入其中，就会得到.现将实数对放入其中，得到实数6，则m的值为( ) A.-10 B.-1 C.10或-1 D.-10或1 答案：C 解析：将实数对放入其中，得到实数6， ， ， ， 解得：或10. 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．方程的根是________. 答案：， 解析：， ， 即， 或， 解得：，， 故答案为：，. 10．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______. 答案： 解析：关于x的一元二次方程a的一个根是， ， 解得，， 故答案为：. 11．“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程，它的解是______. 答案：，， 解析：设，则原方程变为， 解得，， 或， 解得，，， 故答案为：，，. 12．已知是关于x的方程的一个根，则的值是______. 答案：1 解析：将代入中，得： ，即， 解得： 故答案为：1. 13．已知关于x的一元二次方程(a，b，c为常数，且)，此方程的解为，.则关于x的一元二次方程的解为__________. 答案：或 解析：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，. 一元二次方程的解为或-1. 故答案为：或-1. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（12分）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）， （2）， （3）， （4）， 解析：（1）， ， 或， 解得，，； （2）， ， ， 或， 解得，，； （3）， ， ， 解得，，； （4）， ， ， 或， 解得，，. 15．（8分）已知关于x的一元二次方程：. （1）当时，解方程； （2）若的一个解是，求k. 答案：（1）， （2） 解析：（1）将代入得：， ，，， ， ， 解得：，； （2）将代入得：， 解得：. 16．（6分）用适当的方法解下列方程. （1）； （2）. 答案：（1）， （2）， 解析：（1）， 因式分解得：， ，， 解得：，. （2）， 移项得：， 因式分解得：， ，， 解得：，. 17．（6分）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则. 小霞： 移项，得， 提取公因式，得. 则或， 解得，. 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程. 答案：两位同学的解法都错误，正确过程见解析 解析： 小敏： 两边同除以，得 ， 则. （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得. 则或， 解得，. （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，. 18．（8分）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，.根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用：在(1)条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值. 答案：(1)7，1 (2) (3) 解析：（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可知：，， 故答案为：7，1. （2）由（1）得，， （取正）. （3）令，，则，， ， ，即， a，b是方程的两个不相等的实数根， ， 故. 19．（8分）已知:关于x的一元二次方程. (1)已知是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为中AB、的边长，当时，是等腰三角形，求此时m的值. 答案：(1)或;(2)或 解析：(1)是方程的一个根， ， 或; (2)， ，， AB、AC()的长是这个方程的两个实数根， ，. ，是等腰三角形， 当时，有， ; 当时，有， ， 综上所述，当或时，是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$