精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年高一下学期4月期中教学质量监测数学试题

2024年春季学期高中期中教学质量监测 高一数学 （时间：120分钟，满分150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线，，则下面结论正确的是（ ） A. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 B. 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 3. 作用于原点的两个力，为使它们平衡，需加力等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知锐角、是的两个角，且、是方程的两根，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形或钝角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（　　） A. B. C. D. 7. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 的对称轴是， D. 在上单调递减 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知角的终边经过点，求=_________. 13. 已知，，则_______________________． 14. 如图，在中，，，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）若，求的值； （2）若，求的面积. 16. 已知平面直角坐标系内存在三点：，，． （1）求值； （2）若平面上一点P满足：，，求点P的坐标． 17. 已知向量若向量，. （1）若，的夹角为120°，求的值； （2）若，求； （3）若，求，夹角. 18 已知函数 （1）求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间； （2）求在上的最值及对应的的值. 19. 如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数解析式及时点距离地面的高度； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季学期高中期中教学质量监测 高一数学 （时间：120分钟，满分150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可得所求结果. 【详解】. 故选：C. 2. 已知曲线，，则下面结论正确的是（ ） A. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 B. 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D. 将曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的变换即可得出答案. 【详解】对于答案：将曲线向左平移个单位长度得，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到，故错误. 对于答案: 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故正确. 对于答案: 把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，故错误. 对于答案：将曲线向左平移个单位长度，得到，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到故错误. 故选：B 3. 作用于原点的两个力，为使它们平衡，需加力等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求解. 【详解】因为， 所以， 为使它们平衡，需加力， 故选：C 4. 已知锐角、是的两个角，且、是方程的两根，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形或钝角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，解方程可得、的值，求出锐角、的值，结合三角形的内角和定理可判断出的形状. 【详解】因为、都为锐角，则，， 解方程可得，，则，， 所以，，，则的另一个角为， 故为钝角三角形. 故选：C. 5. 折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰三角形求得扇形半径，然后得出小扇形半径 ，再由扇形面积公式计算． 【详解】记，如图，在中，因为，，， 所以，即，， 又，即，所以， 所以扇面字画部分的面积为， 故选：A． 6. 如图所示，在正方形中，为中点，为的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算逐步表示即可得解. 【详解】由题可知， 则 . 故选：B． 7. 探索下图所呈现的规律,判断2 015至2 017箭头的方向是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据探索图所呈现的规律，找出探索图的周期，进而即得. 【详解】观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置，而， 则2 015 至2 017箭头方向与3至5箭头的方向是相同的. 故选：D. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象. 时，， 在轴右方的零点为 因为函数的图象在区间内有5个零点， 所以，解得. 故选:D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：AC 10. 下列命题中错误的是（ ） A. B. 若，满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的概念、模、数量积、夹角等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据向量加法的几何意义可知，所以A选项正确. B选项，向量不能比较大小（向量的模可以比较大小），所以B选项错误. C选项，若且是零向量，则无法得到，所以C选项错误. D选项，根据向量夹角、等边三角形的知识可知，D选项正确. 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 的对称轴是， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，计算出，，得到函数的最小正周期；B选项，分和两种情况，求出函数的最小值；C选项，计算出，从而得到函数的对称轴方程；D选项，画出函数图象，数形结合得到函数的单调性. 【详解】因为 且 ， 故的最小正周期是，A正确； B选项，当，即时， ， 当时，取得最小值，最小值为， 当，即时， ， 故的最小值为，B错误； C选项，因为 ， ， 故，的对称轴是，，C正确； D选项，画出函数图象如下： 可以看出函数在上单调递减，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知角的终边经过点，求=_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角余弦函数的定义，可得答案. 【详解】由题意，. 故答案为：. 13. 已知，，则_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】由解析式已知为奇函数，利用奇函数性质有，即可求. 【详解】∵， ∴，即为奇函数， ∴，故. 故答案为：. 14. 如图，在中，，，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】确定，设，得到，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】， 设，则， 则 ，， 故， 当且仅当时，等号成立． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）若，求值； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据正弦定理得； （2）根据余弦定理得，解得，进而根据面积公式计算即可. 【详解】解：（1）因为，，所以， 又因为， 所以根据正弦定理得. （2）因为，， 所以根据余弦定理得，即 ， 解得：或（舍） 所以的面积为 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，求三角形的面积，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用余弦定理的方程思想，求得，进而求解面积. 16. 已知平面直角坐标系内存在三点：，，． （1）求的值； （2）若平面上一点P满足：，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量的夹角公式运算求解； （2）根据题意结论向量平行、垂直关系运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：，， 则，，， 故. 【小问2详解】 由题意可得：， ∵，设， ∴， 又∵，则，解得， ∴， 设，则， 可得，解得，即. 17. 已知向量若向量，. （1）若，的夹角为120°，求的值； （2）若，求； （3）若，求，的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义直接求出； （2）先由平方可求出，再由平方即可求出； （3）由向量垂直得数量积0，即可求出，再利用数量积定义即可求出. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由可得，即，所以， 则，所以； 【小问3详解】 因为，所以，则， 所以，因为，所以. 18. 已知函数 （1）求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间； （2）求在上的最值及对应的的值. 【答案】（1）对称轴：，对称中心：，减区间： （2）当时，取最大值1；当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可. 【小问1详解】 由，解得，所以对称轴方程为， 由解得，所以对称中心为， 由，解得， 所以函数的减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以当，即时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为. 19. 如图，玉溪汇龙欢乐世界摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度是关于的函数（其中，，），求函数解析式及时点距离地面的高度； （2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求游客在游玩一圈的过程中共有多长时间可以看到公园的全貌． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，进而得到函数解析式； （2）结合题意可得从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，只需让，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，，， 所以又，，得到， 即， 又摩天轮上的点p的起始位置在最低点处，即， 所以， 即，又，所以， 故， 当时，， 所以时点P距离地面的高度为． 【小问2详解】 因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌， 由（1）知， 得到，即， 得到，， 所以在每个周期内，，， 又， 所以游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$