4.5.2 用二分法求方程的近似解 同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解（同步训练） 一、选择题 1.(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法错误的有(　　) A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 2.二分法求函数的零点的近似值适合于(　　) A.零点两侧函数值异号 B.零点两侧函数值同号 C.都适合 D.都不适合 3.下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D.只能用二分法求函数的零点 4.下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A.f(x)＝x3－1 B.f(x)＝ln x＋3 C.f(x)＝x2＋2x＋2 D.f(x)＝－x2＋4x－1 5.利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 6.方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　) A. B. C.∪(5，＋∞) D. 7.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1，4] B.[－2，1] C. D. 8.某同学用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝3x＋3x－8，且计算f(1)＜0，f(2)＞0，f(1.5)＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为(　　) A.f(0.5) B.f(1.125) C.f(1.25) D.f(1.75) 9.用二分法求函数f(x)＝－x3＋3的零点可以取的初始区间是(　　) A.[－2，1] B.[－1，0] C.[0，1] D.[1，2] 二、填空题 10.用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为________次． 11.已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________ 12.用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度0.1)为________ 13.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次． 三、解答题 14.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币． 15.证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度0.1) 16.已知函数f (x)＝． (1)判断函数f (x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f (x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由． (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，lg21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)． 参考答案及解析： 一、选择题 1.BCD 解析：x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，所以A正确；例如f(x)＝x2，不可以用二分法求零点，所以B错误；方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以C错误；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以D错误．故选BCD． 2.A 解析：由函数零点的存在定理可知选A． 3.B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B． 4.C 解析：因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 5.D 解析：设f(x)＝log3x－(5－x)．因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D． 6.B 解析：由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则解得－＜m＜5．故选B． 7.D 解析：∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，． 8.C 解析：因为f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以第二次应计算的函数值为 ＝f(1.25)． 9.D 解析：因为f(x)＝－x3＋3在定义域R上单调递减，且f(0)＝3＞0，f(1)＝－13＋3＝2＞0，f(2)＝－23＋3＝－5＜0，即f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在区间[1，2]上存在唯一零点．故选D． 二、填空题 10.答案：7 解析：设经过n次，由题意得≤0.01，解得n≥7． 11.答案: 解析：二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，f(x)＝x－4log2x，则f(1)＝1＞0，f(3)＝3－4log23＜0，故零点所在区间为(1，3)，第二次计算f(2)的值，f(2)＝2－4log22＝－2＜0，故零点所在区间为(1，2)，所以第三次计算的值，即x2＝． 12.答案：2.25 解析：令f(x)＝x2－5， 因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0．取区间(2.2，2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25． 13.答案：6　解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6． 三、解答题 14.解：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面． 从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端．若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面． 将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面． 从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端．若天平平衡，则剩下的那一枚是假币；若不平衡，则质量小的那一枚是假币． 综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 15.解：因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又因为f(x)在(1，2)内单调递增， 所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x在区间(1，2)上有唯一一个实数解． 设该解为x0，则x0∈(1，2)，下面用二分法求解． 因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25． 16.解：(1)函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数理由如下：令0≤x1<x2， 由于f (x1)－f (x2)＝－＝<0，即f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数． (2)g(x)＝＋log2x－2是增函数， ∵g(1)＝1＋log21－2＝－1<0，g(2)＝＋log22－2＝－1>0， ∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点， ∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0， g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， ∴函数的零点在(1.5，1.75)内， ∵1.75－1.5＝0.25<0.3， ∴g(x)零点的近似值为1.5．(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 (a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) (1，2) 1.5 f(1)＜0 f(2)＞0 f(1.5)＞0 (1，1.5) 1.25 f(1)＜0 f(1.5)＞0 f(1.25)＞0 (1，1.25) 1.125 f(1)＜0 f(1.25)＞0 f(1.125)＜0 (1.125，1.25) 1.187 5 f(1.125)＜0 f(1.25)＞0 f(1.187 5)＜0 $$