3.2.1双曲线及其标准方程（3知识点+7题型+质量检测）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.2.1 双曲线及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 重点难点 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 双曲线的定义 1.双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 用集合可表示为：． 2.要点理解 (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点2 双曲线的标准方程 1.双曲线的标准方程推导（以焦点在x轴为例） 如图，以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程过程，化简①，得(c2－a2)·x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)． 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 3.要点理解 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 4.双曲线的标准方程的求法 (1)待定系数法求双曲线的标准方程 (2)共焦点双曲线方程 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)； 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 5.双曲线标准方程的条件 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线， ①当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线； ②当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线， ①当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线； ②当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3 双曲线中的焦点三角形 求焦点三角形面积的方法 (1) ①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 (2)利用公式求得面积； (3)若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 提升学科能力 题型一 双曲线的定义理解 例1．已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 跟踪训练1 1．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 3．若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 题型二 双曲线的标准方程 例2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用定义求参数范围 例3．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 跟踪训练3 1．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 . 题型四 根据标准方程求a，b，c 例4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（    ） A． B．1 C． D．2 跟踪训练4 1．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A． B． C． D． 2．设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（    ） A． B． C．4 D． 3．若双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C． D． 题型五 焦点三角形问题 例5．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 跟踪训练5 1．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．12 C． D． 2．点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 3．设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 题型六 双曲线有关的最值问题 例6．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 3．设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ． 题型七 双曲线有关的轨迹方程 例7．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 3．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 质量检测评价 一、单选题 1．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线不可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 二、多选题 7．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 8．对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 9．已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 三、填空题 10．已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 11．P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 12．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 四、解答题 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 14．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 15．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 双曲线及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 重点难点 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 双曲线的定义 1.双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 用集合可表示为：． 2.要点理解 (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点2 双曲线的标准方程 1.双曲线的标准方程推导（以焦点在x轴为例） 如图，以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程过程，化简①，得(c2－a2)·x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)． 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 3.要点理解 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 4.双曲线的标准方程的求法 (1)待定系数法求双曲线的标准方程 (2)共焦点双曲线方程 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)； 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 5.双曲线标准方程的条件 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线， ①当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线； ②当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线， ①当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线； ②当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3 双曲线中的焦点三角形 求焦点三角形面积的方法 (1) ①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 (2)利用公式求得面积； (3)若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。 提升学科能力 题型一 双曲线的定义理解 例1．已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【答案】AB 【分析】根据中垂线的定义可判断A选项；利用双曲线的定义可判断B选项；根据椭圆的定义可判断C选项；求出动点的轨迹方程可判断D选项. 【详解】设所求动点为，由题意可得. 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，由题意可知，， 所以，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，B对； 对于C选项，，所以，点的轨迹为线段，C错； 对于D选项，设点，则，可得， 满足条件的点不存在，D错. 故选：AB. 跟踪训练1 1．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得，即可求解. 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 2．圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 【答案】AB 【分析】利用椭圆和双曲线定义求解. 【详解】当点在圆内且不与点重合时，由图可知：，    又，由椭圆的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆， 即点的轨迹是椭圆； 当点在圆外时，由图可知：，    又， 由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，即点的轨迹是双曲线， 故选：AB 3．若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 题型二 双曲线的标准方程 例2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 跟踪训练2 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 2．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆C的半径为R，根据题意，得到，根据双曲线的定义，结合题中条件，求出，即可得出结果. 【详解】设圆C的半径为R，由题意可知， 两圆的圆心为：，∴， 可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， ∴， 则动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查双曲线的定义，涉及圆与圆位置关系，属于常考题型. 题型三 利用定义求参数范围 例3．若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 跟踪训练3 1．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 2．已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的取值范围. 【详解】因为方程对应的图形是双曲线，则， 即或，解得或． 故选：B 3．如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在y轴上双曲线有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 题型四 根据标准方程求a，b，c 例4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆，双曲线标准方程解决即可. 【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同， 所以， 解得（经检验，都符合题意）， 故选：C. 跟踪训练4 1．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 2．设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解. 【详解】由，得解得． 因为是双曲线左支上的动点， 所以. 由双曲线的定义可知． 故选：A. 3．若双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线中，，的关系，直接求解即可. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以 所以，解得. 故选:B 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题. 题型五 焦点三角形问题 例5．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 【答案】A 【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积 【详解】由，可得 又是是双曲线上的一点，则， 则，，又 则，则 则的面积等于 故选：A 跟踪训练5 1．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，因此，， 因，由双曲线定义得，解得，， 显然有，即是直角三角形， 所以的面积. 故选：A 2．点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【分析】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长. 【详解】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 3．设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【答案】 22 【分析】根据给定的双曲线方程，结合双曲线定义、余弦定理求解作答. 【详解】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则， 显然，又，解得， 所以的周长等于， . 故答案为：22； 题型六 双曲线有关的最值问题 例6．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设C为双曲线右焦点，则，， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 跟踪训练6 1．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值. 【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短）， 故选：B. 2．设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 3．设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】求距离之和的最小值由双曲线的定义转化为两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图：    设双曲线的另一焦点为，则有，，连接，易知点在双曲线内，点B在双曲线外，则；. 故答案为：；. 题型七 双曲线有关的轨迹方程 例7．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 跟踪训练7 1．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 2．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案. 【详解】圆，，圆心，， 圆，，圆心，， 设，因为圆同时与圆及相外切， 所以， 即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支. 故选：D 3．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为， 因为，, 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 故答案为： 质量检测评价 一、单选题 1．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【详解】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 3．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的特征进行求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A. 4．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 5．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程. 【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得， ，，， 因此，双曲线的方程为. 故选：C. 6．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线不可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】B 【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围. 【详解】A选项，若为椭圆，则， 解得或，A错误； B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确； C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误； D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则， 解得，D错误. 故选：B 二、多选题 7．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解； 【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或. 当时，将代入可得，所以的面积为. 当时，由双曲线的定义可知， ，由勾股定理可得. 因为， 所以，此时的面积为 综上所述，的面积为4或. 故选：. 8．对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 9．已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和. 三、填空题 10．已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 11．P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】由题意及圆的性质知，，结合双曲线定义求最大值. 【详解】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，    两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 12．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 四、解答题 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，得，即可求得双曲线的标准方程； （2）由已知，求得，设出双曲线标准方程，点在双曲线上，联立，解出，，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 14．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 【答案】 【分析】根据双曲线对称性，以冷却塔的轴截面建立直角坐标系，确定相关点坐标，应用待定系数法求双曲线方程即可. 【详解】根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系， 使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合. 这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，. 设双曲线的方程为，若C为，则点B为. 因为直径是实轴，所以，又B，C两点都在双曲线上， 由得：（负值舍去）. 代入得：. 化简得，解得（负值舍去）. 因此所求双曲线的方程为. 15．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【答案】48 【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积. 【详解】如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$