3.6.1 直线与圆的位置关系 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.6.1 直线和圆的位置关系 (第1课时) 威宁县羊街第二中学 范忠美 素养目标 a(地平线) 1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 创设情境 a(地平线) 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种? 新课探究 直线与圆的位置关系 作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺. 相交 相切 相离 直线和圆有哪几种位置关系?有三种位置关系: 直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点. 直线与圆的位置关系量化揭密 新课探究 如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系? 相交 相切 相离 r r 直线与圆的位置关系量化揭密 新课探究 相交 相切 相离 r r 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 d=r d<r d>r 探索切线性质 新课探究 1.你能举出生活中直线与圆相交,相切,相离的实例吗? 相交 相切 相离 r r 2.上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗? 由此你能悟出点什么? 探索切线性质 新课探究 如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. 直径AB垂直于直线CD. 小颖的理由是: ∵右图是轴对称图形,AB是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°. 老师期望: 圆的对称性已经在你心中落地生根. 探索切线性质 新课探究 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M, 则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. 所以AB与CD垂直. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. 探索切线性质 新课探究 参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题 定理:圆切直线垂直于过切点的半径. 如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA. 老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一. 切线的性质定理的应用 典例精讲 例1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? 老师提示: 模型“双垂直三角形”你可曾认识. 解:(1)过点C作CD⊥AB于D. ∵AB=8cm,AC=4cm. ∴∠A=60°. 因此,当半径长为 cm时,AB与⊙C相切. 切线的性质定理的应用 典例精讲 例1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系? 解:(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d= cm,所以 当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离; 当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交. 切线的性质定理的应用 典例精讲 例2.圆的直径是13cm ,如果直线与圆心的距离分别是, (1) 4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点? 解: r=6.5cm,设直线与圆心的距离为d （1）当 d = 4.5cm时, 有 d < r, 因此圆与直线相交, 有两个公共点 （2）当 r = 6.5cm时, 有 d = r,因此圆与直线相切, 有一个公共点 (3) 当 d = 8cm时, 有 d > r,因此圆与直线相离,没有公共点 方程 几何综合练习题 典例精讲 例3.设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 解:由题意可得：b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1(不符合题意舍去) 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 x1=x2= 课堂总结 通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？ 1．直线与圆的三种位置关系． (1)从公共点数来判断． (2)从d与r间的数量关系来判断． 2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 课堂总结 【解题通法】判断直线和圆的位置关系的方法 （1）将圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 相比较：若 d<r ，则直线和圆相交；若 d=r ，则直线和圆相切；若 d>r ，则直线和圆相离. （2）根据直线与圆的交点个数判定：若直线与圆没有交点，则直线和圆相离；若直线与圆有1个交点，则直线和圆相切；若直线与圆有2个交点，则直线和圆相交. 随堂练习 1.已知平面内有 ⊙O 和点 M ， N ，若 ⊙O 半径 为 2 cm ，线段 OM=3 cm ， ON=2 cm ，则直线 MN 与 ⊙O 的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 【解析】 ∵⊙O 的半径为 2 cm ，线段 OM=3 cm ， ON=2 cm ，即点 M 到圆心 O 的距离大于圆的半径，点 N 到圆心 O 的距离等于圆的半径， ∴ 点 M 在 ⊙O 外，点 N 在 ⊙O 上， ∴ 直线 MN 与 ⊙O 的位置关系为相交或相切. D 随堂练习 2.教材P91习题3.7T1变式已知 Rt△ABC 的斜边 AB=6 ,直角边 AC=3 ,以点 C 为圆心作 ⊙C . （1）当半径 r 为_________时,直线 AB 与 ⊙C 相切； 【解析】 如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ，在 Rt△ACB 中， 由勾股定理，得 ， ∴ 当 时，直线 AB 与 ⊙C 相切； 随堂练习 （2）当 ⊙C 与线段 AB 只有一个公共点时,半径 r 的取值范围为 _____________________； 【解析】 当 时， ⊙C 与线段 AB 只有一个公共点； （3）当 ⊙C 与线段 AB 没有公共点时,半径 r 的取值范围为 _____________________. 【解析】 当 时， ⊙C 与线段 AB 没有公共点． 随堂练习 3.一题多解 P 为 ⊙O 外一点， PT 与 ⊙O 相切于点 T ， OP=10 ， ∠OPT=30∘ ，则 PT 长为( ) A. 5   B.5 C.8 D.9 作业布置 课本P91 习题3.7 $$