3.6 直线与圆的位置关系 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 6.直线和圆的位置关系（第1课时） 点和圆的位置关系有几种？ （3） 知识回顾 r （1） d < r； d > r. 点在圆外 点在圆内 （2）　 d = r； 点在圆上 设圆的半径为r，任意一点到圆心的距离为d，则： d d d “大漠孤烟直，长河落日圆” 描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？ 情境引入 直线与圆的位置关系 观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？ 如图1，你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？ a（地平线） 新知讲解 a（地平线） ●O ●O ●O 图1 作一个圆，把直尺边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺. 直线和圆有哪几种位置关系？ 直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点. ● O ● O 相交 ● O 相切 相离 如图2，圆心 O 到直线 l 的距离 d 与 ⊙O 的半径 r 的大小有什么关系？ 直线与圆的位置关系量化揭密 你能根据 d 与 r 的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？ ●O ●O ●O r r r ┐d d ┐ d ┐ 图2 l l l 直线与圆的位置关系量化揭密 ● O ● O ● O r r r ┐d d ┐ d ┐ 相交 d r d r 相切 相离 d r < = > 设 r 表示圆的半径，d表示圆心O到直线 l 的距离. l l l 判定直线与圆的位置关系的方法有____种： （1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； （2）根据性质，由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系来判断. 两 归纳小结 1.已知圆的直径为 13 cm，设直线和圆心的距离为 d ： （3）若 d =8 cm ，则直线与圆______ ，直线与圆有____个公共点. （2）若 d =6.5 cm ，则直线与圆______， 直线与圆有____个公共点； （1）若 d =4.5 cm ，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点； 相交 相切 相离 2 1 0 随堂练习 2.如图3，已知∠AOB= 30°，M 为 OB 上一点，且 OM =5 cm，若以点 M 为圆心，r 为半径作圆，那么： （1）当直线 OA 与 ⊙M 相离时，求 r 的取值范围； （2）当直线 OA 与 ⊙M 相切时，求 r 的值； （3）当直线 OA 与 ⊙M 有公共点时，求 r 的取值范围. C O 解：（1）0 < r < 2.5 ； （2）r = 2.5 ； （3）r≥2.5. M B A 图3 探索切线性质 （1）你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？ （2）图4中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ 议一议 ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 图4 （3）如图5，直线 CD与 ⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样 的位置关系？说说你的理由. 直径 AB 垂直于直线 CD. 小颖的理由是： ∵圆是轴对称图形，AB 是对称轴， ∴沿直线 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合， 因此∠BAC=∠BAD= 90°. C D B ●O A 图5 小亮的理由是： 直径 AB 与直线 CD 垂直. 假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条直径垂直于 CD，垂足为点 M，如图6， 则OM < OA，即圆心到直线 CD 的距离小于 ⊙O 的半径， 因此 CD 与 ⊙O 相交. 这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”相矛盾. 所以 AB 与 CD 垂直. C D B ●O A M 图6 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. ∵如图7，CD 是 ⊙O 的切线，A 是切点，OA 是 ⊙O 的半径， ∴CD⊥OA. 提示： 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据； 作过切点的半径是常用经验辅助线之一. C D B ●O A 图7 归纳小结 例 如图8，已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8 cm，直角边 AC=4 cm. （1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与 ⊙C 相切？ 解：（1）过点 C 作CD⊥AB于点 D. A C B D ┛ ∵AB=8 cm，AC=4 cm， ∴∠A=60°. 因此当半径长为 cm时，AB 与 ⊙C 相切. 图8 例题讲解 （2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm，4 cm 长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？ 当 r=4 cm 时，d < r，AB 与 ⊙C 相交. 当 r=2 cm 时，d > r，AB 与 ⊙C 相离； 解：（2）由（1）可知， 圆心 C 到 AB 的距离 d= cm，所以 例 已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8 cm，直角边 AC=4 cm. 1.如图9，直线 BC 与半径为 r 的⊙O相交，且点 O 到直线 BC 的距离为 5， 求 r 的取值范围. 2.如图10，一个直径为 d 的圆沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少？ r B C ● O 圆滚动一圈，圆心经过的路径是与直线平行的一条线段，其长度等于圆的周长 . 图9 随堂练习 r > 5 图10 3.如图11，点 A 是一个半径为 300 m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B，C 两村庄，现要在 B，C 两村庄之间修一条长为1 000 m 的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC=45°， ∠ACB=30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明． D 45° 30° A B C 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADB =∠ADC=90°. BD+CD = x+ =1 000 m， 解得 在Rt△ABD 中， ∠ABC=45°，则 BD =x m. 设 AD 长为 x m. 在Rt△ADC 中， ∠ACB= 30°，则 CD = . 图11 因为 ，所以公路不会穿过该森林公园. 课堂小结 直线与圆的 位置关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 数量关系 d < r d = r d > r 割线 切线 无 交点 切点 无 2 1 0 相离 相切 相交 作业布置 习题3.7 $$