3.7 切线长定理 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学九年级下册 第三章 圆 3.7 切线长定理 威宁县羊街第二中学 范忠美 素养目标 导入新课 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如下图所示）！ 直径所对的圆周角是直角. 新课探究 切线长的定义 1.切线长的定义： 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 新课探究 切线长定理 问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ 猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO 新课探究 切线长定理 问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？ 如图，连接OA，OB. ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 新课探究 切线长定理 切线长定理: 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 几何语言: PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 注意:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 练一练: 新课探究 切线长定理 1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=__________; （2）若∠BPA=60 °,则OP=__________. 5 6 2. PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. 新课探究 切线长定理 （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. 新课探究 切线长定理 2. PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. （3）写出图中所有的全等三角形； （4）写出图中所有的等腰三角形. △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. △ABP △AOB 典例精析 例1 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是_____________； ⑵ ∠DOE=_____________. 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. ∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. 典例精析 又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB. l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. ∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD， ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. 同理可得∠COE= ∠COB. ∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+ ∠COB）=70°. 新课探究 切线长定理 方法归纳:切线长问题辅助线添加方法 例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 典例精析 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ 解:设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm， BF=BD=AB-AF=(13-x)cm. 典例精析 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 典例精析 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切 于D、E、F，连接OD、OE、OF，则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB. ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c 解得: 随堂练习 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=_________,PB=_________. 20 ° 4 随堂练习 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC=_______________. 110 ° 随堂练习 3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 20 4.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图所示，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点.如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够. 随堂练习 (1)写出此图中相等的线段. (2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程) 4. 随堂练习 (1)写出此图中相等的线段. (2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程) 解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC. (2)如图，连接OB、OA. 根据切线长定理，得∠OAB＝60°. 在直角三角形AOB中，OB＝ AB， 则只需测得AB的长，即可求得圆的直径. 课堂总结 切线长 作业布置 课本P96 习题3.9 $$