第27章　相似 单元素养测评（自主整理）2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十七章　相似 单元素养测评 时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______ 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．若4x＝7y，则的值为(C) A．－ B．－ C． D． 2．如图所示，网格中相似的两个三角形是(B) A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③ 3．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是(B) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 4．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，下列结论正确的是(D) A．DE∶BC＝1∶2 B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3 C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2 D．DE∥BC 5．如图，△ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是(B) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，小明在A时测得某树的影长为3 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．(B) A．± B． C．6 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D.C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为(C) A.4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(C) A．25 B．30 C．35 D．40 9．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是(D) A．－a B．－(a＋1) C．－(a－1) D．－(a＋3) 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H.若AE＝2BE，则的值为(C) A． B． C． D． 二、填空题(每小题5分，共30分) 11．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件__∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝(答案不唯一)__，使△ADE∽△ABC. 12．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝.若DE＝2，则BC的长是__6__． 13．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F.若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是__27__． 14．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是__2∶5__． 15．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是__134__米． 16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝__或__． 三、解答题(共80分) 17．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC.过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB， ∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED. ∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 18．(8分)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹． 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，以点O为位似中心，画△DEF，使△ABC与△DEF位似，且位似比为1∶2； (2)在图2中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD. 解：(1)如图1，△DEF为所作； (2)如图2，点P为所作． 19．(8分)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F. (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°， ∴△ABE∽△DFA； (2)∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.∵AB＝6， ∴AE＝＝2.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.∵△ABE∽△DFA，∴＝， ∴DF＝＝＝. 20．(8分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. 解：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3(米). 答：旗杆的高AB是3米． 21．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F. (1)请找出一对相似的三角形并证明； (2)已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值． 解：(1)答案不唯一，比如△DEF∽△BEC，证明如下：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，∴△DEF∽△BEC； (2)∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，∴△DEF∽△BEC， ∴＝.∵BE＝2ED，∴CE＝2FE.设FE＝m，则CE＝2m， ∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴∠DCE＝∠BNE，∠EDC＝∠EBN， ∴△DCE∽△BNE，∴＝，∵BE＝2DE，∴NE＝2CE， ∴NE＝4m，∴CN＝6m，∴CN＝6EF，即k＝6. 22．(12分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设＝， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． (1)证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC； (2)解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴＝，解得BE＝4； ②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC， ∴＝()2＝()2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45. 23．(12分)如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG. (1)求证：△ABG∽△AFC； (2)已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示)； (3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD. (1)证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAC， 又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC； (2)解：由(1)知，△ABG∽△AFC，∴＝， ∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a， ∴FG＝AG－AF＝a－b； (3)证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG， ∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG＋∠ABD＝∠CBG＋∠CBE＝∠EBG.又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝， ∴BG2＝GE·GD. 24．(14分)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F. (1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； (3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度． (1)证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC， AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°.∵DE＝BE，∴∠1＝∠2.又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF⊥AC； (2)解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF. 理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF. ∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4. 又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF； (3)解：∵△OBF∽△ECF.∴＝，∴＝，即3CF＝2BF， ∴3(CF＋OF)＝3CF＋9＝2BF＋9，∴3OC＝2BF＋9， ∴3OA＝2BF＋9①.∵△ABF∽△BOF，∴＝，∴BF2＝OF·AF， ∴BF2＝3(OA＋3)②，联立①②，可得BF＝1±(负值舍去)， ∴DE＝BE＝2＋1＋＝3＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章　相似 单元素养测评 时间：120分钟　满分：150分　班级：　姓名： 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．若4x＝7y，则的值为( ) A．－ B．－ C． D． 2．如图所示，网格中相似的两个三角形是( ) A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③ 3．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是( ) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 4．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，下列结论正确的是( ) A．DE∶BC＝1∶2 B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3 C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2 D．DE∥BC 5．如图，△ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，小明在A时测得某树的影长为3 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m ( ) A．± B． C．6 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D.C，D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为( ) A.4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为( ) A．25 B．30 C．35 D．40 9．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( ) A．－a B．－(a＋1) C．－(a－1) D．－(a＋3) 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H.若AE＝2BE，则的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题(每小题5分，共30分) 11．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 ，使△ADE∽△ABC. 12．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝.若DE＝2，则BC的长是 ． 13．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F.若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 ． 14．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是 ． 15．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米． 16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝ ． 三、解答题(共80分) 17．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC.过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB， ∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED. ∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 18．(8分)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹． 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，以点O为位似中心，画△DEF，使△ABC与△DEF位似，且位似比为1∶2； (2)在图2中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD. 19．(8分)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F. (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长． 20．(8分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. 21．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F. (1)请找出一对相似的三角形并证明； (2)已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值． 22．(12分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设＝， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 23．(12分)如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG. (1)求证：△ABG∽△AFC； (2)已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示)； (3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD. 24．(14分)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F. (1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； (3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$