3.3 垂径定理 课件 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

焦作市第十五中学 李艳平 北师版九年级下册第三章 3.3垂径定理 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线。 圆是中心对称图形，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性。 复习旧知，引入新课 1 思考回答：圆有哪些对称性？ 如图，AB 是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 这个图是轴对称图形，对称轴是直径CD 所在的直线。 C D M└ ●O A B 2 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？你是怎样得来？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？和同桌交流你是怎样得到的？ 等量关系有：∠CMA=∠CMB=∠CMA=∠CMB=90° ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD。 AM=BM, 3 C D M└ ●O A B 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 （3）试用自己的语言总结所得到的结论，和同桌互相说说。 （4）请证明这个结论。 结论：如果圆的直径垂直一条弦，那么它就平分这条弦，并且平分弦所对的弧（优弧和劣弧）。 4 C D M└ ●O A B 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 如图,已知AB是☉O 的一条弦,CD 是☉O 的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M。 求证 : AM=BM, AC =BC, ⌒ AD =BD。 ∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD. 证明：连接OA、OB,则OA=OB. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD ∴ ∴ ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM ≌ Rt△OBM. ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC. AC =BC 在Rt△OAM 和 Rt△OBM 中， 5 ⌒ ⌒ ⌒ 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 C D M└ ●O A B 符号语言： ∵ CD是直径,CD⊥AB ∴ AM=BM，AC=BC，AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 注意事项: (1)条件中的“弦”可以是直径; (2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦对的弧。 条件 结论 6 C D M└ ●O A B 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A × √ O C D E × B O C D A × 7 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 1、探索垂径定理 如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD，交AB于M。 (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你发现图中有哪些等量关系? (3)这里AB 可以是直径吗？为什么？ 请类比前面的方法，探索下面问题 M 8 C D ●O A B 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 2、探索垂径定理的逆定理定理 O C D B A 为什么AB和CD不垂直呢？ 因为AB和CD都是直径啊！ 9 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 2、探索垂径定理的逆定理定理 垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并平分弦所对的弧。 10 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 2、探索垂径定理的逆定理定理 C D ●O A B M 11 如图，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD，交AB于M。你又能得到什么结论？ ⌒ 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 2、探索垂径定理的逆定理定理 直径、①垂直于弦、②平分弦、③平分优弧、④平分劣弧 四个结论中,已知其中的一个结论就可以推导出其它的三个结论. 不是直径哟！ 12 通过前面的探索，你发现了什么规律？ 利用圆的轴对称性探索：（独立思考、小组交流、展示） 深入探索，揭示本质 2、探索垂径定理的逆定理定理 13 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1米）。 广泛迁移，加强运用 解：设半径为R 米 由题意可知AB =37.4，CD =7.2 ∴ AD=0.5AB=18.7 OD=OC-CD=R-7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理得 OA 2=AD 2 +OD 2 =18.72+(R -7.2)2 解得R≈27.9 答：赵州桥主桥拱半径约为27.9m。 请说说本节课你有哪些收获？ 1．知识方面： 15 2．技能方面： 3.思想方面： 广泛迁移，加强运用 谢 谢 ！ $$