2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第06讲用公式法解一元二次方程

人教版九年级数学上 点拨*训练 第06讲 用公式法解一元二次方程 1、 学习目标： 1.经历求根公式的推导过程。 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。 3.综合运用求根公式与根的判别式解决有关问题。 二、老师告诉你 用公式法解一元二次方程的“三步骤” 1. 把一元二次方程化为一般形式，确定a、b、c的值； 2. 计算b2-4ac的值； 3. 当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当b2-4ac<0时，方程无实数根。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1、利用公式法解一元二次方程——求根公式 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 【新知导学】 例1-1．一元二次方程根的判别式的值是( ) A.33 B.23 C.17 D. 例1-2．一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 【对应导练】 1．关于方程的根的说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.两实数根的和为-2 D.两实数根的积为3 2．下列方程中，没有实数根的是( ) A. B. C. D. 3．请填写一个常数，使得关于x的方程______有两个不相等的实数根. 知识点2 .公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【新知导学】 例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0． 例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值． 【对应导练】 1．解方程：x2-6x+11=0（公式法） 2．请阅读下列材料： 我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果； （2）当x取何值时，=0； （3）若==-7，直接写出x和y的值． 四、题型训练 1.求根公式与根的判别式的综合应用 1．已知关于x的方程x2+nx+2m=0． （1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2x=m（m为常数）． （Ⅰ）当m=5时，求这个方程的解； （Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解． 4．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 2.求根公式在几何中的应用 1．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 2．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 4．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积． 5．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根． （2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 6．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 7．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0 （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 五、牛刀小试 一、选择题(共8题，每小题4分，共32分) 1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　） A. B. C. D. 2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=，下列判断一定正确的是（　　） A. a=-1 B. c=1 C. ac=1 D. =-1 3．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0 4．方程x2+3x=14的解是（　　） A. x= B. x= C. x= D. x= 5．方程x（x-1）=2的两根为（　　） A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2 6．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 7．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1 C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0 8．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题(共5题，每小题4分，共20分) 9．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 10．关于x2-3x+1=0的方程_____实数根．（注：填“有”或“没有”）． 11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，则a=_____，x1=x2=_____． 12．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 13．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_____． 三、解答题(共6题，) 14．（8分）解方程： （1）； （2） 15．（8分）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择（1）中k的一个负整数值，并求出方程的根． 16．（8分）已知关于x的方程2x2-kx+2=0的一个解与方程=4的解相同． （1）求k的值； （2）求方程2x2-kx+2=0的另一个解． 17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1． 请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第06讲 用公式法解一元二次方程（解析版） 1、 学习目标： 1.经历求根公式的推导过程。 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。 3.综合运用求根公式与根的判别式解决有关问题。 二、老师告诉你 用公式法解一元二次方程的“三步骤” 1. 把一元二次方程化为一般形式，确定a、b、c的值； 2. 计算b2-4ac的值； 3. 当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当b2-4ac<0时，方程无实数根。 三、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1、利用公式法解一元二次方程——求根公式 求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 【新知导学】 例1-1．一元二次方程根的判别式的值是( ) A.33 B.23 C.17 D. 答案：C 解析：. 故选C 例1-2．一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 答案：A 解析：由题意，可知， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A. 【对应导练】 1．关于方程的根的说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.两实数根的和为-2 D.两实数根的积为3 答案：B 解析：， 方程没有实数根. 故选项A，C，D不正确， 故选：B. 2．下列方程中，没有实数根的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：A、，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意； B、，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意； C、，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意； D、，方程没有实数根，此选项符合题意. 故选：D. 3．请填写一个常数，使得关于x的方程______有两个不相等的实数根. 答案：0（答案不唯一） 解析：设这个常数为a， 要使原方程有两个不同的实数根， ， ， 满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）. 知识点2 .公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 【新知导学】 例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0． 【解析】直接利用求根公式计算可得． 解：∵a=2，b=-3，c=1， ∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0， 则x==， 即x1=1，x2=． 例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值． 【解析】（1）求出b2-4ac的值，代入公式 x=求出即可； （2）求出x2=x+1，求出x4=3x+2，x5=5x+3，2x2=2x+2，分别代入即可． 解：（1）x2-x-1=0， b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5， ∴x=， ∴x1=，x2=． （2）x2-x-1=0， ∴x2=x+1， x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2， x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3， 2x2=2（x+1）=2x+2， ∴===1． 【对应导练】 1．解方程：x2-6x+11=0（公式法） 【解析】根据原方程知，求根公式中的a、b、c的值分别是方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，然后将其代入求根公式求解即可． 解：由原方程，知 a=，b=-6，c=11 将其代入求根公式x=，得 x=， ∴原方程的根是：x1=4，x2=． 2．请阅读下列材料： 我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果； （2）当x取何值时，=0； （3）若==-7，直接写出x和y的值． 【解析】（1）根据运算的规定，可知=-1×0.5-（-2）×2，然后根据有理数的混合运算法则，得出结果； （2）根据运算的规定，可知=2x2-1×（0.5-x），从而可列出关于x的方程2x2-1×（0.5-x）=0，解这个方程，即可求出结果； （3）根据运算的规定，可知=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,从而可列出方程组，解这个方程组，即可求出x和y的值． 解：（1）∵=ad-bc, ∴=-1×0.5-（-2）×2=-0.5+4=3.5；（2分） （2）由题意，得2x2-1×（0.5-x）=0，（4分） 整理，得4x2+2x-1=0， 解之，得．（5分） ∴当或时，=0； （3）∵=ad-bc, ∴=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y, 由题意，得组， 解得． 故x=8，y=2．（8分） 四、题型训练 1.求根公式与根的判别式的综合应用 1．已知关于x的方程x2+nx+2m=0． （1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根． 【解析】（1）根据根的判别式符号进行判断； （2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． （1）证明：∵n=m+3， a=1，b=m+3，c=2m, ∴Δ=（m+3）2-8m =m2-2m+9 =（m-1）2+8， ∵（m-1）2≥0， ∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等实数根； （2）由题意可知， Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0， 即：n2=-8m. 当n=4，m=-2时，方程为：x2-2x+1=0． 解得：x1=x2=1． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2x=m（m为常数）． （Ⅰ）当m=5时，求这个方程的解； （Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 【解析】（Ⅰ）把m的值代入方程，利用配方法求解即可． （Ⅱ）若一元二次方程有两等根，则根的判别式Δ=b2-4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值；若方程无实数根知4m+4＜0，解之可得答案． 解：（Ⅰ）当m=5时，方程为x2+2x=5， x2+2x+1-1=5， （x+1）2=6， 解得，x1=，x2=-； （Ⅱ）∵b2-4ac=4+4m, ∴4+4m=0时，方程有两个相等的实数根， 解得：m=-1， 即m=-1时，方程有两个相等的实数根． ∴4m+4＜0 解得：m＜-1， 即m＜-1时，方程没有实数根． 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解． 【解析】（1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 解：（1）Δ=4-4（k-2）=12-4k＞0， ∴k＜3． （2）由（1）可知：k=2， ∴此时方程为：x2+2x=0， ∴x（x+2）=0， ∴x=0或x=-2． 4．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 【解析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值； （2）根据k＞-1，且k是最小整数，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可． 解：（1）∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0， 解得k＞-1； （2）∵k＞-1，且k是最小整数， ∴k=0， 把k=0代入原方程，可得x2+2x=0， 解得x1=0，x2=-2． 2.求根公式在几何中的应用 1．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【解析】（1）计算判别式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC=2k+1，AB•BC=4k-3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，则（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． （1）证明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3） =4k2+4k+1-16k+12 =4k2-12k+13 =（2k-3）2+4， ∵（2k-3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC=2k+1，AB•BC=4k-3， 而AB2+BC2=AC2=（）2， ∴（2k+1）2-2（4k-3）=31， 整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2， 而AB+BC=2k+1＞0，AB•BC=4k-3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC=7， ∴矩形ABCD的周长为14． 2．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论； （2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值． （1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0， ∴k＞0， 又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25， ∴（k+3）2-2×3k=25， 解得：k=±4， ∵k＞0， ∴k=-4应舍去， ∴k=4． 3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a=b=c, ∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1． 4．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0． （1）判断这个一元二次方程的根的情况； （2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积． 【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=（2k-3）2≥0，由此即可得出该方程有两个实数根； （2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由Δ=0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论． 解：（1）∵Δ=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0， ∴该方程有两个实数根； （2）①当3为底边长时，Δ=（2k-3）2=0， ∴k=， 此时原方程为x2-4x+4=0， 解得：x1=x2=2． ∵2、2、3能组成三角形， ∴三角形的周长为2+2+3=7，三角形的面积为×3×=； ②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0， 解得：k=2， 此时原方程为x2-5x+6=0， 解得：x1=2，x2=3． ∵2、3、3能组成三角形， ∴三角形的周长为2+3+3=8，三角形的面积为×2×=2． 综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2． 5．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根． （2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积． 【解析】（1）只要证明△≥0即可解决问题． （2）当x=-1时，有a-c+b=0，即a+b=c,由2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，推出c=2，推出a2+b2=c2=4，a+b=2，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可得ab=2，由此即可解决问题． （1）证明：由题意，得 Δ=（c）2-4ab=2c2-4ab, ∵a2+b2=c2， ∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0， 即△≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根 （2）解：当x=-1时，有a-c+b=0，即a+b=c, ∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6， ∴3c=6， ∴c=2， ∴a2+b2=c2=4，a+b=2， ∵（a+b）2=a2+2ab+b2， ∴ab=2， ∴S△ABC=ab=1． 6．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 【解析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明； （2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答． （1）证明：Δ=（k+3）2-4×3k=（k-3）2≥0， 故不论k取何实数，该方程总有实数根； （2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根， 则（k-3）2=0， 解得k=3， 方程为x2-6x+9=0， 解得x1=x2=3， 故△ABC的周长为：2+3+3=8； 当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2， 方程为x2-5x+6=0， 解得，x1=2，x2=3， 故△ABC的周长为：2+2+3=7． 7．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0 （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解析】（1）先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=（2k-3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当b=c时，则Δ=（2k-3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长． （1）证明：Δ=（2k+1）2-4×4（k-） =4k2+4k+1-16k+8， =4k2-12k+9 =（2k-3）2， ∵（2k-3）2≥0，即△≥0， ∴无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）解：当b=c时，Δ=（2k-3）2=0，解得k=，方程化为x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去； 当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4（2k+1）+4（k-）=0，解得k=，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2， 所以△ABC的周长=4+4+2=10． 五、牛刀小试 一、选择题(共8题，每小题4分，共32分) 1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】利用公式法求解即可． 解：∵a=1，b=-6，c=1， ∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0， 则x===3±2， 故选：D． 2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=，下列判断一定正确的是（　　） A. a=-1 B. c=1 C. ac=1 D. =-1 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案． 解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=，x2=， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=， ∴x1+x2=-b=-，x1•x2==-1， ∴当b≠0时，a=1，c=-1，则ac=-1， 故选：D． 3．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0 【答案】A 【解析】根据题意知；，a=2, b=4, c=1 所以一元二次方程为2x2+4x+1=0 故选A 4．方程x2+3x=14的解是（　　） A. x= B. x= C. x= D. x= 【答案】B 【解析】把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根． 解：方程整理得： x2+3x-14=0 a=1，b=3，c=-14， △=9+56=65 x=． 故选：B． 5．方程x（x-1）=2的两根为（　　） A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2 【答案】D 【解析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答． 解：方程移项并化简得x2-x-2=0， a=1，b=-1，c=-2 △=1+8=9＞0 ∴x= 解得x1=-1，x2=2．故选：D． 6．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关 【答案】C 【解析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论． 解：∵Δ=（2a）2-4×1×（a2-1） =4a2-4a2+4 =4＞0． ∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根． 故选：C． 7．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1 C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解：根据题意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0， 解得k≥-1且k≠0． 故选：A． 8．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案． 解：3※x=-m, 则x2-3x=-m, 故x2-3x+m=0， ∵关于x的方程3※x=-m没有实数根， ∴Δ=b2-4ac=9-4m＜0， 解得：m＞， ∴m的值可以是3． 故选：A． 二、填空题(共5题，每小题4分，共20分) 9．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤1且k≠0 【解析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0， 即：4-4k≥0， 解得：k≤1， ∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0， 故答案为：k≤1且k≠0． 10．关于x2-3x+1=0的方程_____实数根．（注：填“有”或“没有”）． 【答案】有 【解析】由根的判别式，先求出△，再根据Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根，进行判断即可． 解：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根， 故答案为有． 11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，则a=_____，x1=x2=_____． 【答案】(1);(2); 【解析】根据题意，先求得a,又方程有两个相等的实数根，再由根与系数的关系计算即可． 解：∵b2-4ac=0， ∴16-20a=0， 解得a=， ∴x1=x2=（x1+x2）=（-）=（-）=； 故答案为；． 12．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】k≥-且k≠0 【解析】若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 解：∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根， ∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0． 解得：k≥-且k≠0， ∴故本题答案为：k≥-，且k≠0． 13．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论： ①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_____． 【答案】3 【解析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可． 解：∵x2-2x-a=0， ∴Δ=4+4a, ∴①当a＞-1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误， ③方程的根为x==1±， ∵a＞-1， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确， ④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， 故答案为3． 三、解答题(共6题，) 14．（8分）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】（1）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程—公式法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15．（8分）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择（1）中k的一个负整数值，并求出方程的根． 【解析】（1）根据一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根可得Δ=（-3）2-4k＞0，求出k的取值范围即可； （2）根据k的取值范围，结合k为负整数，得到k的值，进而求出方程的根． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ=9-4k＞0， ∴k＜； （2）∵由（1）可知k＜， ∴选择k等于-4代入原方程得：x2-3x=0， 解方程得：x1=4，x2=-1． 16．（8分）已知关于x的方程2x2-kx+2=0的一个解与方程=4的解相同． （1）求k的值； （2）求方程2x2-kx+2=0的另一个解． 【解析】（1）先解分式方程=4可得出x=，再将x=代入方程2x2-kx+2=0，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值； （2）根据两根之和=-即可求得方程的另一解． 解：（1）解方程=4， 得x=． 经检验x=是原方程的解． 把x=代入方程2x2-kx+2=0， 得-k+2=0， 解得k=5； （2）当k=5时，方程为2x2-5x+2=0． 由根与系数关系得方程另一个解为：x=-=2． 17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1． 请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0． 【解析】设2x+3=y,则原方程可化为y2-6y-7=0，求出y的值，再代入求出x即可． 解：设2x+3=y, 则原方程可化为：y2-6y-7=0， 解得：y1=-1，y2=7， 当y=-1时，2x+3=-1，解得：x=-2， 当y=7时，2x+3=7，解得：x=2， 所以原方程的解为x1=-2，x2=2． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【解析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ=4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论； （2）方法一：利用因式分解法求出x1=m,x2=3m.由题意得出m的方程，解方程则可得出答案． 方法二：利用根与系数的关系可求出答案． （1）证明：∵a=1，b=-4m,c=3m2， ∴Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2． ∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0， ∴原方程总有两个实数根． （2）解：方法一：∵x2-4mx+3m2=0，即（x-m）（x-3m）=0， ∴x1=m,x2=3m. ∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2， ∴3m-m=2， ∴m=1． 方法二： 设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=4m,x1•x2=3m2， ∵x1-x2=2， ∴（x1-x2）2=4， ∴（x1+x2）2-4x1x2=4， ∴（4m）2-4×3m2=4， ∴m=±1， 又m＞0， ∴m=1． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a=b=c, ∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1． 学科网（北京）股份有限公司 $$