3.4圆周角和圆心角的关系 课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

3.4 (1)知道什么是圆周角,并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想. 学习目标 新课导入 如图,把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上,得到∠ACB. 问题1:∠ACB有什么特点?它与∠AOB有何异同? 问题2:你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗? A B C O 1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角. 2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点? 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 任务一:圆周角的定义 判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. 测量:如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测看,∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 猜测: 圆周角的度数_它所对弧上的 圆心角度数的 . 先猜一猜,再用量角器量一量. 任务二:圆周角定理 E F 在圆上任取BC,画出BC所对的圆心角∠BOC和圆周角∠BAC,圆心角与圆周角有几种位置关系? 任务二:圆周角定理 圆心O在∠BAC的内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC的外部 如何证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半? D D 任务二:圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.如图,⊙O是 ABC的外接圆,∠OCB=50 ,则∠A等于( ) A.40 B.50 C.60 D.70 2.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=50 ,∠BOC=70 . 求∠ACB和∠BAC度数. 第 1 题 图 第 2 题 图 当堂检测 3.如图,⊙O中,弦AD平行于弦BC,∠AOC=78 ,求∠DAB的度数. 4.如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60 , 则∠DBC的度数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 第 3 题 图 第 4 题 图 5.如图,AB是⊙O的直径,C、D、E是⊙O上的点,则∠1+∠2等于( ) A.90 B.45 C.180 D.60 第5题图 6.如图, ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30 ,AB=2, 则⊙O的半径是 . 第6题图 同弧所对的圆周角相等. 同弧: ∠BAC与∠BDC都是BC所对的圆周角,∠BAC与∠BDC有什么关系? 任务三:圆周角定理的推论1 等弧所对的圆周角相等. 等弧: BC=CE,∠BDC与∠CAE有什么关系? 任务三:圆周角定理的推论1 推论1: 任务三:圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 1.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于E点,且∠A=40 , ∠AED=75 ,则∠B=( ) A.15 B.40 C.5 D.35 2.如图,在⊙O中,CD⊥AB于点E,若∠B=60 ,则∠A=_. 第 1 题 图 第 2 题 图 当堂检测 3.如图,⊙O的半径为1,A,B,C是⊙O上的三个点,且∠ACB=45 ,求弦AB的长. 4.如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60 , 判断 ABC的形状并证明你的结论. 5.船在航行过程中,船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点,∠ACB就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠ 与“危险角”有怎样的大小关系? 90 的圆周角所对的弦是直径 任务四:圆周角定理的推论2 半圆(或直径)所对的圆周角有什么特殊性? 思考 半圆(或直径)所对的圆周角是直角 当堂检测 1.如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30 ,则∠A的度数为( ) A.30 B.45 C.60 D.75 2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60 , ∠ADC=70 求∠APC的度数. 第 1 题 图 第 2 题 图 3.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15 ,求∠BAD的度数 4.如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于点D,求 BC,AD,BD 的长. 第3题图 第4题图 观察思考:下面这些多边形与圆有怎样的位置关系? 任务四:圆周角定理的推论3 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆. (1)ABC和ADC所对的圆心角之和等于多度? ∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系? (2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系? 提出你的猜想,并和大家进行交流. 任务四:圆周角定理的推论3 任务四:圆周角定理的推论3 圆内接四边形的对角互补 ∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180 ∵∠BCD+∠DCE=180 ∴∠A=∠DCE 想一想:图中∠A与∠DCE的大小有何关系? 结论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 任务四:圆周角定理的推论3 当堂检测 1.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120 ,那么∠BCD是( ) A.120 B.100 C.80 D.60 2.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是延长线上一点,若∠BAD=105 , 则∠DCE=_. 3.如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,CD=CB,若∠C=110 , 那么∠ABC是( ) A.55 B.60 C.65 D.70 4.如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E,F, 若∠E=40 ,∠F=60 ,求∠A的度数是 变式:∠A=55 ,∠E=30 ,则∠F=_. 5.如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G. 求证:∠FGD=∠ADC. . 显然,∠C与∠D所对应的圆心角和为 , 所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 下列说法是否正确,为什么? “在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等”. D B C O E 一条弦所对应的圆周角有两类. 如图所示,连接BO、EO. 360 180 在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角可能相等,也可能互补. 课堂小结 圆周角 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论: 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形: 圆内接四边形的内角和为360 ,并且四边形的对角互补. 同弦所对的圆周角相等或互补. 1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110 ,∠B=80 ,∠C= ,∠D= 2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ,则∠D= . 3.已知 ABC内接于⊙O,OD⊥AC于点D,如果∠COD=32 ,那么∠B是( ) A.16 B.32 C.16 或164 D.32 或148 4.已知:如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形.∠A=130 ,求∠DCE. 5.如图,点A、B、C在⊙O上,若∠AOB=100 ,则∠ACB=_. 6.在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60 ,AC=a. (1)求证:∠ACD=60 ; (2)求四边形ABCD的面积. $$