3.4 圆周角和圆心角的关系 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大版九年级数学下册第三章 圆 3.4圆周角与圆心角的关系 宿州市第二初级中学 杜庆云 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 复习回顾 (1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 讲授新课 微探究 圆心角 圆周角 顶 点 位 置 角 度 关 系 圆心O 在∠BAC的 内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 推导与论证 微探究 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C O A B D O A C D O A B C D 圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D 圆心O在∠BAC的外部 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半； 圆周角定理 要点归纳 微运用 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 【练习】 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D 互动探究 D A B O C E F (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ 想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？ 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识要点 A1 A2 A3 同弧或等弧所对的圆周角相等． 推论1： 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 前面我们学习了一个反映圆心角、弧、弦和弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ A B O C 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 下列说法是否正确，为什么？ “在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”. D B C O E . 一条弦所对应的圆周角有两类. 这两类角有什么关系吗？ 如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 360° 180° 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 思考 所对应的圆心角为 ， 则对应的圆周角为 . 180° 90° 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2： 典例精析 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小. O C A B 解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.） ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 练一练 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 证明猜想 归纳总结 推论：圆的内接四边形的对角互补. 随堂演练 基础巩固 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 2.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( ) A.15° B.40° C.5° D.35° 3.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= . 4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝ . 80° 125° 5.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 6.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形： 圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补. 感谢聆听 Lavf57.73.100 $$