23.2 中心对称　 同步练习 　2024—2025学年人教版数学九年级上册

23.2 中心对称 知识点一 中心对称定义 1．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 2．如图，图形旋转多少度后能与自身重合（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 3．下列图形中，绕着它的中心点旋转60°后，可以和原图形重合的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有（　　） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 5．如图既是轴对称又是中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【过关检测】 1．以下五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（　　） A．旋转后重合的两个图形成中心对称 B．全等的两个图形一定成中心对称 C．成中心对称的两个图形一定全等 D．正三角形是中心对称图形 3．下列说法中，正确的是（　　） A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必重合 C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同 D．旋转后能重合的两个图形成中心对称 知识点二 中心对称的性质 题型一：根据性质确定对称中心与应线段等 【例题】 【例1】（对称中心）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　） A． 点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点 1．下列说法中错误的是（　　） A．成中心对称的两个图形全等 B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分 C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心 D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合 2．你玩过扑克牌吗？你仔细观察过每张扑克牌的图案吗？下列扑克牌的图案中，是中心对称的一组是（　　） A．红挑6与红挑4 B．方块6与方块4 C．梅花6与梅花4 D．黑挑6与黑挑4 3．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论： ①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点； ②直线BD必经过点O； ③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等； ④△AOE与△COF成中心对称． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（对应线段）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于E，F，则图中相等的线段有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 1．如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则符合要求的直线可以画（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A′是对称点 B．BO=B′O C．AB∥A′B′ D．∠ACB=∠C′A′B′ 【过关检测】 1．如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（　　） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3） 3．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，﹣500°） 4．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 5．如图，▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点　 　． 6．如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角． 7．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6， （1）画出△BCD关于点D的中心对称图形； （2）根据图形说明线段CD长的取值范围． 题型二：画中心对称图 【例题】 1．20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、B（0，4）、C（0，2）， （1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 3．作图： （1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°． （2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°． （3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°． （4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°． 4．如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1． （2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2． （3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形　 　（填“是”或“不是”）轴对称图形． 【过关检测】 1．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（0，5）． （1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1； （2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2； （3）猜想：∠OAB的度数为多少？并说明理由． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）． ①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； ②以原点O为对称中心，画出△ABC与关于原点对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； ③以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出C3的坐标． 题型三：利用性质求阴影面积 【例题】 1．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2 2．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（　　） A．4 B．12 C．6 D．3 3．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC与E、F两点，则阴影部分的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点三 中心对称与图形 题型一：中心对称变换与几何图形的证明（三角形，四边形） 【例题】 1．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称， （1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由． （2）若矩形ABCD面积为8，求四边形BDEG的面积． 2．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，试判定四边形BDB′D′的形状，并说明你的理由． 3．如图所示的图形是一个中心对称图形，点O是AC与BD的交点，且是对称中心． （1）若AO=4cm，那么CO的长是多少？ （2）试说明△ABO≌△CDO． 【过关检测】 1．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称， （1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由． （2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积． 2．如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE． 3．四边形ABCD是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，试判定四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 4．如图，已知四边形ABCD是中心对称图形，E、F是对角线BD上的两点，且DE=BF，求证： （1）△ADE≌△CBF； （2）AE∥CF． 知识点四 中心对称图形的定义 题型一：识别中心对称图形【例题】 1．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【过关检测】 1．在下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二：中心对称与轴对称区别（附加：成中心对称和中心对称图形的区别） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【过关检测】 1．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．圆 B．平行四边形 C．正六边形 D．等边三角形 题型三：中心对称图形与面积平分问题 1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S，正方形的边长为2，则S=　 　． 【过关检测】 1．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　． 题型四：中心对称图形（例平行四边形）与新构成四边形的证明与计算 1．如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形． 2．如图，点O是▱ABCD的对称中心，过点O作两条互相垂直的直线EF，GH，分别与▱ABCD的四条边交于点E，F和点G，H，试说明四边形EGFH是中心对称图形，它有几条对称轴． 3．如图，过▱ABCD中对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H，试判断四边形EFGH的形状并说明理由． 【过关检测】 1．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过O作两条互相垂直的直线，分别交四边形ABCD于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形． 2．如图，O为▱ABCD的对角线的交点，过O点作直线EF分别交CD，AB于点E，F． （1）求证：OE=OF； （2）若AB=5，BC=4，OE=1.5，求四边形EFBC的周长； （3）若S四CEFB=10，直接写出S▱ABCD的值为　 　． 知识点五 中心对称与坐标（原点对称） 题型一：原点对称与点的坐标特征 【例题】 1．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 2．点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（　　） A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【过关检测】 1．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．1 2．已知点A（a，2017）与点A′（﹣2018，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　） A．1 B．5 C．6 D．4 题型二：在坐标中画原点对称图形 【例题】 1．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）． （1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）以A2为旋转中心，把△A2B2C2顺时针旋转90°，得到△A2B3C3，并写出点C3的坐标． 2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）． ①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； ②以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【过关检测】 1．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1． （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 2．已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图． （1）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C； （2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 题型三：在坐标中的平移，轴对称，旋转变换 【例题】 1．△ABC平面在直角坐标系中的位置如图所示（其中每个小正方形的边长均为1），点A（﹣1，2），点B（﹣2，0），点C（0，1）． （1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）作出以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大到原来两倍的△A2B2C2，并写出点A2的坐标． 2．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2； （3）作出点C关于x轴的对称点P． 若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值． 3．如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； （2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【过关检测】 1．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． （1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为　 　． （2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积． （3）直接写出AC与y轴交点的坐标　 　． 2．△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图． （1）分别写出△A′B′C′各点的坐标：A′　 　；B′　 　C′　 　； （2）若点P（a，b）是△A′B′C′内部一点，则其图形变换后的对应点P′的坐标为　 　； （3）说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的图形变换得到的？　 （4）△ABC的面积=　 　． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离为　 　个单位长度；点A的对应点为　 　； （2）△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；点A的对应点为　 　； （3）△AOC绕原点O顺时针旋转可以得到△DOB，则旋转角度是　 　度，点A与其对应点之间的距离为　 　个单位长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$