第一章丰富的图形世界 第二讲 由截面想象几何体、三视图 讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第二讲 由截面想象几何体、三视图 【知识梳理】 由截面想象几何体 1、截一个正方体:用一个平面区截一个正方体,截出的面可能是三角形、四边形、五边形、六变形。 从三个方面看物体的形状 1、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图 主视图:从正面看到的,叫主视图 左视图:从左面看到的,叫左视图 俯视图:从上面看到的,叫俯视图 知识点一 由截面想象几何体 【例题1】(2023成都)一个正方体的截面不可能是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.七边形 【例题精练】 1、如图,往一个密封的正方体容器持续注入一些水,注水的过程中,可将容器任意放置,水平面形状不可能是( ) A.三角形 B.正方形 C.六边形 D.七边形 2、(2023深圳)如图所示,用一个平面分别去截下列水平放置的几何体,所截得的截面是圆的是( ) A. B. C. D. 【例题2】如图,将小正方体切去一个角后再展开,其平面展开图正确的是( ) A. B. C. D. 【例题精练】 1、将如图中几何体的截面用阴影部分表示出来,并分别指出它们的形状. 2、【云南省昭通市鲁甸县第二中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题】用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是( ) A.4 B.3 C.6 D.5 3、【陕西省西安市经开区经开第一中学2022-2023学年七年级上学期数学期末测试】用一个平面去截正方体(如图),下列关于截面(截出的面)的形状的结论:①可能是锐角三角形;②可能是直角三角形;③可能是钝角三角形;④可能是平行四边形.其中所有正确结论的序号是 . 【例题3】(2023深圳)用平面截一个几何体,如果截面的形状是长方形,那么该几何体不可能是( ) A、圆柱 B、五棱柱 C、圆锥 D、正方体 【例题精练】 1、(2022 西安)一个物体的外形是圆柱,但不清楚它的内部结构,现在用一组平行于底面的平面去截这个物体,从上至下的5个截面图形如图所示,则这个物体可能是下列选项中的( ) 知识点二 从三个方面看物体的形状 【例题1】(2023深圳南山)如图是由六块大小相同的小正方体搭成的几何体. (1)请在方格中画出该几何体从正面、左面、上面所看到的形状图. (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体,并保持从正面和从左面看到的形状图不变,最多可以再添加_块小正方体. 【例题精练】 1、(2023广东梅州) 下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体, (1)搭成这个几何体需要个小正方体; (2)画出这个几何体主视图和左视图; 2、 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成,它的左视图是( ) A. B. C. D. 【例题2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,从上面和从左面看到的这个几何体的形状如图所示,则这个几何体中小正方体的个数最少是_个. 【例题精练】 1、【福建省宁德市博雅培文学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】用相同的小立方体搭一个几何体,从正面、上面看到的形状图如图所示,从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数,请回答下列问题: (1) 填空:_,_; (2) 这个几何体最多由_个小立方体搭成; (3)当,时,画出这个几何体从左面看得到的形状图. 【例题3】已知下图为一几何体的三视图. (1)写出这个几何体的名称; (2)画出这个几何体的侧面展开图; (3)若主视图的长为,俯视图中圆的半径为,求这个几何体的表面积和体积?(结果保留) 主视图 左视图 俯视图 【例题精练】 1、如图是一个组合几何体,右边是它的两种视图,根据图中的尺寸,这个几何体的表面积是 (结果保留 ). 【例题4】棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体,那么这个几何体的表面积是 . 【例题精练】 1、如图,在平整的地面上,用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体. (1)共有 个小正方体; (2)求这个几何体的表面积; (3)如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加 个小正方体. 2、(2023秋•市中区校级月考)如图,在平整的地面上,用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体. (1)共有 个小正方体; (2)如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以再添加 个小正方体; (3)求这个几何体的表面积. 【例题5】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式,请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题: (1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格; 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有_条棱,正八面体有_顶点,正十二面体有_条棱; (2)你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_; (3)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这多面体的顶点数是_; (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体表面三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,求的值. 【例题精练】 1、 如图所示是一些常见的多面体 (1) 数一数每一个多面体具有的顶点数(V),棱长数(E)和面数(F),并把结果记入表中: (2) 观察表中数据,猜想多面体的顶点数(V)、棱长数(E)和面数(F)之间的关系: (3)若已知一个多面体的顶点数V=196,棱数E=294.请你用(2)中的结果求这个多面体的面数。 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第二讲 由截面想象几何体、三视图 【知识梳理】 由截面想象几何体 1、截一个正方体：用一个平面区截一个正方体，截出的面可能是三角形、四边形、五边形、六变形。 从三个方面看物体的形状 1、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图 主视图：从正面看到的，叫主视图 左视图：从左面看到的，叫左视图 俯视图：从上面看到的，叫俯视图 知识点一 由截面想象几何体 【例题1】（2023成都）一个正方体的截面不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形 【答案】D 【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可． 【例题精练】 1、如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 答案：D 2、（2023深圳）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解：根据题意， ∵球的三视图只有圆， ∴如果截面是圆，这个几何体只能是球； 故选：B 【例题2】如图，将小正方体切去一个角后再展开，其平面展开图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【例题精练】 1、将如图中几何体的截面用阴影部分表示出来，并分别指出它们的形状． 答案：如图所示： ​ 如图①所示，截面是一个三角形； 如图②所示，截面是一个梯形． 2、【云南省昭通市鲁甸县第二中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题】用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】C 【分析】正方体有六个面，被一个平面所截，平面最少与正方体的三个面相交得三角形，最多与正方体的六个面相交得六边形． 【详解】如图所示，正方体被一个平面所截可得三角形、四边形、五边形和六边形，用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是． 故选：C． 3、【陕西省西安市经开区经开第一中学2022-2023学年七年级上学期数学期末测试】用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】正方体的6个面都是正方形，用平面去截正方体最多与6个面相交得六边形，最少与3个面相交得三角形，因此，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，再根据用一个平面截正方体，从不同角度截取所得形状会不同，进而得出答案． 【详解】解：①如图所示，正方体的截面是等边三角形时，为锐角三角形，正确； ②③正四面体的截面不可能是直角三角形或钝角三角形，不正确； ④如图所示，正四面体的截面是可以是平行四边形，正确． 故答案为：①④． 【例题3】（2023深圳）用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么该几何体不可能是（ ） A、圆柱 B、五棱柱 C、圆锥 D、正方体 答案：C 【例题精练】 1、（2022 西安）一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，现在用一组平行于底面的平面去截这个物体，从上至下的5个截面图形如图所示，则这个物体可能是下列选项中的（ ） 答案：B 知识点二 从三个方面看物体的形状 【例题1】（2023深圳南山）如图是由六块大小相同的小正方体搭成的几何体． （1）请在方格中画出该几何体从正面、左面、上面所看到的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______块小正方体． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三视图的画法在网格中画图即可； （2）把视图还原几何体，再确定能够添加的位置和数量． 【小问1详解】 如图所示，下图依次是从正面、左面、上面所看到的形状图， 【小问2详解】 主视图需满足的几何体是2层3列，左视图需满足的几何体是2层2排，最上层只有1个立方体， 保持从正面和从左面看到的形状图不变，即几何体有2层3列2排，最上层只有1个立方体，因此可以添加的是下层前排中间的空缺位置，即最多可以再添加1块小正方体． 故答案为：． 【例题精练】 1、（2023广东梅州） 下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体， （1)搭成这个几何体需要个小正方体； （2)画出这个几何体主视图和左视图； 【答案】（1）10；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可知这个几何体由10小正方体组成； （2）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形． 【详解】解：（1）这个几何体由10小正方体组成， 故答案为：10; （2）这个几何体的主视图和左视图如图a，b所示： 2、 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示： 故选：C． 【例题2】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最少是__________个． 【答案】5 【解析】 【分析】易得这个几何体共有2层，第一层有4个，第二层最少有1个，最多有2个． 【详解】搭这样的几何体最少需要4+1=5个小正方体，最多需要4+2=6个小正方体． 故答案为5． 【例题精练】 1、【福建省宁德市博雅培文学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成； (3)当，时，画出这个几何体从左面看得到的形状图． 【答案】(1)3；1 (2)11 (3)见解析 【分析】（1）由该组合体的从正面、上面看到的形状图可知，a列有3个小正方体，b列有1个小正方体，从而判定； （2）当时，最多； （3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可. 【详解】（1）解：由该组合体的主视图、俯视图可知， ， 故答案为：3；1； （2）解：根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可知， 需要最多小立方体时，， 此时需要的个数为：（个）， 答：这个几何体最多由11个小立方体搭成； （3）解：当，时，这个几何体从左面看得到的形状图如下：    【例题3】已知下图为一几何体的三视图. （1）写出这个几何体的名称； （2）画出这个几何体的侧面展开图； （3）若主视图的长为，俯视图中圆的半径为，求这个几何体的表面积和体积？（结果保留） 主视图   左视图    俯视图 【答案】（1）圆柱体；（2）见解析；（3），． 【分析】（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱； （2）画出这个圆柱的侧面展开图－矩形即可； （3）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的表面积和体积即可． 【详解】（1）该几何体是：圆柱体； （2）该几何体的侧面展开图如图所示： （3）圆柱的表面积， 圆柱的体积． 故答案为：， 【例题精练】 1、如图是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据图中的尺寸，这个几何体的表面积是　 　（结果保留π）． 解：两个视图分别为主视图、俯视图，由主视图和俯视图中的数据可得： 这个几何体的表面积是 （5×8+2×8+2×5）×2+π•4×6 ＝66×2+24π ＝132+24π． 故答案为：132+24π． 【例题4】棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是 ． 【答案】36cm² 【分析】从上面看到6个正方形，从正面和右面可看到6个正方形，从两个侧后面可看到6个正方形，从底面可到到6个正方形，面积相加即为所求. 【详解】从上面看到的面积为6，从正面和右面看到的面积为，从两个侧后面看到的面积为，从底面看到的面积为6， 那么这个几何体的表面积为6+12+12+6=36. 【例题精练】 1、如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体． （1）共有 　 　个小正方体； （2）求这个几何体的表面积； （3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 　 　个小正方体． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）画出从上面看到的图形，然后根据图形标出相应小正方体的数量即可得出答案； （2）根据题意画出几何体的不同方向看到的图形，然后根据图形即可得出答案； （3）可在第二层第二行第二列和第四列各添加一个，第三层第二行第二、三、四列各添加一个，相加即可． 【详解】解：（1）该几何体从上面看到的图形如下： ， 则小正方体的个数为：个， 故答案为：； （2）该几何体的三视图如下： 该几何体的一个面的面积为：， ； （3）在第二层第二行第二列和第四列各添加一个， 第三层第二行第二、三、四列各添加一个， 则个， 故答案为：． 2、（2023秋•市中区校级月考）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体． （1）共有 　　个小正方体； （2）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 　　个小正方体； （3）求这个几何体的表面积． 解：（1）根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体， 故答案为：10； （2）在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变， 所以最多可以添加5个， 故答案为：5； （3）主视图的面积为2×2×7＝28（cm2），左视图的面积为2×2×5＝20（cm2），俯视图的面积为2×2×7＝28（cm2）， ∴该组合体的表面积为（28+20+28）×2+2×2×4＝168（cm2）， 【例题5】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 答案：(1)6，6，30 (2) (3)20 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：20； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【例题精练】 1、 如图所示是一些常见的多面体 （1） 数一数每一个多面体具有的顶点数（V），棱长数（E）和面数（F），并把结果记入表中： （2） 观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱长数（E）和面数（F）之间的关系： （3）若已知一个多面体的顶点数V=196，棱数E=294.请你用（2）中的结果求这个多面体的面数。 答案： （1） （2）因为4+4-6＝2；8+6-12＝2；6+8-12＝2，20+12-30＝2，12+20-30＝2 所以V+F-E＝2 （3）由V+F-E＝2，得196+F-294＝2， 所以F=294+2-196＝100 所以这个多面体的面数为100 2 学科网（北京）股份有限公司 $$