2025届高三物理一轮复习讲义：双星、多星及宇宙速度问题

双星、多星及宇宙速度问题精讲 1.双星、多星问题 1. 相同是隐含条件 2. 引力的 r 是质心间距，向心力的 r 是轨道半径，两者往往不同 3. 核心仍然是 F引 F向 4. 注意隐含的几何关系（和、倍数） 1.1 双星问题 r1 r2 L ①（几何关系） Gm1m2 = m 2r = m 2r ②（核心方程） L2 1 1 2 2 由①②知 ③（距离 r 按质量反比分配） ( G ( m 1 m 2 ) L 3 )③代入②，解得 ④ T 2 L3 G(m1 m2 ) ⑤（、T 形式不变， m 、 r 加“总”） ⑥（ v 加“总”后再分配（质量反比）） 1.2 多星问题 ( Gm 2 3 L 2 ) ( 3 ) m2 ( 3 L)（F引 F向） 2.宇宙速度 引力势能 EP引 GMm r 1. 选无穷远初为 0 势能点 2. 靠近星球过程中W引 0 , EpG 0 W引 第一宇宙速度（环绕速度，最大环绕速度，最小离地速度） ( GM R )v1 7.9km / s ( gR ) ( 2 gR )第二宇宙速度（脱离速度，脱离地球引力） ( 2 GM R )v2 11.2km / s 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系，只考理解） v3 16.7km / s 能使物体在无动力条件下脱离星球引力场范围的最小速度 ( 2 GM R ) ( 2 gR )v2 2v1 黑洞 ( 2 GM R )v2 c （ M ↑ R ↓，密度极大） 能量 【随堂例题】 1.两靠得较近的天体组成的系统成为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起。设两天体的质量分布为 m1 和 m2，则 ( m )它们的轨道半径之比 R 1 : R ( m )2 = ；速度之比v ( m )1 : v ( m )2 = 。 2.月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月地连线上某点 O 做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为 A.1:6400 B.1:80 C.80:1 D.6400:1 3.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动.由此可知，冥王星绕 O 点运动的 A. 轨道半径约为卡戎的 1 7 B. 角速度大小约为卡戎的 1 7 C. 线速度大小约为卡戎的 7 倍 D.向心力大小约为卡戎的 7 倍 4.[多选][2022·甘肃模拟]两个质量不同的星体构成双星系统，以它们连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是 A．质量小的星体角速度较小 B．质量小的星体线速度较大 C．两个星体的向心力大小相等 D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零 5.[多选] 2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连 线上的某点每秒转动 12 圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星 A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度 6．[2022•陕西模拟]科学家发现。距离地球 2764 光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为 m 和 M 的 A 、 B 两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示， A 、 B 两颗星的距离为 L ，引力常量为G ，则 A. 因为OA OB ，所以 m M B. ( L 3 G ( M m ) )两恒星做圆周运动的周期为2 C. 若恒星 A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星 A 的周期缓慢增大 D. 若恒星 A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星 A 的轨道半径将缓慢增大 7.[多选][2020·河北模拟]“食双星”是一种双星系统，两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互通过对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化。双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX 星，光变周期为 4 小时 43 分，该双星由 A 星和 B 星组成， A 星为 2.3 个太阳质量， B 星为 0.98 个太阳质量， A 星的表面物质开始受 B 星的引力离开 A 星表面流向 B 星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，不考虑因核反应产生的质量亏损。关于该过程描述正确的是 A．光变周期将变小 B．光变周期不变 C． A 星的线速度将增大 D． B 星的线速度增大 8．[多选][2022·宁夏模拟]宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力互相绕转，称之为双星系统，在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统，设某双星系统 A 、 B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。若 AO OB ，则 A. 星球 A 的质量一定小于 B 的质量 B. 星球 A 的角速度一定大于 B 的角速度 C. 双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 9．[多选][2022·四川模拟]中国“ FAST ”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统．科学家通过对脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成，如图所示．质量 分布均匀的恒星 A 、 B 双星系统绕O 点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为T1 ，两 者间距为 L ；C 为 B 的卫星，绕 B 沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T2 ，且T2 T1 ．A与 B 之间的引力远大于 C 与 B 之间的引力．引力常量为G ，则 A. 恒星 A 、 B 的质量之比等于它们的轨道半径之比 B. 恒星 A ， B 的质量之和为 42 L3 ( 1 )GT 2 C. 已知卫星C 的轨道半径 r 和恒星 B 的半径 rB ，可求得恒星 B 3 r3 的密度为 GT 2r 3 D. 三星 A 、 B 、C 相邻两次共线的时间间隔为 2 B T1T2 T1 T2 10.[2020·湖北一模]引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由 P 、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某 一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为T ， P 、Q 两颗星的距离 为l ， P 、Q 两颗星的轨道半径之差为△ r(P星的轨道半径大于Q 星的轨道半径），引力常量为G ，求： （1） Q 、 P 两颗星的线速度之差△ v ； （2） Q 、 P 两颗星的质量之差△ m 。 11.[多选][2022·云南省模拟]执行探月工程任务的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”成功实 ( L L L L )施了近月制动，进入月球至地月拉格朗日转移轨道。“鹊桥”在拉格朗日点 、 、 、 、 1 2 3 4 ( L )时，均可以在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球 5 做圆周运动。则关于“鹊桥”在这几个可能的拉格朗日点上运动状态的说法中，正确的是 A. L3 和 L2 到地球中心的距离相等 B. “鹊桥”位于 L2 点时，绕地球运动的周期和月球的公转周期相等 C. “鹊桥”在 L2 点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大 D. “鹊桥”位于 L3 点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度等于月球绕地球运动的向心加速度 ( 1 2 1 2 )12．两个靠得很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做匀速圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将地 月系统看作双星系统，如图所示，O 为地球球心、O 为月球球心，它们绕着O O ( 1 2 1 2 )连线上的O 点以角速度做圆周运动。 P 点到O 、 O 距离相等且等于O O 间距离，该点 处小物体受地球引力 F 和月球引力F 的合力 F ，方向恰好指向O ，提供向心力，可使小 E M ( 1 2 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 1 )物体也绕 0 点以角速度做圆周运动。因此， P 点是一个拉格朗日点。现沿O O 连线方向为x轴，过O 与O O 垂直方向为 y 轴建立直角坐标系； A 、B 、C 分别为 P 关于x轴、y 轴和原点O 的对称点。 D 为x轴负半轴上一点，到O 的距离小于 P 点到O 的距离。根据以上 信息可判断 A． A 点一定是拉格朗日点 B． B 点一定是拉格朗日点 C． C 点可能是拉格朗日点 D． D 点可能是拉格朗日点 13.[多选] 2011 年 8 月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家. 如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 A. 线速度大于地球的线速度 B. 向心加速度大于地球的向心加速度 C.向心力仅由太阳的引力提供 D.向心力仅由地球的引力提供 14.[多选][2022·福建模拟]2021 年 3 月 15 日 13 时 29 分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日 L1 点捕获，这也是我国首颗进入日地 L1 点探测轨道的航 天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的 3 个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A. 飞行器在 L1 点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度 B. 飞行器在 L1 点处于平衡状态 C. 飞行器 A 在 L1 点绕太阳飞行的动能小于飞行器 B 在 L2 点绕太阳飞行的动能 D. 飞行器 A 在 L1 点绕太阳飞行的角速度等于飞行器 B 在 L2 点绕太阳飞行的角速度 15．[2022·黑龙江模拟]质量均为 m 的两个星球 A 和 B ，围绕着它们连线中点做匀速圆周运动。按照双星模型计算出两星球的周期是实际观测两星球运行周期的 k 倍。于是有人猜想在 A ， B 连线的中点有一未知天体C ，假如猜想正确，则C 的质量为 1 k2 A. 4k2 m 1 k2 B. 4k2 m k2 1 C. m 4 1 k2 D. m 4 16．[2022·河南模拟]如图所示，宇宙中存在着离其他恒星较远的、由质量均为 m 的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响．三颗星位于边长为 R 的等边三角形的三个顶点上，并沿三角形的外接圆运行，引力常量为G ．则运行的周期为 ( R 3 Gm )A．R B． 2R C． 3R D． 4R ( R 3 Gm ) ( R 3 Gm ) ( R 3 Gm ) 17．[2022·四川模拟]据中国新闻网报道，2021 年 11 月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持，已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为 F ，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为 6 F ，则下列说法中正确的是 A. ( 3 )母星受到的合力大小为(3 B. 每颗小星受到的合力大小为( 3)F 3 6)F 2 C. ( 3 )母星的质量是每颗小星质量的 倍 D. 母星的质量是每颗小星质量的 2 倍 18．[2022·江西模拟]太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行：另一种形式是三颗星位于边长为 L 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为 M ，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G ，则 ( R 5 GM )A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为T 4R C．三角形三星系统中星体间的距离为 L 3R ( 5 GM R )D．三角形三星系统的线速度大小为v 19.由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的 圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A 、 B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。若 A 星体质量为 2 m ， B 、C 两星体的质量均为 m ，三角形的边长为a，求： （1） ( A )A 星体所受合力大小 F ； （2） ( B )B 星体所受合力大小 F ； （3） ( C )C 星体的轨道半径 R ； （4） 三星体做圆周运动的周期T 。 20. 2019 年 5 月 17 日，我国成功发射第 45 颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星 A. 入轨后可以位于北京正上方 B. 入轨后的速度大于第一宇宙速度 C. 发射速度大于第二宇宙速度 D. 若发射到近地圆轨道所需能量较少 21.[多选]在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做 匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火 星两星球的质量比约为 10∶1，半径比约为 2∶1，下列说法正确的有 A.探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大 22.质量为 m 的人造地球卫星与地心的距离为 r 时，引力势能可表示为 E GMm ，其中 G 为引力常量，M 为地球质量。该卫星原来的在半径为 R 的轨道上绕 P r 1 地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为 R2 ，此过程中因摩擦而产生的热量为 1 A. GMm 1 1 1 B. GMm R R R R 2 1 1 2 C. GMm 1 1 D. GMm 1 1 2 R R 2 R R 2 1 1 2 23.[2021·内蒙模拟]我国的“嫦娥奔月”月球探测工程启动至今，以“绕、落、回”为发展过程。中国国家航天局目前计划于 2020 年发射嫦娥工程第二阶段的月球车嫦娥四号。中国探月计划总工程师吴伟仁近期透露，此台月球车很可能在离地球较远的月球背面着陆，假 设运载火箭先将“嫦娥四号”月球探测器成功送入太空，由地月转移轨道进入半径为 r1 100 公里环月圆轨道Ⅰ后成功变轨到近月点为 15 公里的椭圆轨道Ⅱ，再从 15 公里高度降至近月表面圆轨道Ⅲ，最后成功实现登月。若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为 m 的质点距质量为 M 的引力中心为 r 时，其万有引力势能表达式为 E G Mm G 为 p r （式中 引力常数）。已知月球质量 M0 ，月球半径为 R ，发射的“嫦娥四号”探测器质量为m0，引力常量G 。则关于“嫦娥四号”登月过程的说法正确的是 A. “嫦娥四号”探测器在轨道Ⅰ上运行的动能大于在轨道Ⅲ运行的动能 B. ( 0 0 )“嫦娥四号”探测器从轨道Ⅰ上变轨到轨道Ⅲ上时，势能减小了GM m ( 1 1 ) r1 R C. “嫦娥四号”探测器在轨道Ⅲ上运行时机械能等于在轨道Ⅰ运行时的机械能 D. ( 0 )落月的“嫦娥四号”探测器从轨道Ⅲ回到轨道Ⅰ，所要提供的最小能量是 1 GM m( 1 1 ) 2 R r1 【课后练习】 1．[2022·甘肃模拟]利用万有引力定律可以测量天体的质量。 （1） 测地球的质量 英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为 g ，地球半径为 R ，引力常量为G ．若忽略地球自转影响，求地球的质量． （2） 测月球的质量 所谓“双星系统”，是指在相互间引力作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动两个星球 A和 B ，如图所示．在地月系统中，若忽略其它星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”．已知月球公转周期为T ，月球、地球球心间距离为 L ．你还可以利用（1）中提供的信息，求月球的质量． 2．[2022·四川模拟]2021 年 5 月，基于“中国天眼”球面射电望远镜(FAST) 的观测，首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。如图，假设在太空中 有恒星 A 、 B 双星系统绕点O 做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1 ，它们的 轨道半径分别为 RA、RB，RA RB ，C 为 B 的卫星，绕 B 做逆时针匀速圆周运动，周期为T2 ，忽略 A 与C 之间的引力，万有引力常量为G ，以下说法正确的是： A. 若知道卫星C 的轨道半径，则可求出卫星C 的质量 B. 恒星 A 的质量大于恒星 B 的质量 42 (R R )3 C. 恒星 A 的质量为 A B ( 1 )GT 2 D. A 、 B 、C 三星由图示位置到再次共线所需时间为 T1T2 T1 T2 3．[2022•重庆模拟]如图是宇宙中由三颗星体构成的一个系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，正在绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内都顺时针做角速度相等的圆 周运动。已知星体 A 的质量为 m ，星体 B 、C 的质量均为 m ，三角形边长为 L(L远大于 2 星体自身半径），万有引力常量为G 。求： （1） 若 A 星体可视为球体，且半径为 R ，求 A 星体的第一宇宙速度大小； （2） 星体 A 所受到的万有引力合力的大小； （3） A 、 B 、 C 三星体做圆周运动时向心加速度之比。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双星、多星及宇宙速度问题精讲 1.双星、多星问题 1. 相同是隐含条件 2. 引力的 r 是质心间距，向心力的 r 是轨道半径，两者往往不同 3. 核心仍然是 F引 F向 4. 注意隐含的几何关系（和、倍数） 1.1 双星问题 r1 r2 L ①（几何关系） Gm1m2 = m 2r = m 2r ②（核心方程） L2 1 1 2 2 由①②知 ③（距离 r 按质量反比分配） ( G ( m 1 m 2 ) L 3 )③代入②，解得 ④ T 2 L3 G(m1 m2 ) ⑤（、T 形式不变， m 、 r 加“总”） ⑥（ v 加“总”后再分配（质量反比）） 1.2 多星问题 ( Gm 2 3 L 2 ) ( 3 ) m2 ( 3 L)（F引 F向） 2.宇宙速度 引力势能 EP引 GMm r 1. 选无穷远初为 0 势能点 2. 靠近星球过程中W引 0 , EpG 0 W引 第一宇宙速度（环绕速度，最大环绕速度，最小离地速度） ( GM R )v1 7.9km / s ( gR ) ( 2 gR )第二宇宙速度（脱离速度，脱离地球引力） ( 2 GM R )v2 11.2km / s 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系，只考理解） v3 16.7km / s 能使物体在无动力条件下脱离星球引力场范围的最小速度 ( 2 GM R ) ( 2 gR )v2 2v1 黑洞 ( 2 GM R )v2 c （ M ↑ R ↓，密度极大） 能量 【随堂例题】 1.两靠得较近的天体组成的系统成为双星，它们以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起。设两天体的质量分布为 m1 和 m2，则 ( m )它们的轨道半径之比 R 1 : R ( m )2 = ；速度之比v ( m )1 : v ( m )2 = 。 【答案】 m2 ： m1 ； m2 ： m1 2.月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月地连线上某点 O 做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为 A.1:6400 B.1:80 C.80:1 D.6400:1 【答案】C 3.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动.由此可知，冥王星绕 O 点运动的 A. 轨道半径约为卡戎的 1 7 B. 角速度大小约为卡戎的 1 7 C. 线速度大小约为卡戎的 7 倍 D.向心力大小约为卡戎的 7 倍 【答案】 A 4.[多选][2022·甘肃模拟]两个质量不同的星体构成双星系统，以它们连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是 A．质量小的星体角速度较小 B．质量小的星体线速度较大 C．两个星体的向心力大小相等 D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零 【答案】BC 5.[多选] 2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s 时，它们相距约 400 km，绕二者连 线上的某点每秒转动 12 圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星 A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度 【答案】BC 6．[2022•陕西模拟]科学家发现。距离地球 2764 光年的宇宙空间存在适合生命居住的双星系统，这一发现为人类研究地外生命提供了新的思路和方向。假设宇宙中有一双星系统由质量分别为 m 和 M 的 A 、 B 两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示， A 、 B 两颗星的距离为 L ，引力常量为G ，则 A. 因为OA OB ，所以 m M B. ( L 3 G ( M m ) )两恒星做圆周运动的周期为2 C. 若恒星 A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，恒星 A 的周期缓慢增大 D. 若恒星 A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则恒星 A 的轨道半径将缓慢增大 【答案】B 7.[多选][2020·河北模拟]“食双星”是一种双星系统，两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互通过对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化。双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX 星，光变周期为 4 小时 43 分，该双星由 A 星和 B 星组成， A 星为 2.3 个太阳质量， B 星为 0.98 个太阳质量， A 星的表面物质开始受 B 星的引力离开 A 星表面流向 B 星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，不考虑因核反应产生的质量亏损。关于该过程描述正确的是 A．光变周期将变小 B．光变周期不变 C． A 星的线速度将增大 D． B 星的线速度增大 【答案】BC 8．[多选][2022·宁夏模拟]宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力互相绕转，称之为双星系统，在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统，设某双星系统 A 、 B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。若 AO OB ，则 A. 星球 A 的质量一定小于 B 的质量 B. 星球 A 的角速度一定大于 B 的角速度 C. 双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】AD 9．[多选][2022·四川模拟]中国“ FAST ”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统．科学家通过对脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成，如图所示．质量 分布均匀的恒星 A 、 B 双星系统绕O 点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为T1 ，两 者间距为 L ；C 为 B 的卫星，绕 B 沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T2 ，且T2 T1 ．A与 B 之间的引力远大于 C 与 B 之间的引力．引力常量为G ，则 A. 恒星 A 、 B 的质量之比等于它们的轨道半径之比 B. 恒星 A ， B 的质量之和为 42 L3 ( 1 )GT 2 C. 已知卫星C 的轨道半径 r 和恒星 B 的半径 rB ，可求得恒星 B 3 r3 的密度为 GT 2r 3 D. 三星 A 、 B 、C 相邻两次共线的时间间隔为 【答案】BC 2 B T1T2 T1 T2 10.[2020·湖北一模]引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由 P 、Q 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某 一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为T ， P 、Q 两颗星的距离 为l ， P 、Q 两颗星的轨道半径之差为△ r(P星的轨道半径大于Q 星的轨道半径），引力常量为G ，求： （1） Q 、 P 两颗星的线速度之差△ v ； （2） Q 、 P 两颗星的质量之差△ m 。 2r 【答案】（1） 。 T 42l 2 r （2） 。 GT 2 11.[多选][2022·云南省模拟]执行探月工程任务的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”成功实 ( L L L L )施了近月制动，进入月球至地月拉格朗日转移轨道。“鹊桥”在拉格朗日点 、 、 、 、 1 2 3 4 ( L )时，均可以在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球 5 做圆周运动。则关于“鹊桥”在这几个可能的拉格朗日点上运动状态的说法中，正确的是 A. L3 和 L2 到地球中心的距离相等 B. “鹊桥”位于 L2 点时，绕地球运动的周期和月球的公转周期相等 C. “鹊桥”在 L2 点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大 D. “鹊桥”位于 L3 点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度等于月球绕地球运动的向心加速度 【答案】BC ( 1 2 1 2 )12．两个靠得很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做匀速圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将地 月系统看作双星系统，如图所示，O 为地球球心、O 为月球球心，它们绕着O O ( 1 2 1 2 )连线上的O 点以角速度做圆周运动。 P 点到O 、 O 距离相等且等于O O 间距离，该点 处小物体受地球引力 F 和月球引力F 的合力 F ，方向恰好指向O ，提供向心力，可使小 E M ( 1 2 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 1 )物体也绕 0 点以角速度做圆周运动。因此， P 点是一个拉格朗日点。现沿O O 连线方向为x轴，过O 与O O 垂直方向为 y 轴建立直角坐标系； A 、B 、C 分别为 P 关于x轴、y 轴和原点O 的对称点。 D 为x轴负半轴上一点，到O 的距离小于 P 点到O 的距离。根据以上 信息可判断 A． A 点一定是拉格朗日点 B． B 点一定是拉格朗日点 C． C 点可能是拉格朗日点 D． D 点可能是拉格朗日点 【答案】A 13.[多选] 2011 年 8 月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家. 如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 A. 线速度大于地球的线速度 B. 向心加速度大于地球的向心加速度 C.向心力仅由太阳的引力提供 D.向心力仅由地球的引力提供 【答案】AB 14.[多选][2022·福建模拟]2021 年 3 月 15 日 13 时 29 分，嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下成功被日地拉格朗日 L1 点捕获，这也是我国首颗进入日地 L1 点探测轨道的航 天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的 3 个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，会在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A. 飞行器在 L1 点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度 B. 飞行器在 L1 点处于平衡状态 C. 飞行器 A 在 L1 点绕太阳飞行的动能小于飞行器 B 在 L2 点绕太阳飞行的动能 D. 飞行器 A 在 L1 点绕太阳飞行的角速度等于飞行器 B 在 L2 点绕太阳飞行的角速度 【答案】AD 15．[2022·黑龙江模拟]质量均为 m 的两个星球 A 和 B ，围绕着它们连线中点做匀速圆周运动。按照双星模型计算出两星球的周期是实际观测两星球运行周期的 k 倍。于是有人猜想在 A ， B 连线的中点有一未知天体C ，假如猜想正确，则C 的质量为 1 k2 A. 4k2 m 1 k2 B. 4k2 m k2 1 C. m 4 1 k2 D. m 4 【答案】C 16．[2022·河南模拟]如图所示，宇宙中存在着离其他恒星较远的、由质量均为 m 的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响．三颗星位于边长为 R 的等边三角形的三个顶点上，并沿三角形的外接圆运行，引力常量为G ．则运行的周期为 ( R 3 Gm )A．R B． 2R C． 3R D． 4R ( R 3 Gm ) ( R 3 Gm ) ( R 3 Gm )【答案】B 17．[2022·四川模拟]据中国新闻网报道，2021 年 11 月，中科院国家天文台发布了目前世界上最大时域多星光谱星表，为科学家研究宇宙中的多星系统提供了关键数据支持，已知宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一个质量相等的小星围绕母星做圆周运动，如图所示。如果两颗小星间的万有引力大小为 F ，母星与任意一颗小星间的万有引力大小为 6 F ，则下列说法中正确的是 A. ( 3 )母星受到的合力大小为(3 B. 每颗小星受到的合力大小为( 3)F 3 6)F 2 C. ( 3 )母星的质量是每颗小星质量的 倍 D. 母星的质量是每颗小星质量的 2 倍 【答案】D 18．[2022·江西模拟]太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行：另一种形式是三颗星位于边长为 L 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为 M ，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G ，则 ( R 5 GM )A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为T 4R C．三角形三星系统中星体间的距离为 L 3R ( 5 GM R )D．三角形三星系统的线速度大小为v 【答案】B 19.由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的 圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A 、 B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。若 A 星体质量为 2 m ， B 、C 两星体的质量均为 m ，三角形的边长为a，求： （1） ( A )A 星体所受合力大小 F ； （2） ( B )B 星体所受合力大小 F ； （3） ( C )C 星体的轨道半径 R ； （4） 三星体做圆周运动的周期T 。 ( Gm 2 3 a 2 )【答案】（1） 2 ； 7Gm2 （2） ； a2 （3） 7 a ； 4 ( a 3 Gm )（4） ． 20. 2019 年 5 月 17 日，我国成功发射第 45 颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星 A. 入轨后可以位于北京正上方 B. 入轨后的速度大于第一宇宙速度 C. 发射速度大于第二宇宙速度 D. 若发射到近地圆轨道所需能量较少 【答案】D 21.[多选]在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做 匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火 星两星球的质量比约为 10∶1，半径比约为 2∶1，下列说法正确的有 A.探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大 【答案】BD 22.质量为 m 的人造地球卫星与地心的距离为 r 时，引力势能可表示为 E GMm ，其中 G 为引力常量，M 为地球质量。该卫星原来的在半径为 R 的轨道上绕 P r 1 地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为 R2 ，此过程中因摩擦而产生的热量为 1 A. GMm 1 1 1 B. GMm R R R R 2 1 1 2 C. GMm 1 1 D. GMm 1 1 2 R R 2 R R 2 1 1 2 【答案】C 23.[2021·内蒙模拟]我国的“嫦娥奔月”月球探测工程启动至今，以“绕、落、回”为发展过程。中国国家航天局目前计划于 2020 年发射嫦娥工程第二阶段的月球车嫦娥四号。中国探月计划总工程师吴伟仁近期透露，此台月球车很可能在离地球较远的月球背面着陆，假 设运载火箭先将“嫦娥四号”月球探测器成功送入太空，由地月转移轨道进入半径为 r1 100 公里环月圆轨道Ⅰ后成功变轨到近月点为 15 公里的椭圆轨道Ⅱ，再从 15 公里高度降至近月表面圆轨道Ⅲ，最后成功实现登月。若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为 m 的质点距质量为 M 的引力中心为 r 时，其万有引力势能表达式为 E G Mm G 为 p r （式中 引力常数）。已知月球质量 M0 ，月球半径为 R ，发射的“嫦娥四号”探测器质量为m0，引力常量G 。则关于“嫦娥四号”登月过程的说法正确的是 A. “嫦娥四号”探测器在轨道Ⅰ上运行的动能大于在轨道Ⅲ运行的动能 B. ( 0 0 )“嫦娥四号”探测器从轨道Ⅰ上变轨到轨道Ⅲ上时，势能减小了GM m ( 1 1 ) r1 R C. “嫦娥四号”探测器在轨道Ⅲ上运行时机械能等于在轨道Ⅰ运行时的机械能 D. ( 0 )落月的“嫦娥四号”探测器从轨道Ⅲ回到轨道Ⅰ，所要提供的最小能量是 1 GM m( 1 1 ) 【答案】D 2 R r1 【课后练习】 1．[2022·甘肃模拟]利用万有引力定律可以测量天体的质量。 （1） 测地球的质量 英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为 g ，地球半径为 R ，引力常量为G ．若忽略地球自转影响，求地球的质量． （2） 测月球的质量 所谓“双星系统”，是指在相互间引力作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动两个星球 A和 B ，如图所示．在地月系统中，若忽略其它星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”．已知月球公转周期为T ，月球、地球球心间距离为 L ．你还可以利用（1）中提供的信息，求月球的质量． 【答案】（1） gR 2 G 42 L3 gR2 （2） GT 2 G 2．[2022·四川模拟]2021 年 5 月，基于“中国天眼”球面射电望远镜(FAST) 的观测，首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。如图，假设在太空中 有恒星 A 、 B 双星系统绕点O 做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1 ，它们的 轨道半径分别为 RA、RB，RA RB ，C 为 B 的卫星，绕 B 做逆时针匀速圆周运动，周期为T2 ，忽略 A 与C 之间的引力，万有引力常量为G ，以下说法正确的是： A. 若知道卫星C 的轨道半径，则可求出卫星C 的质量 B. 恒星 A 的质量大于恒星 B 的质量 42 (R R )3 C. 恒星 A 的质量为 A B ( 1 )GT 2 D. A 、 B 、C 三星由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】B T1T2 T1 T2 3．[2022•重庆模拟]如图是宇宙中由三颗星体构成的一个系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，正在绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内都顺时针做角速度相等的圆 周运动。已知星体 A 的质量为 m ，星体 B 、C 的质量均为 m ，三角形边长为 L(L远大于 2 星体自身半径），万有引力常量为G 。求： （1） 若 A 星体可视为球体，且半径为 R ，求 A 星体的第一宇宙速度大小； （2） 星体 A 所受到的万有引力合力的大小； （3） A 、 B 、 C 三星体做圆周运动时向心加速度之比。 ( Gm R )【答案】（1） ； （2） 3 m2 2 G L2 ； ( 7 )（3） 3 : 7 : 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$