精品解析：湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题

湖南省长沙市2025届高三八月开学六校联合检测 数学试题（含答案） 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足 则（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知，若，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知，，（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量服从标准正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________． 13. 函数与函数公切线的斜率为__________. 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 17. 已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． （1）求直线的斜率k的取值范围； （2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 18. 已知函数. （1）讨论的导函数的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025届高三八月开学六校联合检测 数学试题（含答案） 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，解得或， 则或，而， 所以. 故选：C 2. 若复数z满足 则（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式求解. 【详解】由得，所以， 故选：B 3. 已知，若，则等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 4. 已知，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出， 再利用和角的余弦公式进行求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 5. 已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于函数在上递增，故需满足，解得. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数在上单调问题的处理方法.要一个分段函数在上单调递增，则首先需要它在每一段上面是单调递增的，其次需要它在两段之间过度的位置也要是单调递增的.如本题中时，第一段函数值要不大于第二段函数值. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得，进而可得，利用整体法求解单调性即可求解. 【详解】由题意可得， 由于与的图象关于轴对称，所以， 令，解得， 取，则， 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量服从标准正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可得出答案. 【详解】对于A，B,因为，所以，A正确，B错误 对于C,D由对称性有，所以，C错误，D正确,, 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题. 【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误. 选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确， 选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确， 选项D：令，即， 令，则令， 则 当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等， 当时同样切线方程不为，故选项D错误. 故选：BC. 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程． 【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB， 则，， 则， 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以△OAB面积的最大值为6，故A正确； 对于B，半圆上的点到点的距离都是， 半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为， 所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确； 对于C，是椭圆的两个焦点， 在△PAB中，，由余弦定理知： ， 当且仅当时取等号， 所以cos∠APB的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为 此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根据渐近线方程求出，再根据离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 13. 函数与函数公切线的斜率为__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得与对应的概率，从而利用数学期望的计算公式即可求解. 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为种，再分类讨论与对应的概率，从而得解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明； (2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解. 【小问1详解】 方法一： 因为底面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为ABCD为正方形，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点， 所以， 又因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC． 方法二： 因为底面ABCD，平面PAB， 所以平面底面ABCD 又平面底面，，平面ABCD， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点，所以． 因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC， 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC 解法三：因为底面ABCD，， 以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 设，则， 所以，，，， 设为平面AEF的法向量， 则所以取，则，， 则， 设为平面PBC的法向量， 则所以取，则， ， 则 因为，所以, 所以平面平面PBC. 【小问2详解】 （基于（1）解法一、二） 因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 易知是平面PAB的法向量 设，则，所以，， 所以 即，得，所以， 设为平面AEF的法向量，则 所以平面AEF的法向量， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． （另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角， 所以 解得，故F是BC的中点． 所以，， 的面积为 因为，的面积为 设点P到平面AEF的距离为h，则有 解得 所以点P到平面AEF的距离为． （基于（1）解法三） 易知是平面PAB的法向量 所以， 即，解得 所以， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． 17. 已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． （1）求直线的斜率k的取值范围； （2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）； （2）直线经过一个定点，定点.证明如下： 设，，由（1）得， 所以，则， 所以，则， 同理， 则直线的方程为， 化简整理得 因此直线经过一个定点． 【解析】 【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点． 【小问1详解】 根据题意直线，的斜率均存在且不为0 直线，分别为，， 联立得， 由得，则或， 同理，则， 所以k的取值范围为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论的导函数的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出的导函数，然后利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）对任意恒成立，求参数的取值范围问题，转化为利用导数分类讨论求解函数的最小值，判断最小值是否大于零即可. 【小问1详解】 由题可知. 设，则. ①当时，在上恒成立， 所以在上单调递增. ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数. 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增，， 则在上单调递增，故成立； ②当时，，所以在上单调递增，， 则单调递增，故成立； ③当时，当时，在上单调递减， 又，所以在上单调递减，则不成立. 综上，的取值范围为. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 【答案】（1）① 0 1 2 3 ； ② （2） ； 当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得分布列进而可求得期望，②根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率； （2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 ①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为， 所以， 所以， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， ②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件 则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为， 【小问2详解】 因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件， 则设备正常运行有三种情况， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 即； 则， 所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $