专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若是一元二次方程的根，求的值． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 4．（23-241八年级上·上海浦东新·期中）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 5．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 6．（23-24八年级上·上海·课后作业）关于x的一元二次方程有一根是0，则的值为多少？ 7．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 8．（22-23八年级·上海·假期作业）关于的一元二次方程中计算得两根分别为，则的值是多少？ 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程：． 12．（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 13．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解关于x的方程 14．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 16．（22-23八年级·上海·假期作业）解关于的方程：． 17．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解关于x的方程： 18．（22-23八年级下·北京房山·期末）解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）． (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 19．（22-23八年级·上海·假期作业）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣ 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 22．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 23．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：． 24．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：（配方法） 25．（23-24八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 26．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程： 27．（22-23八年级·上海·假期作业）用配方法解方程：． 29．（22-23九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 30．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 32．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）在实数范围内分解因式： 33．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： 35．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解关于x的方程：． 36．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）尝试用解方程的方法求无限循环分式：． 37．（2024·河南·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 38．（2024八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 39．（2024八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程． 42．（2024·上海金山·二模）解方程：． 43．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 44．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 45．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程： 46．（22-23八年级·上海·假期作业）解关于x的方程：． 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)x2﹣x﹣6＝0； (2)4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 48．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 49．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①；         ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 50．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若是一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】依题意，是方程的根，则可得，然后对进行整体代入代数式中求解即可． 【详解】解：由题可得：是方程的根， ∴； ∴，将其代入代数式中： ∴原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的性质，关键在于构造整体代入的等式． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入方程得到，从而变形得，代入代数式得，再由变形得到即可得到答案． 【详解】解：已知方程的一个根是， ，即， ， 由变形得， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，根据条件，恒等变形，整体代入代数式化简求值是解决问题的关键． 4．（23-241八年级上·上海浦东新·期中）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 【答案】2 【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了． 【详解】解：∵有且只有一个公共根 ∴ ∴ ∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1， ∴ ∴ 当时，代入第一个方程可得 1-a+1=0 解得： 【点睛】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根． 5．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据分类讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时， 此时原方程为：，符合题意． 当， 此时， 且， 综上所述， ． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 6．（23-24八年级上·上海·课后作业）关于x的一元二次方程有一根是0，则的值为多少？ 【答案】3 【分析】由已知方程有一根为0，将x=0代入方程得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵（m+2）2x2+3m2x+m2﹣4=0有一根为0，∴将x=0代入方程得：m2﹣4=0，解得：m=2或m=﹣2． ∵方程是一元二次方程，∴≠0，∴m≠－2，∴m=2．当m=2时，2m2﹣4m+3=8﹣8+3=3，则2m2﹣4m+3的值为3． 【点睛】本题考查了方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 7．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】13 【分析】将代入方程得到关于m的方程，求出方程的解并结合一元二次方程的定义得到m的值，最后代入所求式子中计算即可解答． 【详解】解：将代入可得得，解得； ∵一元二次方程， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，根据一元二次方程的定义得到是解答本题的关键． 8．（22-23八年级·上海·假期作业）关于的一元二次方程中计算得两根分别为，则的值是多少？ 【答案】5 【分析】将代入方程，化简得，从而即可求解． 【详解】解：将代入方程得，， 整理即得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 【答案】(1)，是原方程的根 (2)是原方程的根，不是原方程的根 【分析】根据方程的根的定义，将已知数字代入方程，使得等式成立的数字即为方程的根． 【详解】（1）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； ∴，是原方程的根 （2）解：将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴是原方程的根； 将代入原方程， 左边，右边， 左边右边， ∴不是原方程的根， ∴是原方程的根，不是原方程的根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程的根即为使等式成立的未知数的值是解题关键． 10．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】（1）根据题中所给条件，直接求和的值即可. （2）根据题中所给条件，先求和的值，再通过公式转化，求的值. （3）根据题意，可先得到，，进而得到，，即可得到结果 【详解】（1）（1）方程的两根分别是， 方程的两根分别是， ，， 故答案为：，； （2）（2）方程的两根分别是， ，， ， ， ； （3）（3）和是方程的两根， ，， ，， 构造一元二次方程，它的两根分别是和． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是把次数较高的方程，通过换元法降次，降为一元二次方程去求解；设，再通过因式分解法解一元二次方程，可得，再把y分别代入，得到关于x的一元二次方程，求解即可； 【详解】 解：设，则原方程可化为，   ， 解得， 当时，，方程无解，    当时，，解得． ∴原方程的解为． 12．（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，先将方程化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的根． 【详解】解：移项整理得：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解是：． 13．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解关于x的方程 【答案】当时，无解；当时，， 【分析】原方程可整理为，即可分类讨论：①当时，原方程不成立，即此时无解；②当时，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ． 分类讨论：①当时，则， ∵， ∴， 则不成立，即此时无解； ②当时，则， ∴，． 综上可知：当时，无解；当时，，． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，解一元二次方程，分母有理化．利用分类讨论的思想是解题关键． 14．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 直接开平方得， 或， 原方程解为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程特征，选择恰当方法求解是解决问题的关键． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 16．（22-23八年级·上海·假期作业）解关于的方程：． 【答案】，． 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程． 17．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解关于x的方程： 【答案】时，此方程无解；时，． 【分析】由于，故可将原方程先整理成，再分与，分别根据非负数的性质和直接开平方法解答即可． 【详解】解：原方程可整理为：， ∵， ∴， ∴当即时，此方程无解； 当即时， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于常考题型，正确分类、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 18．（22-23八年级下·北京房山·期末）解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）． (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】按要求解 一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得，； （3）解：， ，，， ∴， 解得； （4）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算． 19．（22-23八年级·上海·假期作业）用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【详解】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 20．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣ 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． （2）先把所求的代数式变形为含有和的形式，然后利用根与系数的关系进行解答． （3）依据题意可得，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：（1），； （2），， ； （3）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，，中、、所表示的意义是解题的关键． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 22．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 23．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解． 【详解】解：， 原方程化为， 配方得， 即， 开方得， ， ∴，． 24．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：（配方法） 【答案】 【分析】先将二次项系数化为1后，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： ∴原方程的解为 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 25．（23-24八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】先去括号、合并同类项，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 26．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 配方得， 因式分解得， 即， ，． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键． 27．（22-23八年级·上海·假期作业）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：由，得：， ∴， ∴， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键． 28．（23-24八年级下·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】（1） 或 ，． （2）化成 即 ， 【点睛】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解． 29．（22-23九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 30．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）原方程无实数根；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解； （2）移项后，方程两边都加上一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解； （5）先将方程整理后，再进行配方即可求解； （6）先将方程整理后，再进行配方即可求解． 【详解】（1） 配方，得， ． （2） 移项，得． 配方，得． ， 原方程无实数根． （3） 移项，得． 配方，得， ． （4） 移项，得． 配方，得， ． （5） 原方程化为一般形式为． 移项，得． 配方，得， ． （6） 原方程化为一般形式为． 二次项系数化为1得． 配方，得， ． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式， 首先解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：令，则   ， 所以， 所以 32．（22-23八年级上·上海普陀·阶段练习）在实数范围内分解因式： 【答案】 【分析】令，将看作常数解得的值，继而求得答案． 【详解】解：令，将看作常数， 则，，， 那么， 则， 那么原式． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令，将看作常数解得的值，是解题的关键． 33．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 【答案】或或或 【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，， ， ∴ ∴，； ②当方程是一元一次方程时，且， 解得， 当时，方程为， 解得； 当时，方程为， 解得． 所以，方程的解为：，，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解： ，，， ， ∴原方程有两个实数根， ∴， ∴，， ∴ 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，求出方程的解是解本题的关键． 35．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解关于x的方程：． 【答案】见解析 【分析】先确定根的判别式的取值，再代入公式求出即可． 【详解】解： 因为，所以： 当，方程无实数解； 当，方程的解为； 当，方程的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程，本题中含字母系数，具体取值未知，因此注意需要分类讨论． 36．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）尝试用解方程的方法求无限循环分式：． 【答案】 【分析】设，根据循环分式的特点得出，，解这个方程即可求解． 【详解】解：设 ∴ 即 解得 ∵ ∴ 即 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 37．（2024·河南·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可； （2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可． 【详解】（1）解：由公式法可知： ∴ 即：， （2）解：移项得： 由公式法可知： ∴ 即： 【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等． 38．（2024八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得，解出，，即可分解因式； （2）令，其中y看作常数，解出，，即可分解因式； （3）令，得，解出，，即可分解因式． 【详解】（1）令，则有方程为， 解得：，， ∴= ∴； （2）令， 解得：，， ∴=； （3）令，则有方程为， 解得：，，    ∴= ∴=． 【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键． 39．（2024八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，然后利用公式法分解因式； （2）先提公因式，然后令，进而求解即可； （3）利用十字相乘法分解因式即可求解； （4）利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式， 令， 解得：，， 即得原式=； （3）原式； （4）原式． 【点睛】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为． 40．（23-24八年级上·上海·期中）阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 【答案】 【分析】根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 取x与的平均值，即将x与相加再除以2，即 那么原方程可化为： 左边用平方差公式可化为： 再移项可得：   开平方可得： ． 【点睛】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题步骤是解题的关键． 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程整理为，再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， , ， ， ， ∴． 42．（2024·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 方程两边同乘最简公分母化为整式方程，然后求解，再进行检验． 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得：， 经检验：都是原方程的根． 原方程的根是． 43．（23-24八年级上·上海崇明·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 44．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，提取公因式后整理得， ，继而可得两个关于x的一元一次方程，解之可得． 【详解】， ， ， ， ． 45．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】方程整理后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程整理得：， 因式分解得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 46．（22-23八年级·上海·假期作业）解关于x的方程：． 【答案】，，， 【分析】由，可得，即，所以．再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． ∴原方程的解为：，，，． 【点睛】本题考查整体思想的运用，把看成一个整体，然后再用十字相乘法分解求解，熟练的把方程左边分解因式是解本题的关键． 47．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)x2﹣x﹣6＝0； (2)4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 【答案】(1)x1=3，x2=； (2)x1=13，x2=． 【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵x2-x-6=0， ∴（x-3）（x+2）=0， 则x-3=0或x+2=0， 解得：x1=3，x2=-2； （2）解：∵4（x-1）2=9（x-5）2， ∴4（x-1）2-9（x-5）2=0， ∴[2（x-1）+3（x-5）][2（x-1）-3（x-5）]=0， 则2（x-1）+3（x-5）=0或2（x-1）-3（x-5）=0， 解得：x1=13，x2=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 48．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）整理后，利用配方法求解即可； （3）整理后，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 49．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①；         ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 (2)或 (3)时，的最大值为9 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】（1）解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②解：∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； （2）解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； （3）解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 50．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法， （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，（不合题意，舍去）， 则，． （2）设，则 ， ， 当时，，，， 当时，，无解． 故方程的解为，． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】(1)详见解析 (2)0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，， ． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案． 【详解】解：当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 综上所述，方程的解为：． 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 【答案】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：（舍），， 当时，， 解得：，不符合题意， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程的两根，即可得出结果； （2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线上，然后当于点M时，取得最小值． 【详解】（1）解： 解得，， ∴； （2）解： 解得：， ∵， ∴点M在直线l：上， ∴当于点M时，取得最小值． 如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点M、于点H，则，    ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$