专题04 用一元二次方程解决问题重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题04 用一元二次方程解决问题重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传播性很强，某次一名奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（假设每轮传染人数相同） 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了x个人． (1)用含x的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒？ (2)列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 3．（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 1．（2023八年级下·上海·专题练习）某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 2．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）随着人们生活水平提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底有轿车448辆，2016年底轿车达到700辆． (1)若该小区轿车平均年增长率都相同，求该小区2017年底轿车达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资210万元再建造若干个停车位，建造费用为室内停车位12000元/个，露天停车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，问有多少种方案？ 3．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    1．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）有一面积为140平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18米，另三边用竹篱笆围成墙，与墙平行的一边开了一扇2米宽的门，竹篱笆总长32米，求养鸡场的长和宽各多少米？ 2．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？ 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 2．（2023·安徽合肥·一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利________元． (2)为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元． (2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）． (3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答： (1)经过几秒后的面积等于？ (2)的面积能否等于，并说明理由？ 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【经典例题七 工程问题】 【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 1．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 3．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【经典例题十 其他问题】 【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 6．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 7．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某公司在2022年的盈利额为300万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2023年的盈利额为 万元． 8．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    9．（23-24九年级上·全国·课后作业）某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家都握了一次手，所有参加会议的人共握手14次，则参加这次会议的专家的人数是 ． 10．（22-23九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，的面积为． 11．（22-23八年级·上海·假期作业）某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解） 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？    13．（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    14．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，1件产品与1件产品售价和为元． (1)、两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值． 15．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 用一元二次方程解决问题重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传播性很强，某次一名奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（假设每轮传染人数相同） 【答案】每轮传染中，平均每个人传染9个人． 【分析】设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有100人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中，平均每个人传染9个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了x个人． (1)用含x的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒？ (2)列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【答案】(1)人； (2)11． 【分析】（1）因为每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒； （2）两轮传播了人，列方程得，解方程即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了x人， 根据题意，经过第一轮传染后，共有人感染了德尔塔病毒； （2）解：由题意可知：， 整理得， 解得或（舍去）． 答：平均一轮传染11个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 【答案】平均每年下调的百分率为 【分析】根据题意，设平均每年下调的百分率为，则得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设平均每年下调的百分率为，则， ， 直接开平方得，则（由于百分率不大于1，舍去）或， 答：平均每年下调的百分率为． 【点睛】本题考查二次函数解实际应用题，读懂题意，掌握平均增长率（下降率）是解决问题的关键． 1．（2023八年级下·上海·专题练习）某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 【答案】，20件 【分析】设甲种产品每月的增长率为，则甲2月份的产量为，3月份的产量为，则乙3月份产量为，2月份的产量为，再根据“2月份的甲、乙两种产品的产量之比为”列出方程求解即可． 【详解】设甲种产品每月的增长率为，则甲2月份的产量为，3月份的产量为， 则乙3月份产量为，2月份的产量为， 依题意可得：， 整理得， 解得：，（舍）， 即得甲产品每月产量增长率是， 乙产品1月份的产量为件． 答：甲种产品每月的增长率为，乙种产品1月份的产量为20件． 【点睛】考查降低（增长）率问题的应用，读懂题目，理解题意，表示出各个月份产量是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）随着人们生活水平提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底有轿车448辆，2016年底轿车达到700辆． (1)若该小区轿车平均年增长率都相同，求该小区2017年底轿车达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资210万元再建造若干个停车位，建造费用为室内停车位12000元/个，露天停车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，问有多少种方案？ 【答案】(1)； (2)共17种方案． 【分析】（1）设平均年增长率为x，根据2014年底轿车数量=2016年底轿车数量，求出x，再求出2017年底的轿车数量即可． （2）设室内有车位a个，则露天车位有个，根据露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，列不等式组求出a的取值范围，再求出a的正整数解，即可得到一共有多少种方案． 【详解】（1）设平均年增长率为x，根据题意列方程，得 ， ， ， （舍去）， ∴平均年增长率为， 因此，该小区2017年底轿车达到辆． （2）设室内有车位a个，则露天车位有个，根据题意，得     ， 整理得， 解得， ∵a为正整数， ∴a=100，101，102，…，116，共17种方案． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程求增长率问题和列一元一次不等式组解决方案问题，解题的关键是找等量关系和不等量关系． 3．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 19． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    【答案】米、米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示长方形的边长是解题的关键． 设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，， 依题意得，，整理得，， ， 解得，或（舍去）， ∴， ∴长方形相邻两边的长分别为米、米． 1．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）有一面积为140平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18米，另三边用竹篱笆围成墙，与墙平行的一边开了一扇2米宽的门，竹篱笆总长32米，求养鸡场的长和宽各多少米？ 【答案】养鸡场的长为14米，宽为10米 【分析】设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米，利用长方形的面积计算公式结合养鸡场的面积为140平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合墙长18米可确定的值，再将的值代入中可求出垂直于墙的边的长度． 【详解】解：设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又墙长18米， ， ． 答：养鸡场的长为14米，宽为10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 【答案】花圃的宽度为 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据非花圃的面积得到关系式比较简便，等量关系为：花圃的宽花圃的宽院子面积的，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设花圃的宽度为， ， 解得（不合题意，舍去）；． 答：花圃的宽度为. 3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）某小区居委会为了方便居民的电瓶车充电，准备利用一边靠墙（墙长15米）的空旷场地利用栅栏围成一个面积为80平方米的电瓶车充电区，如图，为了方便进出，在垂直于墙的两边空出两个宽各为2.5米的出入口，一共用去栅栏21米，请问长方形的充电区的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】8米和10米 【分析】令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长，设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米，根据长方形的面积列出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设这个长方形电瓶车充电区垂直于墙的一边为x米，平行于墙的一边为米， 由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 答：长方形的充电区的相邻两边长分别是8米和10米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？ 【答案】，，0，1，2或10，11，12，13，14 【分析】设五个连续整数为x，，根据题意，解方程得到x． 【详解】解：将这五个连续整数中的第一个数设为x， 那么其余四个数依次为， 根据题意，得． 也就是． 根据方程， 所以或． 因此这五个连续整数依次为，，0，1，2或10，11，12，13，14． 【点睛】考查一元二次方程的应用，属于基础题，关键是得到5个连续数的平方的等量关系． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0． 【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 整理得：2x2－19x+24=0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系． 2．（2023·安徽合肥·一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【答案】周瑜去世的年龄为36岁． 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论． 【详解】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得； 10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世的年龄为36岁． 【点睛】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解． 【答案】周瑜逝世时的年龄是36岁 【分析】设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，根据“十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案． 【详解】解：设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，则个位数字为x+3， 根据题意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2， 化为一般形式得：x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， 当x＝2时，（x+3）2＝25， 当x＝3时，（x+3）2＝36， 又∵周瑜的年龄在30-40岁之间， ∴周瑜逝世时的年龄是36岁． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利________元． (2)为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ 【答案】(1)14000； (2)每盒应降价40元． 【分析】（1）根据每盒的利润×数量＝总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（120−20）×（100＋2×20）＝14000（元）， 故答案为：14000； （2）设每盒应降价x元， 根据题意，得（120−x）（100＋2x）＝14400， 解得x＝30或x＝40， ∵更多的让利消费者， ∴x＝40， 答：每盒应降价40元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并找出合适的等量关系建立方程是解题的关键． 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ (2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【答案】(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元 (2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元 【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可； 对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可． 【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得 ， 整理得：， 解得：，， ∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元； （2）设这天的利润为y元， 则， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为21万元 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得： 解得：， ∵尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元． (2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）． (3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少． 【答案】(1)450，6750 (2)， (3)80元 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）利润=销售量×单位利润．单位利润为元，销售量为，据此即可求解； （3）销售成本不超过100001元，即进货不超过，根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 【详解】（1）解：， (元)， 故答案为：450，6750； （2）解：销售量为：； 月销售利润为：(元)， 故答案为：，； （3）解：商品想在月销售成本不超过元的情况下，即销售量不超过， 设此时售价为x元， 则， 解得，， 当时，销售量为：，符合题意， 当时，销售量为：，不符合题意， 故销售单价应为80元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求利润的公式列出关系式． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设动点从点出发移动时，的面积等于，根据平行四边形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵等腰直角，过点作平行于的直线与分别交于， ∴，四边形为平行四边形， ∴， 设动点从点出发移动时，的面积等于． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：当的面积等于时，的长为． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答： (1)经过几秒后的面积等于？ (2)的面积能否等于，并说明理由？ 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，的面积即可求解． （2）本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于明确题意，和（1）一样，根据动点表示出，动点运动秒后，表示出的高，表示出的面积列方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设动点运动秒后的面积等于，的高为， ∵点P以从A点出发，秒后，，，； 点Q以从B点出发，秒后，， 过点作的垂线，则即为的高； 又∵， ∴的高即为的一半， ∴． ． 当的面积等于， 即， 解得：，（舍去）． （2） 当时， 即， ， 此时方程无实数根， ∴的面积不能等于． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 1．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 3．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 【答案】20本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可． 【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得， 解得：． 答：本次活动中学校购买了20本笔记本． 3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 1．（23-24九年级上·广东珠海·期末）在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得二月份的营业额为，则三月份的营业额为，根据三、四月份月增长率相同，四月份营业额为12.32万元，可得方程，即可解答． 【详解】解：由题意可得方程， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 3．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设这次会议到会的人数为x人，则一人握次，根据每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了次，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 依题意得，， 故选：A． 4．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【答案】A 【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 7．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某公司在2022年的盈利额为300万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2023年的盈利额为 万元． 【答案】330 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每年盈利额增长的百分率为x，利用2023年的盈利额年的盈利额平均每年盈利额增长的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值得出平均每年盈利额增长的百分率，即可解决问题． 【详解】解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， （万元） 即该公司在2022年的盈利额为330万元， 故答案为：330． 8．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家都握了一次手，所有参加会议的人共握手14次，则参加这次会议的专家的人数是 ． 【答案】4 【分析】所有参加会议的人握手次数=林经理和每位专家握手次数+专家与专家之间的握手次数，据此即可求解． 【详解】解：设参加这次会议的专家有人，由题意得： 整理得： 解得：（舍去） 故参加这次会议的专家有人 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．掌握所有参加会议的人握手次数=林经理和每位专家握手次数+专家与专家之间的握手次数是解题关键． 10．（22-23九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，的面积为． 【答案】或7或 【分析】当运动时间为t秒时，，根据的面积为，列出关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：当运动时间为t秒时，， 根据题意得：， ∴， ∴． 当时，， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 整理得：， 解得：； 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 综上所述，或7或秒后，的面积为． 故答案为：或7或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（22-23八年级·上海·假期作业）某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解） 【答案】 【分析】根据题意可知，设该工厂每月的平均增长率是，则2月份产品数为，3月份产品数为，再根据第1季度总产品数达到万件列出方程即可． 【详解】解：设该工厂每月的平均增长率是， 则根据题意可得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解平均增长率的含义，并求出每月产品数是解题的关键． 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？    【答案】封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【分析】设封闭型长方形等候区的边为米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设封闭型长方形等候区的边为米，    由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，； 当时，， 不合题意，应舍去． 答：封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 13．（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒 【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可. 【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即． 答：经过2秒，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 14．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，1件产品与1件产品售价和为元． (1)、两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值． 【答案】(1)产品的销售单价为元，产品的销售单价为元 (2) 【分析】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意：产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：产品的销售单价为元，产品的销售单价为元； （2）设去年每个车间生产产品的数量为件，由题意得： 解得（舍去）或 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程（组）． 15．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 学科网（北京）股份有限公司 $$