专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于(    ) A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 1．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则代数式x1+x2的值（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．   （1）； ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 1．（2023·山东泰安·一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，求代数式：m2+n2﹣2m﹣2n+2020的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（2024九年级·全国·竞赛）若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）已知，是方程的两根分别为，则的值等于（       ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）一元二次方程的两根分别为和，则为 ． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程的两根分别为，，则：，．请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)已知方程的两根分别为，，求的值． (3)若，是两个不相等实数，且满足，，那么　　． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】 （23-24八年级下·山东烟台·期末）若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）． A． B． C．或2 D．或2 1．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知实数分别满足，，则的值是（    ） A．7或2 B．7 C．9 D．－9 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝ ． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值． 解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则______，______． (2)类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． (3)思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】 （23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 1．（2023·山东淄博·二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．有一个实根 D．没有实根 2．（2023·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 2、（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（    ） A． B． C． D．0 3．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 4．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知方程有实数根，（其中为实数），则的最小实根是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 8．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ． 9．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 10．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，这个方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：. 两根之积为：，这就是一元次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题：已知，是一元二次方程的两根，那 ． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 14．（2023·湖北襄阳·一模）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 15．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于(    ) A．2020 B．2019 C．2029 D．2028 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，即， 根据根与系数的关系可得， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 1．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则代数式x1+x2的值（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】∵x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝5． 故选A． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】23 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，完全平方公式的运用，根据题意可得，，将代数式转化为，代入求值即可. 【详解】解：是方程的两个实数根， ， 即， ， 故答案为：23. 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．   （1）； ． 【答案】(1)；(2)-1. 【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1． （1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论； （2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论． 【详解】∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝1． （1）x12+x222x1•x2＝32﹣2×1＝7； （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3，x1•x2＝1是解题的关键． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 由m，n为方程的解，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程，得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：C． 1．（2023·山东泰安·一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得，根据一元二次方程根的定义得到，则，整体代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ， 是一元二次方程的实数根， 即， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 2．（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：17． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）若m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，求代数式：m2+n2﹣2m﹣2n+2020的值． 【答案】2021 【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根时，，． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（2024九年级·全国·竞赛）若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系可得出，再将其代入整理后的代数式，中即可求出结论． 【详解】解：方程的两根分别为和， ， ． 故选：A． 1．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）已知，是方程的两根分别为，则的值等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，是方程的两根， ，， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）一元二次方程的两根分别为和，则为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可以得到，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程的两根分别为，，则：，．请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)已知方程的两根分别为，，求的值． (3)若，是两个不相等实数，且满足，，那么　　． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系代入公式直接求解即可得到答案； （2）通分变形，变成两个和与积的关系代入求解； （3）配方解出，，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：，， ； （3）解：，， ，， 解得：，， ，是两个不相等实数， 当，时， ； 当，时， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟知两根和、积与系数关系，化简求值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】 （23-24八年级下·山东烟台·期末）若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】A 【详解】解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7 x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，所以=== ． 故选A． 1．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知实数分别满足，，则的值是（    ） A．7或2 B．7 C．9 D．－9 【答案】A 【分析】根据a、b是否相等分类讨论：当时，代入即可求出结论；当时，则为一元二次方程的两根，根据根与系数的关系可得，，然后将分式通分化简，再根据完全平方公式的变形代入求值即可． 【详解】解：∵实数分别满足，， 当时，则=； 当时，则为一元二次方程的两根 ∴， ∴ = = = =7 综上：的值是7或2 故选A． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形，掌握分式的加法法则和构造一元二次方程并利用根与系数的关系求值是解决此题的关键． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝ ． 【答案】 【分析】将变形为，因为且 xy≠1，则实数、可看作是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系得到，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， 即， 实数、可看作方程的两实数根， ，， 原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的变形应用以及根与系数的关系．根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值． 解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则______，______． (2)类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． (3)思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)3． 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，，再利用因式分解的方法进行运算即可； （3）根据题意可把与看作是方程的两个实数根，，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为．，， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数、满足，， ∴与看作是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，读懂材料，理解一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵x的方程的两根分别为，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值． 【详解】方程有两个实数根，， ， 解得：； 原方程的两个实数根为、， ，， ， ， ， ， ，且， 整理得，， ∵， ∴， ∵， ∴解得：． 故答案为：，． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解不等式、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关性质及解法是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系，列出不等式求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，从而由题中条件列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 综上所述，的取值范围为且； （2）解：若是方程的根，则， ， ， 整理得：， 解得， ∵且， ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】 （23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 1．（2023·山东淄博·二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．有一个实根 D．没有实根 【答案】A 【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况． 【详解】解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程， ∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1） ＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键． 2．（2023·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】0 【分析】求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解． 【详解】解：， 解得：， 即， 则， 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1），， 解得和， 故一元二次方程不是“倍根方程”． （2）由题意可设：与是方程的两个根， ∴，， ∴，； （3）设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将原式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵x1+x2=4， ∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5， ∴x2=， 把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0， 解得：m=， 故选A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，得，，代入已知等式可得到关于的方程，可求得的值，再根据方程根的判别式进行取舍． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ，， ， ， 解得：， ， ，均符合题意， 故选： A． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，利用表示出两根之和是解题的关键． 4．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知方程有实数根，（其中为实数），则的最小实根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有实数根，，可得，，而可得即可解得的最小实根是． 【详解】解： 有实数根，， 有实数根，， ，， 由得， ， 即， ， 解得：，， 的最小实根是， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 5．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．下列结论：①若关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程，则h＝±3；②方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；③若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0是倍根方程，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】①设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；②通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④求出关于x的方程px2﹣q＝0的两个根，即可判断． 【详解】解：①关于x的方程x2+hx+2＝0是倍根方程， ∴设x2=2x1， ∴x1•x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当x1=1时，x2=2， 当x1=-1时，x2=-2， ∴x1+x2=-h=±3， ∴h=±3，故①正确； ②由x2+2x﹣8＝0，得 （x+4）（x-2）=0， 解得x1=-4，x2=2， ∵x1≠2x2或x2≠2x1， ∴方程x2+2x﹣8＝0不是倍根方程． 故②错误； ③关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）的解为：x1=2，x2=， 若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）是倍根方程，则=1或=4， ∴m+n=0或4m+n=0，即：（m+n）（4m+n）=0， ∴4m2+5mn+n2＝0，故③正确； ④若q＝2p（p≠0），则关于x的方程px2﹣q＝0，可变形为：px2﹣2p＝0， ∴x2=2，解得：x=，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 6．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，． 设方程的另一个实数根为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个实数根为， ∵，关于x的方程有一个实数根为1， ∴， 解得，， 故答案为：2． 8．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 先说明a、b是方程的解，然后根据根与系数的关系可得，然后再对变形后代入计算即可． 【详解】解：∵a、b满足，，，且， ∴a、b是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是“差1方程”， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 10．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，这个方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：. 两根之积为：，这就是一元次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题：已知，是一元二次方程的两根，那 ． 【答案】 【分析】根据材料提供的定理求得，的值，再利用完全平方公式变形代入求值即可求解． 【详解】解：方程整理得， 由题意得：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据材料求得，的值是解题的关键． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，是方程的两实数根，求： (1)， (2)的值． 【答案】(1)10 (2)30 【分析】（1）由，是方程的两实数根，得出，，由，代入相关数据即可得； （2）代入即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记，解题关键． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 (5)4 【分析】（1）根据韦达定理，可得，，再根据即可计算； （2）即可计算； （3）即可计算； （4）即可计算； （5）即可计算． 【详解】（1）根据韦达定理，可得，， ∴； ； ； （2）； ； ； （3）； ； ； （4）； ； ； （5）； ； ； ． 【点睛】本题考查韦达定理的应用，将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 14．（2023·湖北襄阳·一模）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理直接求解； （2）对进行通分，然后利用韦达定理求解； （3）令，则由题得，，且，利用韦达定理可求的值，进而求解． 【详解】（1）解：，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，． 故答案为：7，1； （2）解：，， ． （3）解：由，得． 令，则由，得． 由，得，即． ，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键． 15．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$