专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 因式分解解一元二次方程 题型四 配方法解一元二次方程 题型五 配方法的应用 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 题型九 根的判别式综合应用 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）方程的根是 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 2．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．都不是 1．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）若方程较大的根为，方程较小的根为，则（    ） A．2016 B．2017 C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程：． 【经典例题四 配方法解一元二次方程】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（　　） A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8 1．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【经典例题五 配方法的应用】 【例5】（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 2．（22-23九年级上·上海·阶段练习）已知实数a，b，c满足，则 ． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【经典例题六 公式法解一元二次方程】 【例6】（23-24八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海普陀·期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y+y）（x﹣y） C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y） 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：根与系数的关系 (1)韦达定理：已知两根为，则，用求根公式证明韦达定理 (2)待定系数法证明韦达定理 设是方程的两个根，则原方程可表示为将方程展开整理得，比对相同次项的系数得：______，______（用表示） (3)请你仿照（2），试一下：设是方程的三个根，则原方程可表示为______________；将方程展开整理得_______________________；比对相同次项的系数可得：_______，______； (4)用类似的方法，我们可以得到一元n次方程的根与系数之间的关系为： _______，_______． 【经典例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例7】 （23-24八年级上·浙江宁波·期末）新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 1．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． (3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 3．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（2023九年级上·全国·专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 1．（2023·湖北随州·一模）实数满足方程，则的值等于（    ） A． B．-1 C．或-1 D．或-1 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）已知的解是1，，则方程的解为 ． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ） A．1或 B． C．1 D． 3．（2024·上海普陀·三模）在解答“一元二次方程的根的判别式为 ”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直接写出下列一元二次方程的根： （1）的根为： ； （2）的根为： ． 8．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 10．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 11．（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 13．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个 “喜鹊数”（，其中为正整数），请直接写出，b，所满足的关系式____________判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”______ (2)利用（1）中“喜鹊数”中的构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求与满足的关系式： (3)在（2）中条件下，且，求满足条件的所有的值． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ，． 当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出的最小值为　 　． (2)求代数式的最小值． (3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 因式分解解一元二次方程 题型四 配方法解一元二次方程 题型五 配方法的应用 题型六 公式法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 题型九 根的判别式综合应用 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，，， 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解． 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【详解】解：∵（x+1）2=16， ∴x+1=±4， ∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）方程的根是 【答案】 【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再两次开方即可． 【详解】解：， ， ， 开方得：，或（舍去）， 开方得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【经典例题三 因式分解解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查二次根式与最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键，由于给出的两个二次根式既是最简二次根式又是同类二次根式，那么被开方数就应该相等，由此可得出关于的方程，解方程即可得到的值，舍去不合题意的解即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 移项得：， 解之得：，， 当时，与都不是最简二次根式， ∴不合题意，舍去， 故选：B． 1．（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）若方程较大的根为，方程较小的根为，则（    ） A．2016 B．2017 C． D． 【答案】B 【分析】分别用因式分解法求解两个方程，得到m和n的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：，， ∴， 又∵ ∴， 解得：，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解是 ． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解二元一次方程组． 将①代入②，得出关于x的一元二次方程，求出x的值，再将x的值代入①，求出y的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得：， 整理得：， 解得：或， 把代入①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为，． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是把次数较高的方程，通过换元法降次，降为一元二次方程去求解；设，再通过因式分解法解一元二次方程，可得，再把y分别代入，得到关于x的一元二次方程，求解即可； 【详解】 解：设，则原方程可化为，   ， 解得， 当时，，方程无解，    当时，，解得． ∴原方程的解为． 【经典例题四 配方法解一元二次方程】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（　　） A．＝11 B．＝11 C．＝8 D．＝8 【答案】C 【分析】根据配方的基本要求规范落实即可． 【详解】∵方程﹣2x﹣7＝0， 移项得： ﹣2x＝7， 配方得： ﹣2x+1＝8， 即＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 1．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求得答案即可． 【详解】 x2-4x=9 x2-4x+=9+ x2-4x+4=13 (x-2)2=13 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【经典例题五 配方法的应用】 【例5】（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 2．（22-23九年级上·上海·阶段练习）已知实数a，b，c满足，则 ． 【答案】54 【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 【经典例题六 公式法解一元二次方程】 【例6】（23-24八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令，解得，， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海普陀·期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（　　） A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y+y）（x﹣y） C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y） 【答案】D 【分析】把x看做未知数，把y看做常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案． 【详解】解答：解：令2x2﹣8xy+5y2＝0， 解得x1＝y，x2＝y， ∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣y）（x﹣y） 故选：D． 【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：根与系数的关系 (1)韦达定理：已知两根为，则，用求根公式证明韦达定理 (2)待定系数法证明韦达定理 设是方程的两个根，则原方程可表示为将方程展开整理得，比对相同次项的系数得：______，______（用表示） (3)请你仿照（2），试一下：设是方程的三个根，则原方程可表示为______________；将方程展开整理得_______________________；比对相同次项的系数可得：_______，______； (4)用类似的方法，我们可以得到一元n次方程的根与系数之间的关系为： _______，_______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用求根公式求出方程的根，然后代入，即可； （2）将的左边按照多项式乘以多项式的方式展开，然后可得到，，由此即可求解； （3）仿照（2）求解即可； （4）同理求出的根与系数之间的关系，的根与系数之间的关系，然后找出一般规律即可． 【详解】（1）解：∵两根为， ∴， ∴， 不妨设，， 则 ， ， 即； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设是方程的三个根， 则原方程可表示为；将方程展开整理得；比对相同次项的系数可得：，； （4）解：由（2）知的根与系数之间的关系为：，； 由（3）知的根与系数之间的关系为：，； 同理：的根与系数之间的关系为：，； 的根与系数之间的关系为：，； …… ∴一元n次方程的根与系数之间的关系为： ， 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的韦达定理推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【经典例题七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例7】 （23-24八年级上·浙江宁波·期末）新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识．对于一元二次方程（为常数，且），其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别求出各方程求的根的判别式的值，取该值大于等于0的选项即可． 【详解】解：A.∵， ∴该方程没有实数根，选项A不符合题意； B．， ∵的值不确定， ∴无法得出，选项B不符合题意； C.∵， ∴该方程没有实数根，选项C不符合题意； D.∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，选项D符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． (3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得． 【详解】（1）∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 如果该方程有两个不相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 故此时的取值范围为且； （2）如果该方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得； （3）如果该方程没有实数根， 则其根的判别式， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键． 【经典例题八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例8】（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：D． 1．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 2．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【经典例题九 根的判别式综合应用】 【例9】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 3．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由x是整数，当时，是一个无理数，可得，从而可得答案； （2）先利用根的判别式得到，结合题意可得，或1，2，3，4，再利用求根公式进行分析判断即可； （3）把原方程化为，可得，，则，整理，可得，即，结合、都是整数，或，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵x是整数，当时，是一个无理数， ∴时，不是整数， ∴，， 即函数的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为． （2）∵有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或1，2，3，4， ∵原方程有两个整数根， ∴为整数， 而也为整数， ∴当时，，符合题意， 当，或2，或3时不是整数，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上：或． （3）∵， 则， ∴或 ∴，， ∴， 整理，可得， ∴， ∵、都是整数， ∴或， ∴或， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴此时方程无解； 综上，可得． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一元二次方程的整数根问题，熟练的利用根的判别式，因式分解的方法，公式法解方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（2023九年级上·全国·专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程中的换成，再移项即可． 【详解】解：根据题意，得，即； 故选：D． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换． 1．（2022·湖北随州·一模）实数满足方程，则的值等于（    ） A． B．-1 C．或-1 D．或-1 【答案】A 【分析】设，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即的值． 【详解】设，则由原方程，得， 整理，得， 解得，， 即的值等于或． ∵x为实数， 当时，即， 此时， 方程没有实数根； ∴不符合题意，舍去． 当时，即， 此时， 方程有两个不相等的实数根； ∴符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是注意x的值为实数．算出的结果要在实数范围内有意义． 2．（22-23九年级上·四川宜宾·期中）已知的解是1，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则：方程转化为： ， ∵的解是1，， ∴的解为：， 即：或， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【答案】(1)换元 (2)方程的解为， 【分析】本题考查了利用换元法解次数高于2次的整式方程，读懂材料提供的方法是关键． （1）根据材料即可完成解答； （2）利用材料中提供的方法完成即可． 【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，体现了换元的数学思想． 故答案为：换元； （2）解：设， 原方程可化为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得 ， 当时，， 解得 ， ∴原方程的解为，． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 【答案】(1)；． (2)17． 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 该多项式关于对称； ， 关于对称， ； 故答案为：；． （2）， 关于对称， ， ， 当时，多项式的值为5， ， ， 时， ． 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： ， ， 或， 所以， 故选：C． 2．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（    ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入方程可得，求出a的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 3．（2024·上海普陀·三模）在解答“一元二次方程的根的判别式为 ”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式公式是解题的关键．直接根据根的判别式公式进行计算即可得解． 【详解】解：的根的判别式为 故选：B． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程是常数，的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程” ∴或 ∴当a=2时，t有最大值，最大值为4． 故选C. 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点作于点，由题意可设，则有，然后根据勾股定理可得，进而求出或，最后分类求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 设， 则， 在中，由可得， 解得 当，即时，； 当，即时，； 的长度为或， 故答案为：1或7． 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直接写出下列一元二次方程的根： （1）的根为： ； （2）的根为： ． 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据方程特点，应用直接开平方法解答． （2）根据方程的特点，移项后，再进行因式分解，将方程化为，然后解得方程的解． 【详解】解：（1）， 原方程化成， 开平方，得， ∴，， 故答案为，． （2） 移项得，， 因式分解，得， ∴或， ∴，， 故答案为，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键． 将原分式方程中的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．解答此题的关键是得出关于k的不等式； （1）方程有实数根，是关于x的一元一次方程和元二次方程两种情况，需分类讨论；当为一元二次方程时，根据判别式的意义得到，建立关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）方程无实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，，，求得k的值； （3）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，，求得k的值； （4）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零． 【详解】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 11．（22-23八年级下·上海青浦·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，先将方程化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的根． 【详解】解：移项整理得：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴原方程的解是：． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． (1)已知一个 “喜鹊数”（，其中为正整数），请直接写出，b，所满足的关系式____________判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”______ (2)利用（1）中“喜鹊数”中的构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求与满足的关系式： (3)在（2）中条件下，且，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)，不是，121（答案不唯一） (2) (3)121，242，363，484 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是喜鹊数， ∴，即； ∵，，， ∴241不是喜鹊数； ∵， ∴121是喜鹊数， 故答案为：，不是，121（答案不唯一） （2）解：∵是方程①的一个根，是方程②的一个根， ∴，， 将，两边同除以得：， 将m，看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484； 故答案为：121，242，363，484． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法； 解：， ，． 当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出的最小值为　 　． (2)求代数式的最小值． (3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)3 (2)7 (3)有最大值，最大值为8 (4)2 【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得； （2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得； （3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得； （4）根据，用表示出，写出，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． 【详解】（1）解：的最小值为3． 故答案为：3； （2） ， ， ， 当时，的值最小，最小值为7， 的最小值为7； （3）， ， ， 代数式有最大值，最大值为8； （4）， ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值为2， 的最小值为2． 【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式． 学科网（北京）股份有限公司 $$