专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】 （23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．3，-4，-2 B．3，-2，-4 C．3，2，-4 D．3，-4，0 2．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则m的取值范围是 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 3．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （24-25八年级上·上海·假期作业）已知是关于的方程的两个实数根，设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·上海金山·期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ） A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0 C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 5．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·重庆·期中）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 7．（2023·安徽·一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是 ． 8．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 10．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 11．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 13．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 14．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）解答 (1)填表： (2)观察表格，一元二次方程的根有哪些？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的一般形式为．根据一元二次方程的定义分析判断即可． 【详解】解：A. 对于，可知，则该方程是一元二次方程，符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，不是整式方程，故该方程不是一元二次方程，不符合题意； D. 整理可得，该方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．是关于x的一元二次方程，故选项正确，符合题意； B．该方程是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； D．该方程整理可得，是一元一次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可． 【详解】 解：关于x的方程，当时，此方程为一元二次方程． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】 （23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．3，-4，-2 B．3，-2，-4 C．3，2，-4 D．3，-4，0 【答案】C 【分析】先把方程变为一般形式，再来求二次项系数、一次项系数、常数项. 【详解】原方程变为3x2+2x-4=0，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-4．所以答案选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练对方程进行变形是解题的关键. 2．（23-24八年级上·上海青浦·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则m的取值范围是 【答案】m≠3. 【分析】通过移项、合并同类项整理成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义列式求解即可． 【详解】解： mx2-3x2+2x-mx+3=0 （m-3）x2+（2-m）x+3=0 ∵因为一元二次方程的二次项系数不能为0， ∴m-3≠0，即m≠3. 故答案为m≠3. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【答案】（1）1   （2），；， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值； （2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得 解得． （2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程． 此时方程为，解得； 当即时，方程为一元一次方程， 此时方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（2023九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ） A． B． C．x D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6， ∴，， 解得：， 把代入原方程可得， ∴一次项是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【答案】 0 7 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0， 整理得，， ∵为一元二次方程且不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：0，7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）． 3．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （24-25八年级上·上海·假期作业）已知是关于的方程的两个实数根，设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由题意可得，，，进而得到，再根据一元二次方程根的定义可得，代入计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24八年级上·上海金山·期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵方程是“月亮”方程， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】13 【分析】将代入方程得到关于m的方程，求出方程的解并结合一元二次方程的定义得到m的值，最后代入所求式子中计算即可解答． 【详解】解：将代入可得得，解得； ∵一元二次方程， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，根据一元二次方程的定义得到是解答本题的关键． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，由这四个条件判断即可． 【详解】解：A、分母中有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、化简为：，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ） A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0 C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意； B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意； C. x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】一元二次方程2x（x-1）=（x-3）+4， 去括号得：2x2-2x=x-3+4， 移项，合并同类项得：2x2-3x-1=0， 其二次项系数与一次项分别是2，-3x． 故选C． 【点睛】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号． 4．（23-24八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1 =x2+2x+1-3x-1 =x2-x =x+1-x =1， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及整体代入思想，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 5．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得，小正方形边长为，故得的正数解为， 即，， 故选：C． 6．（23-24八年级下·重庆·期中）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【详解】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键． 7．（2023·安徽·一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是 ． 【答案】2022 【分析】把x=-1代入方程可以得到-a+b的值，从而得到所求答案． 【详解】解：∵x=-1， ∴a-b+1=0， ∴-a+b=1， ∴2021-a+b=2022， 故答案为2022 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键． 8．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5x2+8x﹣2＝0 5 8 -2 【分析】将等式左边利用整式的乘法法则计算，再整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2． 故答案为：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，整式的乘法计算法则，熟记一元二次方程的定义是解题的关键． 10．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 11．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据分类讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时， 此时原方程为：，符合题意． 当， 此时， 且， 综上所述， ． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 12．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入方程得到，从而变形得，代入代数式得，再由变形得到即可得到答案． 【详解】解：已知方程的一个根是， ，即， ， 由变形得， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，根据条件，恒等变形，整体代入代数式化简求值是解决问题的关键． 13．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 14．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 【答案】34 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2， ∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3， ∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9， ∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）解答 (1)填表： (2)观察表格，一元二次方程的根有哪些？ 【答案】(1)见解析 (2)和 【分析】（1）将的值代入求得代数式的值即可； （2）找到的的值即可． 【详解】（1）解：填表： （2）观察表格，一元二次方程的根有和． 【点睛】考查了代数式求值及一元二次方程的解的知识，解题的关键是代人的值正确的求得的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$