专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 1．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①；②；③；④；其中答对的有（    ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）仔细观察下列三组数：第一组：1，，9，，，… 第二组：，8，，，，…第三组：，，，，，… (1)第一组的第8个数是 ； (2)第二组的第n个数是 ； (3)分别取每一组的第个数，计算这三个数的和． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（11-12七年级·江苏盐城·阶段练习）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 2．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 2、（23-24七年级上·北京西城·期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则m的值为 ，第2025个数为 ． 7 … 3．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）纽约与北京的时差为（同一时刻北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为）．小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达纽约，那么小明到达时纽约时间是（    ）． A．15时 B．16时 C．17时 D．18时 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）宁波的地方特产叫做汤团，将6个不同口味的汤团放到红色、黄色和蓝色三个盘子中，每个盘子里放两个，其中豆沙馅的和芝麻馅的不能放在一起，那么共有不同的方法 种． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）据统计，某学校图书馆平均每天借出图书50册左右．管理员张老师采用如下的方法记录每天借出的图书数量：如果某天借出54册，则记作；如果某天借出47册，就记作．以下是某星期周一至周五图书馆借出的图书统计表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 张老师不小心把茶水滴在星期四的数据上了，数据看不清楚了． (1)星期三借出图书 册； (2)若星期五比星期四多借出图书19册，则表中星期四的数据应为多少？ (3)在（2）的情况下，请你计算，这周总共借出图书多少册？ 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 3．（22-23七年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4)． 4．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 5．（22-23七年级上·广西防城港·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】（23-24七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 2．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】（23-24七年级上·广东珠海·期中）下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海青浦·三模）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 3．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 1．（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 3．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）若，则的值为(　　) A． B． C．1 D．7 5．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（    ）个运算符号写错了 A．6 B．8 C．4 D．2 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 7．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ． 8．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）数轴上的点与原点的距离是个单位长度，若一个点从点出发，沿数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时终点表示的数是 ． 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）M、N两地的高度差记为，例如：M地比N地低3米，记为（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表所示（单位：米），则的值为 ． 两地的高度差 测量结果 3.6 4.7 2.4 10．（23-24七年级上·北京东城·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知表示小于或等于的最大整数，如：，，．现定义，如，则 ． 12．（22-23七年级上·江西萍乡·阶段练习）现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算 ． 13．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 15．（23-24六年级上·山东淄博·期中）在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算：． 16．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负，他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如表，第10次射击成绩为环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数                          0                (1)第10次射击成绩的相对环数应记为________环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第________次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 17．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，求x． 18．（23-24七年级上·河北保定·期中）股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股27元．下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：本周一股票涨跌是在上周六的基础上，用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 +4 +4.5 +2 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？ (3)已知李明买进股票时付了0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.1%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+18道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）根据有理数的加法运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 1．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小亮同学做的4道题，①；②；③；④；其中答对的有（    ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】根据有理数加法运算法则进行解答即可． 【详解】解：①，故原算式计算错误； ②，计算正确； ③，故原算式计算错误； ④计算正确． 所以，答对的有2道． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 【答案】3，4，4，6或3，4，5，5 【分析】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键．首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：四个数只能是3，4，4，6或3，4，5，5， 理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且， 故，， （1）当时，得， ∵， ∴，不合题意舍去，所以， （2）当时，得， （I）当时，，不合题意舍去， （II）当时，∵， ∴，不合题意舍去， （2）当时，得， （I）当时，， （II）当时，∵， ∴， 故综上所述：这四个数只能是：3，4，4，6或3，4，5，5． 故答案为：3，4，4，6或3，4，5，5． 3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）仔细观察下列三组数：第一组：1，，9，，，… 第二组：，8，，，，…第三组：，，，，，… (1)第一组的第8个数是 ； (2)第二组的第n个数是 ； (3)分别取每一组的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查数字规律，根据数据得到规律求解即可得到答案； （2）本题考查数字规律，根据数据得到规律求解即可得到答案； （3）本题考查数字规律，根据数据得到规律求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 第一组数据是一正一负先正后负，每个数是对应序数的平方， ∴第个数是， ∴第一组的第8个数是：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第二组数据是一负一正先负后正，每个数是对应序数的立方， ∴第个数是， 故答案为：； （3）解：由题意可得， 第三组数都是负数，每个数字都是位数平方的两倍， ∴第三组数据是：， ∴三组数的第个数字分别是：，，， ∴． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（11-12七年级·江苏盐城·阶段练习）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 1．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 2．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 3．（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．根据柏林时间推出北京时间，找两人重合的时间部分，即可解题． 【详解】解：由题意可得：柏林时间为时，北京时间为， 小丽和小红可以选择的北京时间为， 小丽和小红可以选择的时刻可以是北京时间． 故选：D． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得答案，利用有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】解：（吨， 故本周五天后这种小麦库存吨， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻千克； (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； (3)买进这筐青萝卜的实际总价钱为元； 【分析】本题考查正负数及正负意义的应用： （1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案； （2）利用正负数之和与0比较即可得到答案； （3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （千克）， ∴最轻的一筐比最重的要轻千克； （2）解：由题意可得， （千克）， ∵， ∴这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； （3）解：由（2）得， 这筐青萝卜的实际重量为： （千克）， ∵这批青萝卜每千克售价为元， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为：（元）， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为元． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)55 (2)16 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 1．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对面上的数字，先确定相对面，再根据相对面上的两数之和都相等列出式子，求出和c的值即可求出的值．熟练掌握正方体展开图中相对面的特征是解题的关键． 【详解】∵把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等， ，， ， ． 故选：B 2、（23-24七年级上·北京西城·期中）如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则m的值为 ，第2025个数为 ． 7 … 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法及数字的变化规律，根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，列出等式，找出规律，计算出m的值；再求出第2025个数是几即可． 【详解】解：∵任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15， ∴第5个数与第1个数相同，都为； 第16个数与第4个数相同，都为2； 第78个数与第2个数相同，都为； ∴， 解得， 则， ∵， ∴第2025个数是． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，自变量因变量的意义，有理数大小的比较，根据有理数大小的比较，自变量因变量的定理，有理数减法的应用，等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知4月8日的最低气温是，最高气温是，正确，不符合题意； B、日期是自变量，气温是因变量，正确，符合题意； C、气温随着日期的增加有时升高，有时下降，故题中说法错误，符合题意； D、4月12日最高温度是这几天最高的，最低气温也是最低的，温差，最大，正确，不符合题意； 故选：C． 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）纽约与北京的时差为（同一时刻北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为）．小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达纽约，那么小明到达时纽约时间是（    ）． A．15时 B．16时 C．17时 D．18时 【答案】C 【分析】先计算从北京早晨出发飞行后北京时间为第二天的上午，再利用两地的时差和有理数的减法和加法法则进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴在北京乘坐早晨的航班飞行后北京时间为第二天的上午， 又∵纽约与北京的时差为， ∴，， ∴小明在北京乘坐早晨的航班飞行约到达时纽约时间是17时， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法和减法的应用，熟练掌握运算法则并理解时差的概念是解题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）宁波的地方特产叫做汤团，将6个不同口味的汤团放到红色、黄色和蓝色三个盘子中，每个盘子里放两个，其中豆沙馅的和芝麻馅的不能放在一起，那么共有不同的方法 种． 【答案】72 【分析】本题主要考查了规律探索，解题的关键是找出放置规律，列出算式，准确计算． 【详解】解：假设先放红色盘子，将6个不同口味的汤团放到红色盘子里的放置方法有（种）， 然后再放黄色盘子，将剩余4个不同口味的汤团放到黄色盘子里的放置方法有（种）， 最后两个放置在蓝色盘子中， ∴总的情况数为（种）； 豆沙馅的和芝麻馅同时放在红色盘子中，另外4个放置在黄色和蓝色盘子中，共有（种）， 豆沙馅的和芝麻馅同时放在黄盘子中，另外4个放置在红色和蓝色盘子中，共有（种）， 豆沙馅的和芝麻馅同时放在蓝色盘子中，另外4个放置在黄色和红色盘子中，共有（种）， ∴豆沙馅的和芝麻馅同时放在一个盘子中的情况有（种）， ∴豆沙馅的和芝麻馅的不放在一起的方法有（种）， 故答案为：72． 3．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）据统计，某学校图书馆平均每天借出图书50册左右．管理员张老师采用如下的方法记录每天借出的图书数量：如果某天借出54册，则记作；如果某天借出47册，就记作．以下是某星期周一至周五图书馆借出的图书统计表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 张老师不小心把茶水滴在星期四的数据上了，数据看不清楚了． (1)星期三借出图书 册； (2)若星期五比星期四多借出图书19册，则表中星期四的数据应为多少？ (3)在（2）的情况下，请你计算，这周总共借出图书多少册？ 【答案】(1)42 (2) (3)这周共借出图书258册书 【分析】本题考查了正数和负数的意义及有理数加减法的运算，熟练掌握有理数加减法法则是解题关键． （1）由记录可知星期三借出图书比平均每天的借书数少8，即可得答案； （2）由上星期五记录为，上星期五比上星期四多借出图书19册，利用有理数减法即可得答案； （3）根据记录可求出实际借书数与平均借书数的差，加上平均一周的借书数即可得实际上星期共借出图书数． 【详解】（1）解：由题意得：（册）， 故答案为：42； （2）解：由题意得：（册） 故，星期四记录的数据是； （3）， 答：这周共借出图书258册书． 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数运算的顺序和法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再从左往右依次计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先算乘方，括号里的式子，再算乘除，最后算加减； （4）先算乘方，绝对值的值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4)49 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，再运用有理数的乘除混合运算法则计算即可； （3）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（22-23七年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（22-23七年级上·山西长治·阶段练习）能简算的要简算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9 (2)8 (3)5 (4)32 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则是解题关键． （1）将7.2改成，再利用乘法结合律进行求解即可； （2）利用乘法分配律进行求解即可； （3）利用加法交换律与结合律进行求解即可； （4）利用乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（22-23七年级上·广西防城港·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)3 (2) (3)1 (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先化简，再计算加减法； （2）先算同分母分数，再相加即可求解；再约分计算即可求解； （3）将除法变为乘法，根据乘法分配律简便计算； （4）先算乘除，后算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】（23-24七年级上·广东深圳·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为－1和1循环，而其和为0，且共有1010个0，最后可求得和的值． 【详解】 =1 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1或－1的特点，从而问题得以解决． 2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由前面4个等式的规律可得第5个等式的规律，即可完成求解； （2）利用（1）中的规律即可完成求解； （3）利用（1）中规律，把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 【详解】（1）解：由前面4个等式的规律，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）观察下列各式：，根据规律解答下列各题． (1)__________________； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已有算式，推出． 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 1．（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】先求出点表示的数是，再分两种情况：①点向左移动5个单位长度到点；②点向右移动5个单位长度到点，利用数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加法与减法即可得． 【详解】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ①当点向左移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是； ②当点向右移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是， 综上，此时点表示的数是或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意得到点表示的数为表示的数是，再分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时进行计算即可． 【详解】解：由题意得点表示的数为表示的数是, （1）当点在点左侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以， （2）当点在点右侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以． 故答案为：3.5或6.5． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论，是解题的关键． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】（23-24七年级上·广东珠海·期中）下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两个有理数的差不一定小于被减数，故原说法错误； ②绝对值等于它的相反数的数是负数和，故原说法错误； ③若且，则，同为负数，故原说法正确； ④，则或，故原说法错误； ⑤有理数包括正有理数，和负有理数，故原说法错误； ⑥最大的负整数是，故原说法正确； 故选：C． 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．（2024·上海青浦·三模）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 故答案为：66． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】将各数相加的和除以2，得出横线上，竖线上，外圈，内圈上的数之和，即可求出b，则竖线上的四个数字为：3，，1，，横线上的四个数字为：，0，，2，再求出，即可求出或2，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 则竖线上的四个数字为：3，，1，， ∴横线上的四个数字为：，0，，2， ∵， ∴， ∴或2， 当时：， 当时：， 故选：D．    【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）求出第一行三个数的和即可； （2）先求出对角线三个数的和，再根据每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，进行填写； （3）先求出绝对值小于5的整数，再根据题意，填写即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：15． （2）如图所示：（答案不唯一）    （3）绝对值小于5的整数分别为， 如图所示：（答案不唯一）    【点睛】本题考查有理数加法运算．理解幻方的定义，是解题的关键． 【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 1．（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 3．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算程序图，有理数的加减混合运算，理解有理数的运算程序图是解题关键．根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到4，问题得解． 【详解】解：； ． 故选：C． 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）若，则的值为(　　) A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及绝对值的代数意义，根据，得到中两正一负或一正两负，利用绝对值的代数意义化简． 【详解】解：∵， ∴中两正一负或一正两负， 假设，原式，其他情况同理值为； 假设，原式，其他情况同理值为， 故选：B． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（    ）个运算符号写错了 A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用有理数的加减混合运算的法则将原式计算得出结论，进而判定出将“”错写成“”，最后结合所给结论得出相差的数值即可． 【详解】解： ． ， 不小心把“”错写成“”， ，， 不小心把看成了， 不小心把原式从左往右数，第6个运算符号写错了． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）食品店一周内各天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：元）：，，，，，，．则该店这一周的盈亏情况是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况． 【详解】解：， 该食品店这一周的盈亏情况是盈285元， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正数和负数及有理数加法在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 7．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）数轴上的点与原点的距离是个单位长度，若一个点从点出发，沿数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时终点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的点所表示的数，有理数的加减运算，根据数轴上的点距离原点个单位长度，可得点表示的数，再根据向右移动几个单位加几，向左移动几个单位减几，据此可解．明确向右移动用加法，向左移动用减法及距离原点几个单位如何表示是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上的点与原点的距离是个单位长度， ∴点表示的数为或， 当点表示的数为时，由题意得： ， 当点表示的数为时，由题意得： ， ∴此时终点所表示的数是或． 故答案为：或． 9．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）M、N两地的高度差记为，例如：M地比N地低3米，记为（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表所示（单位：米），则的值为 ． 两地的高度差 测量结果 3.6 4.7 2.4 【答案】 【分析】此题考查有理数的减法，观察表格，若将表格中的所有数加起来，即是的值，若结果大于0，则比高，若结果小于0，则比高． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·北京东城·阶段练习）阅读下面文字：对于 可以如下计算：原式 ， 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，计算： ． 【答案】 【分析】仿照示解题过程，将整数部分相加减，分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算律． 11．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知表示小于或等于的最大整数，如：，，．现定义，如，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意列出算式解答即可． 【详解】根据题意可得：，， ， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查解有理数的大小比较，有理数的加减运算，关键是根据题意正确列出算式式计算． 12．（22-23七年级上·江西萍乡·阶段练习）现定义一种新的运算： ，例如，你按以上方法计算 ． 【答案】8 【分析】根据新定义列出算式，先算出括号内的，再算括号外的，即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的加减运算，理解新定义运算是解决本题的关键 13．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，可得，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，原式可化为，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再根据运算法则即可求解； （2）先去括号，再根据运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．（23-24六年级上·山东淄博·期中）在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握解题的规律是解题的关键．利用题干中的方法解答即可． 【详解】解：设①， ∴②， ①＋②得： ． ∴． ∴． 16．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）某射击运动员进行射击训练，射击成绩以10环为基准，记录相对环数，超过10环记为正，不足10环记为负，他的前9次射击成绩（单位：环）的相对环数记录如表，第10次射击成绩为环． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数                          0                (1)第10次射击成绩的相对环数应记为________环； (2)这10次射击中，与10环偏差最大的是第________次射击；（填序号） (3)计算这10次射击的平均成绩． 【答案】(1) (2)③ (3)环 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义． （1）计算即可； （2）这10次射击中，相对环数的绝对值最大的那一次与10环偏差最大； （3）求出10次射击的总成绩，即可计算． 【详解】（1）∵， ∴第10次射击成绩的相对环数应记为环， 故答案为：； （2）这10次射击中，与10环偏差最大的是第③环， 故答案为：③； （3）∵(环)， ∴(环)， ∴这10次射击的平均成绩是环． 17．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，求x． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了新定义“不超过x的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．根据为不超过x的最大整数且，可知是整数，根据，得到a为0或或或，根据，得到，求出 x的值即可． 【详解】解：∵不超过x的最大整数为，， ∴是整数， ∵， ∴a为0或或或， ∵， ∴， ∴，， ∴x为或或或． 18．（23-24七年级上·河北保定·期中）股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股27元．下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：本周一股票涨跌是在上周六的基础上，用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 +4 +4.5 +2 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？ (3)已知李明买进股票时付了0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.1%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)34.5 (2)故最高股价为35.5元，最低股价为26元． (3)赚了917元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意运算数序及符号． （1）本题先根据题意列出式子解出结果即可． （2）根据要求列出式子解出结果即可． （3）先算出刚买股票所花的钱，然后再算出周六卖出股票后所剩的钱，最后再减去当时购买时所花的钱，则剩下的钱就是所收益的． 【详解】（1）解：根据题意得： （元． （2）根据题意得：星期一股价为：（元； 星期二的股价为：（元， 星期三股价为：（元， 星期四的股价为：（元， 星期五的股价为：（元， 星期六的股价为：（元； 故最高股价为35.5元，最低股价为26元． （3）买股票需要付款（元， （元 （元， 即他的收益为赚了917元． 学科网（北京）股份有限公司 $$