3.2 函数的值域（最值）及应用 讲义-2025届高三数学一轮复习

3.2 函数的值域（最值）及应用 目录 考点一：函数值域（最值）的解法 2 考向1：单调性法 2 考向2：型 3 考向3：型 3 考向4：型 4 考向5：分式型 5  一（二）次分式函数 5  分式型三角函数 6  含根式的分式函数 7 考点二：根据值域求参数值或取值范围 7 前提 设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得 (1)，都有； (2)，使得 结论 M为最大值 M为最小值 考点一：函数值域（最值）的解法 考向1：单调性法 方法提炼 【例1.1.】 函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的值域为 A． B． C． D． 【例1.3.】 若，则函数的值域为 . 【例1.4.】 函数在[-4，-2]上的值域是 . 【例1.5.】 函数的值域为 . 【例1.6.】 （多选）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 考向2：型 方法提炼 【例1.7.】 已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【例1.9.】 函数的值域为 . 考向3：型 方法提炼 【例1.10.】 函数的值域是 【例1.11.】 函数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【例1.12.】 函数的值域是 . 【例1.13.】 函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【例1.14.】 函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 【例1.15.】 函数的值域为 考向4：型 方法提炼 【例1.16.】 已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例1.17.】 函数的最大值是 . 【例1.18.】 函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例1.19.】 函数的值域为 . 【例1.20.】 函数的最大值为 . 【例1.21.】 函数的最大值为 ． 考向5：分式型 · 一（二）次分式函数 方法提炼 【例1.22.】 函数的值域（    ） A． B． C． D． 【例1.23.】 已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例1.24.】 函数的值域为 . 【例1.25.】 已知，设， ①当时，的最大值为 . ②当时，的最大值为 . 【例1.26.】 已知，，，则的最小值为 ． 【例1.27.】 已知实数若，满足，则的取值范围是 . 【例1.28.】 时，的值域为 . 【例1.29.】 已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． · 分式型三角函数 方法提炼 【例1.30.】 函数f(x)=()的值域是  （    ） A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 【例1.31.】 的最大值为（    ） A． B．2 C． D．无最大值 【例1.32.】 函数的值域是 ． 【例1.33.】 已知，则的值域为 ． 【例1.34.】 函数的值域是 ． 【例1.35.】 若，则函数的值域是 ． 【例1.36.】 函数的值域为 . · 含根式的分式函数 方法提炼 【例1.37.】 已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 【例1.38.】 的值域是 . 【例1.39.】 函数的最大值为 ． 【例1.40.】 函数的值域为 ． 【例1.41.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例1.42.】 函数的值域为 . 【例1.43.】 函数的值域为 . 考点二：根据值域求参数值或取值范围 【例2.1.】 已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知函数的值域为，则实数t的取值范围是 ． 【例2.4.】 已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【例2.5.】 设函数在区间上的值域是，则的取值范围是 . 【例2.6.】 已知的值域为，则实数（    ） A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或 【例2.7.】 设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是 A． B． C． D． 【例2.9.】 设，若存在实数，使得的定义域和值域都是，则实数的取值范围为 . 【例2.10.】 已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 函数的值域（最值）及应用 目录 考点一：函数值域（最值）的解法 2 考向1：单调性法 2 考向2：型 4 考向3：型 6 考向4：型 10 考向5：分式型 14  一（二）次分式函数 14  分式型三角函数 20  含根式的分式函数 25 考点二：根据值域求参数值或取值范围 30 前提 设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得 (1)，都有； (2)，使得 结论 M为最大值 M为最小值 考点一：函数值域（最值）的解法 考向1：单调性法 方法提炼 先确定函数的定义域，然后根据函数单调性的定义、基本初等函数的单调性、单调性的运算性质、复合函数单调性的判断法(“同增异减”)来判断出函数的单调性，再根据函数的单调性来求函数的值域。一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则值域为； 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则值域为. 【例1.1.】 函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B 【例1.2.】 函数的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质结合函数的解析式，即可求得答案. 【详解】，，则， 即的值域为， 故选：C 【例1.3.】 若，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的值域，即可求出函数的值域． 【详解】因为，，令，因此 ，即的值域为． 故答案为：． 【例1.4.】 函数在[-4，-2]上的值域是 . 【答案】 【解析】利用反比例型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上是单调递减函数， 所以当时，函数也是单调递减函数， 因此有：，即， 所以函数在[-4，-2]上的值域是. 故答案为： 【例1.5.】 函数的值域为 . 【答案】 【解析】由根据的范围先求分母的范围，可得值域. 【详解】， ，，， 所以，则. 故答案为： 【例1.6.】 （多选）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 考向2：型 方法提炼 配方法（对称轴法）： 对于形如形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成，可以结合图象完成求值域或最值． 【例1.7.】 已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【例1.8.】 函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域. 【详解】解：令，可得， 可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增， 当时，，故函数的值域为， 故选：B. 【例1.9.】 函数的值域为 . 【答案】 【解析】利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果. 【详解】函数的定义域为 所以函数的值域为 故答案为： 考向3：型 方法提炼 （1）代数换元： ，令． （2）三角换元：，令 （或）． （3） 或 ①平方法：先移项成 ，并利用两边同时平方去根号，化简得到关于的方程，从而得到关于的不等关系. ② 图像法：令，将问题转化成半圆与直线有交点问题 ③柯西不等式：， 当且仅当ad＝bc时，等号成立． （4） 导数法 对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域是闭区间，则函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 【例1.10.】 函数的值域是 【答案】 【详解】函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，所以值域是. 【例1.11.】 函数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】令，则，可得最大值. 【详解】令，则， 得， 则当时，取得最大值. 故选：C 【例1.12.】 函数的值域是 . 【答案】 【详解】解：设， 则 而 ，所以 所以函数的值域为. 【例1.13.】 函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，可知函数的定义域为． 当时，可知函数是递增函数，可得 当时，原式化为， 两边同时平方，整理可得： 又且， 解得且 综上可得． 函数的值域为． 故选：． 【例1.14.】 函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：导数法 解：因为 由，解得． 可得函数的定义域为：． 又． 令，则，即在上单调递增， 令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以为极小值点， 又，，． 函数的值域为． 故选：A． 方法二：图像法 由，知，解得 令，则.，即为和两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示： 由图可知，当直线和半圆相切时最小，当直线过点A(4,0)时，最大. 当直线和半圆相切时，，解得，由图可知. 当直线过点A(4,0)时，，解得. 所以，即. 故选A. 【例1.15.】 函数的值域为 【答案】 【详解】由题意可得函数的定义域为 当时，当且仅当时等号成立 当时， 当且仅当 ，即取等号 所以函数的值域为 考向4：型 方法提炼 （1） 对于形如， 1　 若，可通过判断单调性求解值域； 2　 若,可通过平方，构造出二次函数，利用二次函数思想解决问题. （2） 柯西不等式 ，则，当且仅当ad＝bc时，等号成立． （3） 换元法:令，则 （4） 几何意义：转化成距离问题 【例1.16.】 已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：函数思想（平方法） 由题设可得，，即，也即，所以，则，故选C. 方法二：对偶思想 根据， ，可构造其对偶式 ，， 可得 ，而在区间上单调递减， 可得，即 所以，即 所以，则，故选C. 方法三：柯西不等式 由柯西不等式，得 当且仅当 ，即时，等号成立 所以 又当时，有， 当且仅当时，等号成立 所以 综上，，则，故选C. 方法四：均值不等式 当时，有， 当且仅当时，等号成立 所以 由不等式，当且仅当时取号，从而有 ，即 所以，，则，故选C. 方法五：辅助圆思想 令， ，得到 可转化为动直线与定弧线有公共点问题 如图， 圆心到直线的距离为，且，而 解得，即，则， 故选C. 方法六：向量思想 由可构造向量 则 如图，， 所以，故 即 所以，则， 故选C. 【例1.17.】 函数的最大值是 . 【答案】 【详解】由柯西不等式 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【例1.18.】 函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】 当时取最大值，则的最大值是. 故答案为：B. 【例1.19.】 函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域. 【详解】由已知得，解得，所以的定义域为， 且时与都是减函数，所以在上是减函数，，所以的值域为. 故答案为：. 【例1.20.】 函数的最大值为 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域，按分段讨论，并变形函数式，利用换元法求出最大值即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增，当时， 单调递增， 于是函数在上单调递增，当时，， 当时，，令，则 于是，当且仅当，即时，， 所以当时，函数取得最大值. 故答案为： 【例1.21.】 函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，结合求解即可. 【详解】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 考向5：分式型 · 一（二）次分式函数 方法提炼 （1） 代数换元：① ，令； ② ，令 （2） 分离常数法 形如或或 的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步：用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式； 第二步：求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域. （3） 反函数法 一次分式型函数，可以通过求反函数的定义域，得到原函数的值域. （4） 判别式法 求二次分式函数（不同时为0）值域的步骤为： 第一步：将分式化简，确保分母不为0，据此求得函数的定义域 第二步：令，则，即 ① 第三步：将①视为关于的一元二次方程，由于方程有解，所以判别式 第四步：解不等式所得的解即为函数的值域. 【例1.22.】 函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D． 解法二：由题意，，即函数的定义域为 所以 ，解得 故函数的值域为，故选D． 【例1.23.】 已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 【例1.24.】 函数的值域为 . 【答案】 【详解】令，则 ， 即 当时， 解得. 当时，由可得 ，方程无解， 故的值域为 【例1.25.】 已知，设， ①当时，的最大值为 . ②当时，的最大值为 . 【答案】 ； 1 【分析】①把代入，可得，然后使用法计算可得结果. ②化简式子可得，讨论与，并使用法，计算可得. 【详解】①当时，，， 若，显然有解， 若， 所以. ②， 所以 当时，不符合题意 当时， 即 若，显然有正解， 若，对称轴 所以要使得有正解，则 化简可得：或 所以了，当且仅当，时等号成立. 故答案为：，1 【例1.26.】 已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用代入消元法可将问题转化为求解的最小值问题，根据且求得，采用换元的方式将问题转化为求解，的最小值，利用基本不等式求得结果. 【详解】由得：，由得：     令，由得：，即     当时， 当且仅当，即时取等号      即     本题正确结果： 【例1.27.】 已知实数若，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，化简，得到答案. 【详解】设，，. 故答案为：. 【例1.28.】 时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 【例1.29.】 已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以． 因为， 令，则，， 所以， 由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值， 所以当时，， 所以. 故选：B． · 分式型三角函数 方法提炼 （1）或 ①有界性法 若可用反表示，则常利用其有界性来求值域． ②分离常数法 （2） 换元法：①，令 ② ，令，则 （3） 几何意义法 的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案. 【例1.30.】 函数f(x)=()的值域是  （    ） A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 【答案】C 【分析】由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论,求解函数的值域即可. 【详解】令，则：，即：， 分类讨论： 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域为； 综上可得：函数f(x)=( )的值域是, 故选：C 【例1.31.】 的最大值为（    ） A． B．2 C． D．无最大值 【答案】D 【详解】方法一：令，则（且）， 所以 故函数，函数无最大值. 故选：D. 方法二：由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，解得或， ∴函数的值域是，函数无最大值. 故选：D. 【例1.32.】 函数的值域是 ． 【答案】 【分析】将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案. 【详解】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【例1.33.】 已知，则的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则 因为，，所以 所以，所以 所以 在上单调递增 所以 ， 所以函数的值域为. 【例1.34.】 函数的值域是 ． 【答案】 【分析】方法一：（几何意义法）函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案. 方法二：（有界性法）依题意可得，利用辅助角公式得到，再根据正弦函数的有界性求出的取值范围. 【详解】方法一：（几何意义法） 函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，易知动点在以为圆心，1为半径的圆除以外的点上， 易知直线的斜率存在，设为，则直线为即， 则，解得，即值域为. 故答案为： 方法二：（有界性法） 由可得， 即， 由三角函数辅助角公式可得， （为辅助角）， 则，解得， 故函数的值域为. 【例1.35.】 若，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案. 【详解】， 设，，则. 由于，则，且. 设， 由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知. 由图知， 在中，有，，所以， 所以，所以. 所以，，故所求值域为． 故答案为：． 【例1.36.】 函数的值域为 . 【答案】 【分析】，令，则，然后用法求解即可. 【详解】由题可得，，令，则， 即，当，即时，； 当，即时，要使方程有解，则需，得. 综上， 故答案为： · 含根式的分式函数 方法提炼 （1） 代数换元：①或，令 ； ②，令. （2） 三角换元：①，令 ； ②，令. 【例1.37.】 已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】令，则 原式可化为 当且仅当时，即等号成立， 则的最小值为. 故选：C. 【例1.38.】 的值域是 . 【答案】. 【分析】利用换元法，通过化简函数的解析式，转化求解函数的最值，得到函数的值域即可． 【详解】令，则 令，，则 ， 或，所以值域为， 故答案为. 【例1.39.】 函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合函数的单调性即可求得最值 【详解】令，则， 所以，所以， 令，， 因为，所以， 所以在上为增函数， 所以， 所以(当，即时取等号)， 即函数的最大值为． 【例1.40.】 函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令 ，便可将关于 x 的二次分式转化为关于 θ 的一次分式，再通过三角恒等变换，将函数式化简为正弦函数式，从而利用正弦函数的有界性和单调性求得函数的值域. 【详解】因为，即 所以函数的定义域为 令 即 ， 因为 所以的值域为 【例1.41.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法以及直线斜率的几何意义、直线与圆的位置关系进行求解. 【详解】依题意且，所以函数的定义域为. 设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点， 如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为， 当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即， 则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以. 所以函数的值域为. 故选：C.    【例1.42.】 函数的值域为 . 【答案】[，] 【分析】先根据条件求出x的范围，再令，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论. 【详解】∵ 令， ∴=， 表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分. 如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ，故切线的斜率为.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为. 故答案为： 【例1.43.】 函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据两点斜率公式，结合圆与直线的位置关系，即可结合图形求解. 【详解】设，, 则， ，故点在单位圆的上半部分. 其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率． 如图：,则， 设过点A的直线为， 整理为，由点到直线的距离公式可得 ，化简得或（舍）， 所以， 故答案为:      考点二：根据值域求参数值或取值范围 【例2.1.】 已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 【例2.2.】 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围. 【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数 令，解得：，     即实数的取值范围为 故选： 【例2.3.】 已知函数的值域为，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数值域，结合二次函数的单调性，对参数分类讨论，即可求得参数范围. 【详解】令， 当时，， 因为在上单调递增， 因此值域为为的子集，所以； 当时，， 为的子集，所以； 当时，， 当且仅当时取等号， 因为为的子集，所以； 综上，. 故答案为：. 【例2.4.】 已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 【例2.5.】 设函数在区间上的值域是，则的取值范围是 . 【答案】. 【解析】配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解. 【详解】，顶点为 因为函数的值域是， 令，可得或. 又因为函数图象的对称轴为， 且，所以的取值范围为. 故答案为:. 【例2.6.】 已知的值域为，则实数（    ） A．4或0 B．4或 C．0或 D．2或 【答案】B 【分析】由题意可得，分的符号进行分类讨论函数的零点，结合值域得出的值， 【详解】解：由， 由，可得，或，或， 它的定义域为，值域为， 若，则，则函数的值域为，不满足条件. 若，则根据函数的定义域为， 此时，函数的零点为，， 若，当时，不满足题意. 若，当时，不满足题意. 所以，求得； 若，则函数的定义域为， 此时函数的零点为，， 同理可得，所以. 综上，或， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查函数零点、定义域和值域问题，解答本题的关键是当时，函数的零点为，，若，当时，若，当时，，所以，求得，属于中档题. 【例2.7.】 设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用导数分析出函数在区间上为增函数，可得出，可知关于的方程在上有两个不等的实根，利用参变量分离法得出，令，由题意可得出直线与曲线在上的图象有两个交点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，设，则， 所以当时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增， 又在上的值域为，所以， 则方程在上的两个根为、， 由，可得， 构造函数，其中，， 令，其中，， 当时，，所以，函数在上单调递增， 当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增. 所以，，，如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【例2.8.】 设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值． 【详解】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数 所以存在，使在上的值域为 则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根 令 则，令 解得 代入方程得 解得，因为有两个不等的实数根 所以t的取值范围为 所以选B 【例2.9.】 设，若存在实数，使得的定义域和值域都是，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据单调性可得，设，，由可整理出，从而求得，将方程组变为，整理可得，根据的范围求得的取值范围. 【详解】在是减函数     即：……① 设， ，， 由，得         则①变为：    ， 即：      本题正确结果： 【例2.10.】 已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可 【详解】 由，得或 由，得 易知当时，为增函数，当时，为减函数，其图像如上图所示 若使的定义域是（m，n为整数），值域是，满足条件的整数数对有，，，，共5个 故选：D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$