专题20 抛物线及其标准方程6种常考题型归类（69题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题20 抛物线及其标准方程6种常考题型归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抛物线的标准方程 题型二 根据抛物线方程求焦点或准线 题型三 抛物线的焦半径公式 题型四 抛物线定义的应用 （一）利用抛物线的定义解决轨迹问题 （二）利用抛物线的定义求距离 （三）抛物线上点到定点距离及最值 （四）抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 题型五 抛物线的轨迹问题 题型六 抛物线的实际应用 知识点1：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点2：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 特别说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 解题策略 1．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式，然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程． 2．抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程； (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后利用已知条件确定p的值． 注：(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程． 3.抛物线的定义及应用 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质． 4.利用定义求轨迹的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用求轨迹的方法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． 5. 求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线的标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出所要求出的量． (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． 题型一 抛物线的标准方程 1.（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 3.（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 5．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 ． 6．（2024·河南洛阳·高二校考阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 7.（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程. 9．（2021秋·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 11.（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件 ①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上． 则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可）， 12.（2024·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据抛物线方程求焦点或准线 13.（2024·四川·高二统考期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（　　） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，准线方程为- C．开口向右，焦点为 D．开口向上，准线方程为 15.（2024·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ． 16．（2024·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 18.（2024·青海西宁·统考二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 19．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 20．（2024·福建泉州·高二校联考期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 21．（2024·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ． 22．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 . 题型三 抛物线的焦半径公式 23.（2024·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 24.【多选】（2024·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 25.（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 26.（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 . 27.（2024·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 . 题型四 抛物线定义的应用 （1） 利用抛物线的定义解决轨迹问题 28．（2024春·安徽芜湖·高二校联考期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 29.（2024·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． 30．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程； 31.（2024·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 32．（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 33.（2024·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 34．（2024·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （2） 利用抛物线的定义求距离 35．（2024·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 36．（2024·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 37.（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 . 38．（2024·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．16 B．20 C．4 D．8 （三）抛物线上点到定点距离及最值 39.（2024·河南焦作·高二统考开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 40.（2024·云南昭通·高三校考阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 41．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为 ． 42.（2024·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 . 43．（2024·广东江门·高二校考阶段练习）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为 . 44．（2024·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． （四）抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 45．（2024·广东汕头·高二校考期中）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 46．（2024·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 47.（2024·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 48.（2024·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 49．（2024·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ． 50．（2024·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 51.（2024·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 52．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 53.（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 54．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 55．（2024·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 56．（2024·四川成都·高二期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为 . 57．（2024·高二课时练习）已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 题型五 抛物线的轨迹问题 58．【多选】（2024·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线 C．当时，点的轨迹为抛物线 D．当时，点的轨迹为一条直线 59．（2024·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 60．（2024秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ． 61．（2024秋·福建宁德·高三校考期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 62．（2024秋·河南南阳·高二统考期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 63．（2024·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 . 题型六 抛物线的实际应用 64．（2024·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 65．（2024·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 66．（2024·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 67．（2024·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 68.（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 69.（2024·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题20 抛物线及其标准方程6种常考题型归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 抛物线的标准方程 题型二 根据抛物线方程求焦点或准线 题型三 抛物线的焦半径公式 题型四 抛物线定义的应用 （一）利用抛物线的定义解决轨迹问题 （二）利用抛物线的定义求距离 （三）抛物线上点到定点距离及最值 （四）抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 题型五 抛物线的轨迹问题 题型六 抛物线的实际应用 知识点1：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点2：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 特别说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 解题策略 1．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式，然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程． 2．抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程； (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后利用已知条件确定p的值． 注：(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程． (2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程． 3.抛物线的定义及应用 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质． 4.利用定义求轨迹的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用求轨迹的方法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． 5. 求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线的标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出所要求出的量． (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． 题型一 抛物线的标准方程 1.（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，抛物线的准线方程为， 即其焦点在轴负半轴上，且，得， 故其标准方程为：. 故选：D. 2．（2024·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程. 【详解】由题意， 抛物线的顶点是原点，准线为直线， ∴设抛物线的方程为， ∴，解得：， ∴此抛物线的方程为：， 故答案为：.    3.（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设抛物线的方程为或， 将点代入，可得或， 解得或， 故抛物线的标准方程为或， 故选：C 4．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）（2）（3）利用抛物线的定义及其性质即可得出． 【详解】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且， 则，故所求抛物线的标准方程为． （2）点在第二象限， 设所求抛物线的标准方程为或， 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为； 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为． 综上所求抛物线的标准方程为或． （3）由焦点到准线的距离为，所以， 故所求抛物线的标准方程为或或或． 5．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据焦点到准线的距离为，所以，再结合条件，可得的标准方程. 【详解】依题意的开口朝上,可设的标准方程为， 因为的焦点到准线的距离为，所以， 所以的标准方程为． 故答案为: . 6．（2024·河南洛阳·高二校考阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 7.（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：C    8．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程. 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，即抛物线的焦点坐标，即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点为. 设抛物线方程为，则，所以， 所以抛物线方程为x. 9．（2021秋·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的准线方程，利用几何性质求出参数的值，即可求出抛物线的方程. 【详解】由题意， 在抛物线中， 准线方程， ∵到准线的距离等于它到焦点的距离， ∴，解得：， ∴抛物线方程为：， 故选：A. 10．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 11.（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件 ①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上． 则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可）， 【答案】（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个） 【详解】由已知得：抛物线的焦点在坐标轴上； 若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：， 抛物线的焦点为，； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：或， 抛物线的焦点为，； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为； 则可同时满足三个条件的抛物线的方程为或或或． 故答案为：（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）． 12.（2024·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： ，，，所以 可得，由抛物线的定义得 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是． 故选：B 题型二 根据抛物线方程求焦点或准线 13.（2024·四川·高二统考期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，故焦点为， 故选：B 14．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（　　） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，准线方程为- C．开口向右，焦点为 D．开口向上，准线方程为 【答案】AD 【分析】把抛物线化为标准形式，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，把抛物线化为标准形式， 则抛物线的开口向上，且，所以焦点为，直线方程为. 故选：AD. 15.（2024·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的方程为， 所以抛物线的准线方程是. 故答案为：. 16．（2024·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线焦点坐标为，设关于直线的对称点的坐标是，列出关于的方程组求解即可. 【详解】抛物线即，其焦点坐标为， 设关于直线的对称点的坐标是， 则，解得，则， 故选：A． 17．（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标. 【详解】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以. 故选：A 18.（2024·青海西宁·统考二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 . 【答案】x=-1 【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过 定点，将它代入抛物线方程得 ，解得， 所以其准线方程为； 故答案为： . 19．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果. 【详解】设直线与轴交点为， 由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且， ，即，去绝对值，解得或， 所以抛物线的准线方程为或. 故选：C. 20．（2024·福建泉州·高二校联考期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】采用逆向思考：即将抛物线将其绕顶点顺时针方向旋转，得到抛物线，进而即可求得的值. 【详解】抛物线即的开口向上，将其绕顶点顺时针方向旋转，得到的抛物线，开口向右，其方程为，则， 故选：B. 21．（2024·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ． 【答案】 【分析】由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得. 【详解】由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为， ∵准线方程为，点到准线的距离为6， ∴，∴，∴抛物线的方程为， ∵点在抛物线上，∴，∴. 故答案为：. 22．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 . 【答案】 【分析】设，利用向量的关系式，求得点的坐标，代入抛物线方程即可． 【详解】抛物线的准线为， 由题意，， 设，则，， 因为，所以， 所以，， 代入得，解得（负值舍）， 所以. 故答案为： 题型三 抛物线的焦半径公式 23.（2024·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 24.【多选】（2024·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题可知， 因为点在抛物线上，且， 所以， 解得， 所以， 故选：BD. 25.（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，所以 又知抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可知，，整理得，解得， 所以的焦点坐标为， 故选：C． 26.（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 . 【答案】1 【详解】抛物线，，设点， 依题意可知，，得， 故答案为： 27.（2024·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 . 【答案】/3.5 【详解】由题知：，故由焦半径公式得：. 故答案为：. 题型四 抛物线定义的应用 （1） 利用抛物线的定义解决轨迹问题 28．（2024春·安徽芜湖·高二校联考期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线，， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 29.（2024·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程． 【答案】或． 【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2， ∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等． ∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且． ∴抛物线的方程为， 又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2， ∴M点的轨迹方程为②． 综上，得动点M的轨迹方程为或． 30．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程； 【答案】 【分析】 根据题意转化为到直线的距离等于到的距离，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】 解：由点到直线的距离比到点的距离大2 可转化为到直线的距离等于到的距离 所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以，所以曲线的方程为. 31.（2024·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 32．（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 33.（2024·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 34．（2024·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程． 【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方）， 所以，， 又因为过作圆的切线， 所以切线的方程为， 因为动点到的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为， 所以的轨迹方程为． 故选：A. （2） 利用抛物线的定义求距离 35．（2024·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离. 【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为 设，根据抛物线定义有有，∴， ∴点到原点的距离为. 故选：D. 36．（2024·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】直接根据抛物线定义得的轨迹为抛物线，再设其抛物线方程，根据焦点坐标求出其方程，再根据抛物线性质即可求出的长. 【详解】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线， 设抛物线的方程为，，则，解得， 故抛物线方程为，当时，，则， 故选：D. 37.（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 . 【答案】 【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为， 因为点在上，且到直线的距离为， 可得到直线的距离为，即点到准线的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以. 故答案为：. 38．（2024·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．16 B．20 C．4 D．8 【答案】A 【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值. 【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于， 因为，所以，设， 在中，， 显然，又由抛物线的定义得， 所以，解得：，即. 故选：A. （三）抛物线上点到定点距离及最值 39.（2024·河南焦作·高二统考开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设，则，则， 所以当时，取得最小值． 故选：A 40.（2024·云南昭通·高三校考阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 【答案】 【详解】设，则， 因为， 所以 ，当时取得最小值4， 故答案为：4 41．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线：，，为上一点，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点P的坐标，代入求距离，消去y，求距离取最小值时点的坐标. 【详解】设点，则， 当时，，此时点. 故答案为：. 42.（2024·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 . 【答案】3 【详解】因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设， 设圆的圆心坐标为：，半径为1， 因此，当时，， 所以长度的最小值为， 故答案为： 43．（2024·广东江门·高二校考阶段练习）已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设，根据抛物线定义得到其轨迹方程为，计算得，则得到的最小值. 【详解】设，因为点P到直线与到点的距离相等， 所以P点轨迹是以为焦点的抛物线，即； 设圆的圆心为M，则， ， 当且仅当时等号成立，所以， 即， 故答案为：3. 44．（2024·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值. 【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时. 故选：D （四）抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 45．（2024·广东汕头·高二校考期中）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 46．（2024·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离， 即的最小值为. 故答案为： 47.（2024·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 48.（2024·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故， 如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立. 故选：C 49．（2024·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ． 【答案】5 【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可. 【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为， 根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为， 所以 故答案为：5.    50．（2024·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，结合图象分析求解. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 51.（2024·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】 抛物线的准线方程为， 过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时， 取得最小值，此时， 此时 故答案为:. 52．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值. 【详解】如图所示： 由知，抛物线焦点， 由，化为， 即为以为圆心，1为半径的圆， 又，得，恒过定点， 过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接， 则， 当三点共线时，最小,此时为3， 所以的最小值为：， 故选：A. 53.（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 54．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答. 【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径， 于是，    因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和， 而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 55．（2024·全国·高三专题练习）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出到轴距离就是到焦点的距离减去，接着利用两点之间直线最短而得到答案. 【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=. 故选：B. 56．（2024·四川成都·高二期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为 . 【答案】7 【分析】设抛物线的准线为，过作于，过作于，由抛物线的性质可将的周长转化为，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得答案. 【详解】当时，，所以点在抛物线内， 由，得焦点为，准线为， 过作于，过作于，则， 所以的周长为， 由图可知当三点共线时，取得最小值， 此时的最小值为， 因为， 所以的最小值为7，即的周长的最小值为7， 故答案为：7    57．（2024·高二课时练习）已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，当最小时求解. 【详解】解：如图所示： 设，， 连接，圆为：， 则， 则， 当点时，的最小值为， 所以， 故选：C 题型五 抛物线的轨迹问题 58．【多选】（2024·湖南长沙·高二统考期末）已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（    ） A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线 C．当时，点的轨迹为抛物线 D．当时，点的轨迹为一条直线 【答案】AB 【分析】设出，直接法求出轨迹方程，注意去掉不合题意的点，从而判断轨迹为哪种曲线，判断ABC选项，D选项，结合，得到轨迹为去掉一个点的直线，故D错误. 【详解】设， A选项，，故，变形为，且， 故点的轨迹为除去A，B两点的椭圆，A正确； B选项，，故，变形为，且， 故点的轨迹为除去A，B两点的双曲线，B正确； C选项，，故，变形为，且， 故点的轨迹为除去A，B两点的抛物线，C错误； D选项，，即，变形为，且， 故点的轨迹为除去点的直线，D错误； 故选：AB 59．（2024·高二课时练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 60．（2024秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意作等价转换，结合抛物线第一定义可直接写出方程. 【详解】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为. 故答案为： 61．（2024秋·福建宁德·高三校考期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【答案】 【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可. 【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 故曲线的方程为. 故答案为： 62．（2024秋·河南南阳·高二统考期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简； 解法2：定义法求抛物线的方程. （2）轨迹法求点的轨迹方程. 【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为， 整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为 整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故 即为所求. 63．（2024·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设，依题意表示出，，即可得到动点的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】解：设，则，， 所以，即， 即动点的轨迹方程为，， 所以， 所以当时. 故答案为： 题型六 抛物线的实际应用 64．（2024·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 65．（2024·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系， 可设拱桥所在抛物线的方程为， 又抛物线过点，则，解得， 则抛物线的方程为，当时，， 故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米. 故选：D 66．（2024·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为． 设抛物线的标准方程为，则，解得． 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：C 67．（2024·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 68.（2024·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 【答案】3.8 【详解】由题意，如图建系： 则，，，， 如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得， 故抛物线方程为， 将代入抛物线方程，可得， . 故答案为：3.8. 69.（2024·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（    ） A．18米 B．21米 C．24米 D．27米 【答案】C 【详解】依题意知，抛物线，即， 因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以， 所以抛物线方程为， 令，则，解得， 所以校门位于地面宽度最大约为米. 故选：C. $$