精品解析：福建省厦门市第六中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

2022-2023学年福建省厦门六中七年级（下）期末数学试卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，解题关键是明确无限不循环小数是无理数，按照定义判断即可． 【详解】解：是无理数，，，是有理数， 故选：A． 2. 若一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系即可确定第三边的范围,进而可得答案． 【详解】解：设第三边为x，则3＜x＜9， 纵观各选项，符合条件的整数只有6． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件能得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、根据同旁内角互补，两直线平行即可证得，故选项不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，即可证得，故选项符合题意； C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，故选项不符合题意； D、根据内错角相等，两直线平行即可证得，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（　　） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 选出全校短跑最快的学生参加全市比赛 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C．选出全校短跑最快的学生参加全市比赛，适合全面调查，故本选项符合题意； D．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 如果，那么 B. 9的平方根是3 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，平方根等知识．根据平方根，平行线的性质，对顶角相等，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、a和b可能互为相反数，故A是假命题，不符合题意； B、9的平方根是，故B是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故C是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，故D是真命题，符合题意． 故选：D． 6. 如图，，，E在延长线上，且，则图中与不一定互余的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，根据平行线的性质，三角形内角和定理，结合余角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 但不一定等于， ∴和不一定互余，故A符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴与互余，故C不符合题意； B．∵， ∴， ∵ ∴， ∴和互余，故B不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴和互余，故D不符合题意． 故选：A． 7. 已知点，，下列结论错误的是（　　） A. 点P在第四象限 B. 点P到x轴的距离为2 C. D. 轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，以及象限的坐标特点，牢记象限内及坐标轴上的点的特点是关键．根据直角坐标系中各象限及坐标轴上点的坐标特点、点到坐标轴的距离分别进行判断，即可解题． 【详解】解：因为第四象限内的点，横坐标大于零，纵坐标小于零，且点P坐标为， 所以点P在第四象限，正确． 故A选项不符合题意． 因为点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值， 所以点P到x轴的距离为：，原结论错误． 故B选项符合题意． 由点P和点Q坐标可知， ，正确． 故C选项不符合题意． 因为P，Q两点横坐标相等， 所以轴，正确． 故D选项不符合题意． 故选：B． 8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载；今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，向：人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问：人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设合伙人数为人，物价为钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 依题意，得：． 故选：A． 9. 如果，，那么下列不等式不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变． 本题根据不等式的两条性质即可得出答案． 【详解】解：、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意； 、与，无法判断大小，故原题错误，符合题意． 故选：． 10. 关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组，得出，再根据求出的取值范围，可求出符合条件的的所有整数值． 【详解】解：解不等式得， 不等式组有且只有2个整数解， ， ， ， ， ， 整数为，，， 所有整数值的和为， 故选：B． 二．填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 计算： （1）_____； （2）________________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算即可； （2）根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式， 故答案为：2； （2）原式， 故答案为：． 12. 如图，点D在的边的延长线上，若，则_______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，互补关系；先由三角形内角和求出，再由互补关系即可求得结果． 【详解】解：， ． ． ． 故答案为：40． 13. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林：一段时间后，再从山林中随机捕捉80只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为__________只． 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意可知：重新捕获80只，其中带标记的有2只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有50只，根据比例即可解答． 【详解】根据题意得： （只）， 答：估计这片山林中雀鸟的数量约为2000只； 故答案为：2000． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，解题的关键是理解统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 14. 如图，是的中线，若的面积为4，则的面积为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线．根据是的中线，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线，的面积为4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 某款储物箱A的底面是面积为的正方形，在一间长，宽的长方形仓库中堆放这款储物箱A，要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下 _____个储物箱A． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用．根据题意可得正方形的边长为，设挨着仓库的长边可以放x个，挨着仓库短边可以放y个，由题意可得，再由 x、y均为整数可得到x最大是3，y最大是2，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 设挨着仓库的长边可以放x个，挨着仓库短边可以放y个，由题意得， ，， ∴，， ∵x、y均为整数， ∴x最大是3，y最大是2， ∴，即一层最多放下6个储物箱A， 故答案为：6． 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，其中，且点P不在直线上，则下列结论正确的是 _______． ①； ②的面积是6； ③若线段经过平移与线段重合，则； ④若，则； ⑤若，则． 【答案】①④ 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形，平移的性质，根据点的坐标及平移的性质依次判断即可 【详解】解：①∵， ∴轴， ∵， ∴点C在x轴上， ∵， ∴直线与x轴成夹角， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴点C在y轴左侧， ∵， ∴，点P到直线的距离为2， ∴，故②错误； ③∵线段经过平移与线段重合， ∴点A向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点P， 点C向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B， ∴，故③错误； ④如图所示：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴，故⑤错误， 综上分析，正确的结论有①④． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解二元一次方程方程组： （1）先利用绝对值性质、立方根的性质、算术平方根的性质化简各式，再进行加减计算，即可； （2）利用加减消元法解此方程即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 18. 已知不等式组：． （1）解不等式组； （2）写出不等式组的一个无理数解：___________． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）根据实数的大小比较方法求解即可． 【小问1详解】 ， 由①得：， 由②得：． 故不等式组的解集为； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式组的一个无理数解可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质证明角与角之间关系是解本题的关键． （1）根据，可得，再根据，即可得到，从而证得； （2）根据，可得，结合平分和即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A移动到点，点，分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）若点A的坐标为，点B的坐标为． ①请在图中建立平面直角坐标系，并写出点A′的坐标___________； ②若点P在x轴上，且的面积为4，则点P的坐标是___________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据坐标建立平面直角坐标系写坐标，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先作出点A、B、C的对应点，，，然后连接得到即可； （2）①根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可； ②利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：①平面直角坐标系如图所示，． 故答案为：； ②设．则有， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 21. 某中学举行了国家安全知识竞赛．现从七、八年级中随机各抽取n位学生的竞赛成绩进行整理（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分倍息． ①抽取的七年级学生成绩的频数分布表 等级 频数 频率 A 3 0.15 B 7 0.35 C a 0.4 D 2 0.1 （1）填空： ___________， ___________，补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，B等级所占的圆心角度数是___________°； （3）该校七八年级共有学生1600人，估计七八年级得到A等级的总人数是多少？ 【答案】（1）20，8，见解析 （2）36 （3）280人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布直方图，频数分布表，扇形统计图圆心角度数，样本估计总体，根据统计图获取正确信息是解答的关键． （1）利用A等级频数除以其频率即可得到抽取的学生人数，利用总人数减去其余等级人数，即可得到C等级频数，最后结合扇形统计图得到八年级C组人数，进而得到七八年级C组共有人数，以及七八年级B组共有人数，根据数据补全频数分布直方图即可解题； （2）利用乘以八年级学生成绩B组人数所占比，即可解题； （3）利用总人数乘以七八年级得到A等级的人数所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，， ， 故答案为：20，8； 八年级C组有：（人）， 七八年级C组共有：（人）， 七八年级B组共有：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：八年级学生成绩B组有：（人）， 扇形统计图中，B等级所占的圆心角度数是：， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：（人）， 估计七八年级得到A等级的总人数是280人． 22. 在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，且两次进价相同．第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费4000元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费4550元． （1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价； （2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，其中购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为55元、180元．记商店购入的纪念册为m件，商店获得的利润为w元． ①用含m的式子表示w； ②求商店获得利润w的最大值． 【答案】（1）每件纪念册的进价为40元，每件吉祥物的进价为150元 （2）①；②利润最高12495元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式，一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元，根据题意得，解方程组即可； （2）设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物件，利润为w元，①根据题意得：，②由题意得，，解得，故m的最小值为167，由，得当时，w有最大值，故（元）． 【小问1详解】 解：设每件纪念册的进价为x元，每件吉祥物的进价为y元， 根据题意得， 解得， 答：每件纪念册的进价为40元，每件吉祥物的进价为150元； 【小问2详解】 解：设商店购入纪念册m件，则购进吉祥物件，利润为w元， ①根据题意得： ②∵购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍， ∴， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为167， ∵， ∴当时，w有最大值， （元） ∴商店获得利润最高12495元． 23. 定义：若点满足，则称点P为关于x，y的二元一次方程的“坐标点”． （1）若点为方程的“坐标点”，则___________； （2）将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q，若点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”，求的值； （3）是否存在满足的实数r，s，t使得点与点都是方程的“坐标点”，并说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了多元一次方程组，理解材料中的定义，并进行计算是解题的关键． （1）把，代入方程中，进行计算即可解答； （2）求出把向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标为，，代入方程中，整理可得，然后将，代入得到，即可解答； （3）把点与点代入方程，整理得到，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点为方程的“坐标点”， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q， ∴Q的坐标为， ∵点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”， ∴， 整理②得：③， 把①代入③得：， ， ∴ ∴的值为； 【小问3详解】 解：不存在满足的实数r，s，t，使得点与点都是方程的“坐标点”，理由如下： 若点与点都是方程的“坐标点”， 则， 由①得， 由②得， 把，代入得：， 整理得：， ∵， ∴不存在r，使成立， ∴不存在满足的实数r，s，t，使得点与点都是方程的“坐标点”． 24. 中，，点D是线段上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在上，且，平分交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，的角平分线交于点M，交于点N．点D在运动的过程中，探究下列问题： ①的度数是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的度数； ②点P在线段上，使得，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）①的度数不变，； ②，理由如下：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，外角的性质等知识，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键． （1）先证，可得，由角平分线的定义可得，可得结论； （2）①由角平分线的定义可得，，由外角的性质可得，，即可求解； ②由角的数量关系可求，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①的度数不变，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②略 25. 在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． （2）点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 【答案】（1）；；； （2）． 【解析】 【分析】（1）线段平移得到线段，可得，，进一步得到的坐标和的面积．设点坐标，作垂线构造直角三角形，将大直角三角形的面积转化成两个小三角形面积相加，列出方程，再求点的坐标． （2）根据平移的性质，，，可得，，把，，，，的坐标用表示出来，轴，， ．利用不同象限内点的坐标特征求出的取值范围，就可得出面积的取值范围． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 如图，作 轴，连接，设点坐标为． ， ∴，，， 可得 ， 解得， ∴． 故答案为：；．． 【小问2详解】 根据题意得 解得：． ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为． ∵点，在轴正半轴上， ∴， ∵点是第四象限上的一个动点，垂直轴于点，点到直线的距离为． ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴点，的横坐标相同， ∴轴，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了图形平移的性质，面积法求坐标．解题的关键在利用平移的性质得出，，的转化关系，利用不同象限点的坐标特征求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年福建省厦门六中七年级（下）期末数学试卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 10 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件能得到的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（　　） A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 选出全校短跑最快的学生参加全市比赛 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 如果，那么 B. 9的平方根是3 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 6. 如图，，，E在延长线上，且，则图中与不一定互余的角是（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，，下列结论错误的是（　　） A. 点P在第四象限 B. 点P到x轴的距离为2 C. D. 轴 8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载；今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，向：人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问：人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果，，那么下列不等式不成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 计算： （1）_____； （2）________________． 12. 如图，点D在的边的延长线上，若，则_______°． 13. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林：一段时间后，再从山林中随机捕捉80只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为__________只． 14. 如图，是的中线，若的面积为4，则的面积为 _____． 15. 某款储物箱A的底面是面积为的正方形，在一间长，宽的长方形仓库中堆放这款储物箱A，要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下 _____个储物箱A． 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，其中，且点P不在直线上，则下列结论正确的是 _______． ①； ②的面积是6； ③若线段经过平移与线段重合，则； ④若，则； ⑤若，则． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 18. 已知不等式组：． （1）解不等式组； （2）写出不等式组的一个无理数解：___________． 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A移动到点，点，分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）若点A的坐标为，点B的坐标为． ①请在图中建立平面直角坐标系，并写出点A′的坐标___________； ②若点P在x轴上，且的面积为4，则点P的坐标是___________． 21. 某中学举行了国家安全知识竞赛．现从七、八年级中随机各抽取n位学生的竞赛成绩进行整理（成绩得分用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分倍息． ①抽取的七年级学生成绩的频数分布表 等级 频数 频率 A 3 0.15 B 7 0.35 C a 0.4 D 2 0.1 （1）填空： ___________， ___________，补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中，B等级所占的圆心角度数是___________°； （3）该校七八年级共有学生1600人，估计七八年级得到A等级的总人数是多少？ 22. 在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和某款吉祥物两种商品进行销售，且两次进价相同．第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共花费4000元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费4550元． （1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价； （2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共500件，其中购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍．若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为55元、180元．记商店购入的纪念册为m件，商店获得的利润为w元． ①用含m的式子表示w； ②求商店获得利润w的最大值． 23. 定义：若点满足，则称点P为关于x，y的二元一次方程的“坐标点”． （1）若点为方程的“坐标点”，则___________； （2）将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q，若点P与点Q都是关于x，y的二元一次方程的“坐标点”，求的值； （3）是否存在满足的实数r，s，t使得点与点都是方程的“坐标点”，并说明理由． 24. 中，，点D是线段上的动点（点D不与端点A、B重合），点E在上，且，平分交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，的角平分线交于点M，交于点N．点D在运动的过程中，探究下列问题： ①的度数是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的度数； ②点P在线段上，使得，试判断与的大小关系，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． （2）点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $