1.3 线段的垂直平分线课件-2023-2024学年北师大版 数学八年级下册

1.3 线段的垂直平分线 1 学习目标 1.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 3.已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形. 4.能用尺规过一点作已知直线的垂线. 如图， ∵AC=BC，MN⊥AB (已知) ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等） 垂直平分线的性质定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A B C M N P 旧知回顾 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）. A B C M N P 如果点P与点C重合，那么结论显然成立 4 A B 线段垂直平分线的尺规作法： 用直尺和圆规作已知线段AB的垂直平分线. 旧知回顾 5 1.分别以点A、B为圆心，以大于AB一半为半径，画弧，两弧相交于C、D两点. 2.过C、D两点作直线直线CD就是线段AB的垂直平分线. A B C D 线段垂直平分线的尺规作法： 用直尺和圆规作已知线段AB的垂直平分线. 6 想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A B C M N P 探究新知 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 证明思路: 1.PA=PB能判定△PAB为何种特殊形状； 2.等腰三角形 “三线合一”； 3.顶角顶点P一定在线段AB的垂直平分线上. A B C M N P 垂直平分线的判定定理 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图，∵PA=PB(已知)， ∴点P在AB的垂直平分线上 A B C M N P 典型例题 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. 直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. C A B O 你还有其他证明方法吗？ 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线，你发现了什么? 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 如何证明这个结论呢？ 证明思路：我们知道，两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 可应用垂直平分线的逆定理来证明. A B C P a b c 探究新知 例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交与一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 证明：连接AP，BP，CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB . 同理，PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上， ∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点. C A B P 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 如图，在△ABC中， ∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知) ∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC A B C P a b c 13 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 议一议 如果能，能作出几个?所作出的三角形都全等吗? （2）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 议一议 15 例3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. a h 已知：如图，线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. h a B C A D m 作法:（1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB，AC △ABC为所求的等腰三角形 做一做 已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. 大家思考一下，如何在刚刚学习的尺规作图的基础解决这个问题呢？ 本节课我们有哪些收获呢？ 1.垂直平分线的性质定理 三个定理 2.垂直平分线的判定定理 A B C P a b c 二个作图 A B C l D A B l m P 课堂小结 课后作业 1. 完成学案课后作业习题. 2. 拓展作业：归纳学习过的基本作图，总结作图方式方法，做成手抄报. $$