第九讲 点和直线与圆的位置关系 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

点和直线与圆的位置关系 【同步知识梳理】 ☆情境引入☆ (观察与思考)2024年7月27日，在巴黎奥运会射击混合团体10米气步枪金牌赛中，中国组合黄雨婷/盛李豪夺得冠军。这是本届奥运会诞生的首枚金牌，也是本届奥运会中国代表团获得的首枚金牌。我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ [来源:学_科_网] 合作交流 解读探究： 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗? 射击靶图上,有一组以靶心为圆心的大小不同的圆,他们把靶图由内到外分成几个区域,这些区域用由高到底的环数来表示,射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内,弹着点离靶心越近,它所在的区域就越靠内,对应的环数也就越高,射击的成绩越好 ☆探索新知☆ 【探究活动一】························· 问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 问题２：设⊙O半径为r，说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系？ 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？ 【教师释疑】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：[来源:学&科&网Z&X&X&K] 点P在圆内d<r 点P在圆上d=r 点P在圆外d>r 【探究活动二】························· 问题1: 如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？ 【教师释疑】 如图(a),直线L和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线 如图(b),直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点 如图(c),直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离 （a） （b） （c） 问题２：观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。 【教师释疑】 当d＞r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交；反之也成立。 总结： d＞r⇔直线与圆相离 d=r⇔直线与圆相切 d＜r⇔直线与圆相交 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 方法1.看公共点的个数（形） 2 1 0 方法2. 找圆心到直线距离d与半径r的关系（数） d＜r d=r d＞r 【精题精练精讲】 题型一:点和圆的位置关系 1．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（    ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：如图，由题意可知，的中点为点，连接， 是等边三角形， ， 是的中点，为的中点， ， ， 即为的半径， 点在上， 故选：A． 2．在平面直角坐标中，的半径为5，以下各点在内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、点到的距离为，则点在内，本选项符合题意； B、点到的距离为，则点在上，本选项不符合题意； C、点到的距离为，则点在外，本选项不符合题意； D、点到的距离为，则点在外，本选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 【答案】D 【详解】在中，，则， ∵， ∴． ∴． 圆C是以点C为圆心，2为半径的圆， ， 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D． 4．如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外(2)5 【详解】（1） 如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2） 在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 题型二:点和圆的位置关系中求取值范围 1．在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】给各个点标上字母，如图所示 由勾股定理得： AB=，，，， ∴时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内 故选C 2．矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、C、D三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解． 【详解】解：连接， 矩形， ，， 在中， ， 当点在上时，半径， 当点在上时，半径， 当点B、、三点有两个点在内，有一点在外需满足， 故答案为：． 3．如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点在内，点在上，点在外 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 4．在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是__________ 【答案】 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 5．如图，的两条直角边，，斜边上的高为．若以为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系．    【答案】当以为半径作圆时，点在这个圆的外部；当以为半径作圆时，点在这个圆上；当以为半径作圆时，点在这个圆的内部 【详解】解：∵的两条直角边，， ∴由勾股定理可得， ∵， ∴， 当以为半径作圆时，点在这个圆的外部； 当以为半径作圆时，点在这个圆上； 当以为半径作圆时，点在这个圆的内部． 题型三:直线和圆的位置关系 1．已知的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与的位置关系是___________ 【答案】相交 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵的半径是一元二次方程 的一个根， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴直线l与的位置关系是相交， 2．在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是_____________ 【答案】相交 【详解】解：，，， ， 如图，过点C作于点，设，则，    此时有，即， 解得：，此时， 半径为13，， 直线与的位置关系是相交， 3．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM＝5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是_______ 【答案】相离 【详解】解：作MH⊥OA于H，如图， 在Rt△OMH中，∵∠HOM＝30°， ∴MHOM， ∵⊙M的半径为2， ∴MH＞2， ∴⊙M与直线OA的位置关系是相离 4．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵，的半径为5， ∴点在上，选项A正确，不符合题意； ∵的半径分别为5、10，且， ∴与内切，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意； 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∵， ∴直线与相交，选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则的取值范围是 . 【答案】且 【详解】作PA⊥x轴，连结OP，如图， ∵点P的坐标为（1，2）， ∴OA=1，PA=2， ∴OP=， ∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞2且． 故答案为r＞2且． 6．中，是的中点，以点为圆心作，若与边有且仅有一个交点，则的半径应满足 ． 【答案】或 【详解】过点作的垂线，垂足为，过点作于点，连接， ， ， ∵是的中点, ， ，， ∵， ∴， ∴， ， 当，即 时，与边有且仅有一个交点， 当在圆内部，点在上或在外时，即 时, 与边也有且仅有一个交点， ∴当或 ，与边有且仅有一个交点， 故答案为：或 ． 7．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 题型四:平移中的相切问题 1．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是_________ 【答案】2cm或8cm 【详解】试题分析：连接OA，如图： ∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为____________ 【答案】1或5 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2， P的坐标为，所以平移的距离为， 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为____________ 【答案】或 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 4．如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 【答案】(2，1)或（0，-1） 【详解】∵⊙P的圆心在一次函数y=x-l的图象上运动， ∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1）， ∵⊙P的半径为1． ∴x-1=1或x-1=-1．     解得x=2或x=0．     ∴P点坐标为(2，1)或（0，-1）． 5．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（－3，0），点 B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切与点O ∴⊙P的半径为1 ∵点A（－3，0），点 B（0，） ∴OA=3， ∴ ∴∠BAO=30° 当⊙P在直线AB下方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PC 则PC⊥AB，且PC=1 ∴AP=2PC=2 ∴OP=OA−AP=3−2=1 ∴P点坐标为(−1，0) 即m=−1 当⊙P在直线AB上方与直线AB相切时，如图，设切点为C，连接PD 则PD⊥AB，且PD=1 ∴AP=2PD=2 ∴OP=OA+AP=3+2=5 ∴P点坐标为(−5，0) 即m=−5 ∴⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与直线AB相交时，m的取值范围为 故答案为： 题型五:圆和线段交点的个数问题 1．在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】∵ ∴， 分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．    由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， 即． ②如图2，当时，与只有一个公共点，    故答案为：或． 2．已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：； 故答案为：． 3．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△BCA中， ∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°， ∴AB=4， ∴， 根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC， ∴， 当圆与时AB相切时，r=， 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2， 综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2， 故答案为：r=或2＜r≤2． 4．在△中，，，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，那么半径的取值范围是 ． 【答案】3＜ r≤4或． 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如下图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 5.△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以点C为圆心,以R长为半径画圆。 （1）若☉C与AB没有交点,求R的范围. （2）若☉C与AB有一个交点,求R的范围. （3）若☉C与AB有两个交点,求R的范围. 答案：（1）0＜R＜或R＞8 （2）R=或 6＜R≤8 （3）＜R≤6 题型六:最值问题 1．的半径是3cm，P是内一点，，则点P到上各点的最小距离是 cm，最大距离是 cm. 【答案】 2 4 【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，平面上有一点P，PO=1cm， ∴点P在⊙O内， ∴点P到⊙O上各点的最小距离为3-1=2（cm）， 点P到⊙O上各点的最大距离为3+1=4（cm）． 故（1）答案：2． （2）答案：4 2．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是__________ 【答案】2.5或6.5 【详解】解：应分两种情况讨论： ①当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9， 则直径=最近点的距离+最远点的距离，即：直径=4+9=13，因而半径是6.5； ②当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5． 3．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 4．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB， ∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3， ∴AB的最小值为2OP=6． ∵点、点关于原点对称， ∴OA=OB=3， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 5．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值为（    ） A．5.5 B．10.5 C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则；令，则； ∴点A为（4，0），点B为（0，）， ∴； ∴OA=4，BC=， 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴5×CM=16， ∴CM=， ∴圆C上点到直线的最小距离是 ， ∴△PAB面积的最小值是 ； 故选：A． 【能力拓展训练】 1．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 2．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【课后知识应用】 1．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 ． 【答案】外 比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得 【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， ∵，， ∴d>r， ∴点p在⊙O外． 故答案为：外． 2．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 【答案】C 【详解】解：如图，     四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 点在圆内，点在圆外． 故选：． 3．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则的取值范围为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：B． 4．圆的半径是7cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【详解】解：∵圆的半径为7cm，圆心到直线的距离为6.5cm， ∴圆心到直线的距离＜圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：C． 5．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 6．如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是______ 【答案】相交 【详解】∵在平行四边形ABCD中，，， ∴点C到AD的距离d=， ∴直线与圆C相交， 7．已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ． 【答案】3或2 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 8．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴或． 故答案为或． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 10．如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 【答案】3或5 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==5（秒）． 故答案为3或5． 11．如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 【答案】（1）在圆上，点在圆外，点在圆内  （2） 【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M， ， ， ∵以点C为圆心，4为半径作⊙C， ∴AC=4，则A在圆上， ∵， 则M在圆内， BC=5＞4，则B在圆外； （2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，； 当至少有一点在外时，， 故的半径的取值范围为：． 12．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为 　　时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）如图作于． 在中，，，， ， ， ， 当半径时，直线与相切． 故答案为：． （2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或； （3）观察图形可知，当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 13．如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？ 【答案】当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交 【详解】解：作于点D，如图所示：    ∵，， ∴， .∵， ∴， 若与直线相离，则有，即，解得，∴； 若与直线相切，则有，即，解得； 若与直线相交，则有，即，解得，∴； 综上可知：当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交． 14．如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 点和直线与圆的位置关系 【同步知识梳理】 ☆情境引入☆ (观察与思考)2024年7月27日，在巴黎奥运会射击混合团体10米气步枪金牌赛中，中国组合黄雨婷/盛李豪夺得冠军。这是本届奥运会诞生的首枚金牌，也是本届奥运会中国代表团获得的首枚金牌。我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ [来源:学_科_网] 合作交流 解读探究： 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗? 射击靶图上,有一组以靶心为圆心的大小不同的圆,他们把靶图由内到外分成几个区域,这些区域用由高到底的环数来表示,射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内,弹着点离靶心越近,它所在的区域就越靠内,对应的环数也就越高,射击的成绩越好 ☆探索新知☆ 【探究活动一】························· 问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 问题２：设⊙O半径为r，说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系？ 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？ 【教师释疑】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：[来源:学&科&网Z&X&X&K] 点P在圆内d<r 点P在圆上d=r 点P在圆外d>r 【探究活动二】························· 问题1: 如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？ 【教师释疑】 如图(a),直线L和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线 如图(b),直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点 如图(c),直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离 （a） （b） （c） 问题２：观察圆心到直线的距离d与圆半径r之间的大小关系。 【教师释疑】 当d＞r时，直线在圆的外部，与圆没有交点，因此此时直线与圆相离；当d=r时，直线与圆只有一个交点，此时直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆有两个交点，此时直线与圆相交；反之也成立。 总结： d＞r⇔直线与圆相离 d=r⇔直线与圆相切 d＜r⇔直线与圆相交 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 方法1.看公共点的个数（形） 2 1 0 方法2. 找圆心到直线距离d与半径r的关系（数） d＜r d=r d＞r 【精题精练精讲】 题型一:点和圆的位置关系 1．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（    ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定 2．在平面直角坐标中，的半径为5，以下各点在内的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 4．如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 题型二:点和圆的位置关系中求取值范围 1．在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有4个点在圆内，则r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、C、D三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 3．如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 4．在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是__________ 5．如图，的两条直角边，，斜边上的高为．若以为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系．    题型三:直线和圆的位置关系 1．已知的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与的位置关系是___________ 2．在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是_____________ 3．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM＝5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是_______ 4．在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 5．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则的取值范围是 . 6．中，是的中点，以点为圆心作，若与边有且仅有一个交点，则的半径应满足 ． 7．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 题型四:平移中的相切问题 1．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是_________ 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为____________ 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为____________ 4．如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 5．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（－3，0），点 B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ． 题型五:圆和线段交点的个数问题 1．在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 2．已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 3．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为 ． 4．在△中，，，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，那么半径的取值范围是 ． 5.△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以点C为圆心,以R长为半径画圆。 （1）若☉C与AB没有交点,求R的范围. （2）若☉C与AB有一个交点,求R的范围. （3）若☉C与AB有两个交点,求R的范围. 题型六:最值问题 1．的半径是3cm，P是内一点，，则点P到上各点的最小距离是 cm，最大距离是 cm. 2．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是__________ 3．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 4．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为 ． 5．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值为（    ） A．5.5 B．10.5 C．8 D．12 【能力拓展训练】 1．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 2．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【课后知识应用】 1．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 ． 2．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 3．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则的取值范围为（　　）    A． B． C． D． 4．圆的半径是7cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 5．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 6．如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是______ 7．已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ． 8．以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 10．如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 11．如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 12．已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为 　　时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________． 13．如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？ 14．如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$