2.2.1 第2课时 直线的方向向量、法向量-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 第二课时　直线的方向向量、法向量 第二章　平面解析几何 [学习目标]　1.理解直线的方向向量、法向量的概念．　2.会求直线的方向向量和法向量．　3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用. 知识点1　直线的方向向量 内容索引 知识点2　直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系 课时作业 巩固提升 知识点3　直线的法向量 课堂达标·素养提升 * 知识点1　直线的方向向量 定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l__________________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)a＝________表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量． b＝________表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量． c＝(1，1)表示所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量． 平行或重合 (1，0) (0，1) 共线 C 例1 平面内点A(－1，－5)，B(2，1)，C(4，5)，证明：A，B，C三点共线． 例2 思维提升 D 跟踪训练 2．直线l过点(－1，－2)，(－1，2)且直线l的一个方向向量为a＝(m，n)，则mn＝ ． 依题意可知，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0. 0 知识点2　直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系 1．如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量． 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量． 2．如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，直线l的斜率__________，倾斜角为90°； 不存在 例3 例4 思维提升 直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系 如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量． 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．　 3．经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 D 跟踪训练 4．直线l的倾斜角θ为150°，则该直线的斜率为 ，一个方向向量 为 ． 知识点3　直线的法向量 定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l________，则称向量v为直线l的一个法向量，记作________． (1)一条直线的方向向量与法向量__________________． (2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝____________为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝____________为直线l的方向向量． 垂直 v⊥l 互相垂直 (y0，－x0) (y0，－x0) (1)直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的一个法向量为(　　) A．(－1，4)　　　　 B．(2，5) C．(5，－2) D．(－1，－4) D 例5 30° 思维提升 直线的法向量的求法 若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．　 A 跟踪训练 6．直线l上两点A(－2，3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝ ． 7 〈课堂达标·素养提升〉 D 2．直线l1与l2的一个法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1＝k2 C．k1<k2 D．不确定 C 3．若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则直线l的斜率k＝ ． 直线l的一个法向量n＝(2，1)，则一个方向向量为(1，－2)，所以k＝－2. －2 120° 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．(开放题)已知直线l经过点A(－3，4)，B(2，4)，则直线l的一个方向向量和一个法向量可以分别是 ． (5，0)，(0，－5)(答案不唯一) 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．若A(x，－1)，B(1，3)，C(5，11)三点共线，求实数x的值，并求此直线的一个方向向量． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为 ． 0或2 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．直线l的一个法向量为n＝(cos θ，1)，θ∈R，则直线l的倾斜角α的取 值范围是 ． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13．已知点M，N的坐标分别为(3，1)，(1，3). (1)求直线MN的一个法向量； 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若直线l过原点，当l与线段MN相交时，求l的斜率的取值范围． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14．已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点． 求证：点O，C，D在同一条直线上． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$