2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 第一课时　直线的倾斜角与斜率 第二章　平面解析几何 [学习目标]　1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．　2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系. 知识点1　直线的倾斜角 内容索引 知识点2　直线的斜率 课时作业 巩固提升 知识点3　倾斜角和斜率的应用 课堂达标·素养提升 * 知识点1　直线的倾斜角 定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的________按__________方向旋转到与直线重合时所转的____________记为θ，则称θ为这条直线的____________． (1)倾斜角θ的取值范围是0°～180°. (2)与x轴平行或重合(即与y轴垂直)的直线，倾斜角为________；与x轴垂直的直线，倾斜角为________． (3)每一条直线都有________的倾斜角． 交点 逆时针 最小正角 倾斜角 0° 90° 唯一 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ． [分析]　注意直线倾斜角定义中的三个条件：①直线向上的方向．②x轴正向．③大于等于零度小于平角的角． 60°或120° 例1 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 思维提升 直线倾斜角的概念和范围 1．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 2．注意倾斜角的范围． 1．(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　　　　　　　 B．α－135° C．135°－α D．α－45° AB 跟踪训练 根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 知识点2　直线的斜率 1．定义 一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝________为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率____________． tan θ 不存在 不存在 0 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率；若不存在，请说明理由．最后都需求出直线的倾斜角． ①C(－2，3)，D(2，－1)； ②P(－3，1)，Q(－3，10). [分析]　(1)应用直线斜率公式时要注意两点的横坐标不相等． 例2 (2)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率． [分析]　(2)当直线的斜率表达式中有参数时，注意分析斜率不存在的情况． 思维提升 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 2．若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于 (　　) A．2　　　　　　　 B．1 C．－1 D．－2 A 跟踪训练 3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B.若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) B 知识点3　倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. k>0 k<0 增大 增大 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 ______ 不存在 ______ k的增减性   随α的增大而____________   随α的增大而______________ 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； [分析]　先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围． 例3 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [分析]　先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围． [解]　(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 思维提升 倾斜角和斜率的应用 1．倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 2．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 特别注意：找到斜率不存在的直线． 4．已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝ ，直线AB 的倾斜角为 ． 3 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) AC 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． C 3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°， 又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 13 ABD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 13 (－2，1) 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为 ． 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，∴kl2≤k≤kl1. 又kl2＝0，kl1＝2，∴0≤k≤2. [0，2] 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)三点． (1)求直线AB和AC的斜率； 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动，求直线AD的斜率的变化范围． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 答案：D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$