2.1 坐标法-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 解析几何是高中数学的核心内容之一，基本思想是用代数方法研究几何问题．具体来说，主要学习直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线这五种曲线；解析几何也是高中数学中的难点，要学好解析几何，正确的学习方法是关键：(1)登高望远：要领会“用代数的方法研究几何问题”这个基本思想，解决问题的基本思路主要是通过建立平面直角坐标系，将几何问题代数化，进行代数运算，最后得出几何结论；(2)化繁为简：一方面要有代数意识，尤其是坐标意识，善于将几何问题转化为代数问题；另一方面也要高度重视几何图形，通过对图形的深入理解寻找出更好的解题方法，大大减少运算量；(3)重视运算，细节决定成败： 相对复杂的运算，是解析几何的一大难点，也考验解题者坚忍不拔的毅力．对于运算问题，不逃避，不怯场，讲究策略，勇于挑战．最后，对少部分常用的结论，不妨记下来，也是在解题时争取时间的一个方法． 解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程． 解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期． 解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展． $$ 第二章　平面解析几何 2．1　坐标法 [学习目标]　1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式． 2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题． 知识点1　数轴上的基本公式 内容索引 知识点2　平面上的基本公式 课时作业 巩固提升 知识点3　用坐标法证明几何问题 课堂达标·素养提升 * 知识点1　数轴上的基本公式 x1 A(x1) x2－x1 |x2－x1| 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. [解]　由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|， 则3(x＋1)＝x－3，① 或3(x＋1)＝－(x－3).② 解①得x＝－3；解②得x＝0. 所以点P的坐标为－3或0. 例1 思维提升 1．已知数轴上点A，B的坐标分别为－1，3，若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？ 跟踪训练 知识点2　平面上的基本公式 (x2－x1，y2－y1) 若A(－5，6)，B(a，－2)两点之间的距离为10，则a＝ ． 1或－11 例2 例3 思维提升 1．两点间的距离公式应用的两种形式 (1)在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可． (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状． 2．已知平行四边形三个顶点坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求平行四边形第四个顶点的坐标． 跟踪训练 知识点3　用坐标法证明几何问题 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为____________，然后通过____________等解决问题的方法称为坐标法． 代数问题 代数运算 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． 例4 思维提升 用坐标法解决平面几何问题的“三步骤” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．　 3．已知AO是△ABC中BC边上的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) A B C 4．已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7).则△ABC的形状是 ． 等腰直角三角形 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y等于 (　　) A．5　　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．－5 易知x＝－3，y＝－2，∴x＋y＝－5. 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．(多选)若点P与x轴及点A(－4，2)的距离都是10，则点P的坐标是 (　　) A．(－5，2) B．(2，10) C．(－10，10) D．(5，2) BC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 028 设C点的坐标为x，则－9－6＋x＋9＝2 022，解得x＝2 028. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1，2)，则|PQ|＝ ． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．已知A(1，2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？ 解：假设在x轴上能找到点P(x，0)，使∠APB为直角， 由勾股定理可得|AP|2＋|BP|2＝|AB|2， 即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25， 化简得x2－5x＝0， 解得x＝0或x＝5. 所以在x轴上存在点P(0，0)或P(5，0)，使∠APB为直角． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和． 解：(2)满足条件的所有点B到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是(　　) A．(4，－3) B．(1，4) C．(－4，－2) D．(－2，－2) 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C有 个． 若点C在x轴上， 设C(x，0)，由∠ACB＝90°， 得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， 即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2. 若点C在y轴上， 设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4， 综上，满足条件的点C有3个． 3 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①②④ 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以b2＋a2＝n2＋a2＋(n－b)(c－n). 即(b－n)(b＋n)＝(n－b)(c－n). 因为b－n≠0，所以b＋n＝n－c， 即b＝－c， 所以△ABC为等腰三角形． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14．(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|. (初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题： ①d(A，B)＝ ； ②若d(A，C)＝2，则x的值为 ； ③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则符合条件的x的取值有 个． 3 －3或1 4 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)①d(A，B)＝|－1－2|＝3. ②∵d(A，C)＝2， ∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2. ∴x＝－3或x＝1. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)， ∴|－1－x|＋|2－x|＝3， 当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1； 当－1<x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，符合条件的x的取值为0，1，2； 当x>2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去). 综上所述，符合条件的x的取值有4个． 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4，6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达点F后立刻返回，再回到点D时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位．设点P的运动时间为t秒． ①当t＝ 时，d(D，P)＝3； ②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P). 答案：②见解析 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2， 则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t， 则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|. 14 $$