5.2.2 导数的四则运算法则-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步导学案配套课件（人教A版2019）

5.2　导数的运算 5.2.2　导数的四则运算法则 第五章　一元函数的导数及其应用 学习单元3　导数的概念及其意义　导数的运算   [学习目标]　1.理解两个函数的和、差、积、商的求导法则.　2.能够综合运用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数. 知识点1　函数和与差的运算法则 内容索引 知识点2　函数积与商的运算法则 知识点3　导数四则运算法则的应用 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 3 知识点1　函数和与差的运算法则 已知f(x),g(x)为可导函数. 1.两个函数和或差的导数:[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　　　.  2.推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). f'(x)±g'(x) 求下列函数的导数: (1)y=x5-x3+cos x; [分析]　(1)(2)根据导数的运算法则公式求解即可; 例1 [解]　(1)y'=(x5)'-(x3)'+(cos x)'=5x4-3x2-sin x. (2)y=lg x-ex; [分析]　(1)(2)根据导数的运算法则公式求解即可; [解]　(2)y'=(lg x-ex)'=(lg x)'-(ex)'=-ex. (3)y=x+sin . [分析]　第(3)题要先化简三角函数. [解]　(3)先使用三角公式进行化简,得y=x+sin x, ∴y'=cos x. 两个函数和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),对于每一项分别利用导数的运算法则即可. 思维提升 1.求下列函数的导数: (1)y=x2+sin x; 解: (1)y'=2x+cos x. 跟踪训练 (2)y=3x-x3; 解: (2)y'=3xln 3-3x2. (3)y=+ln x; 解: (3)y'=(x>0). (4)y=ex-. 解: (4)y'=ex+(x≠0). 知识点2　函数积与商的运算法则 已知f(x),g(x)为可导函数. 1.[f(x)g(x)]'=　 ,  特别地,[cf(x)]'=　　　　　.  2.(g(x)≠0). f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　 cf'(x)  　求下列函数的导数: (1)y=x2+xln x; [分析]　(1)(2)(3)直接利用运算法则, 例2 [解]　(1)y'=(x2+xln x)'=(x2)'+(xln x)' =2x+x'ln x+x(ln x)' =2x+ln x+x· =2x+ln x+1. (2)y=; [分析]　(1)(2)(3)直接利用运算法则, [解]　(2)y'= ==. (3)y=; [分析]　(1)(2)(3)直接利用运算法则, [解]　(3)y'=. (4)y=(2x2-1)(3x+1); [分析] (4)可以直接利用运算法则,也可先化简再利用运算法则; [解]　(4)法一:y'=[(2x2-1)(3x+1)]'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. 法二:∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, ∴y'=(6x3+2x2-3x-1)'=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)'=18x2+4x-3. (5)y=xtan x. [分析] (5)先化简再运用运算法则. [解]　(5)y'=(x·tan x)'='= ==. 利用导数运算法则的策略 1.分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式. 2.如果求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. 3.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 思维提升 2.求下列函数的导数: (1)y=(log3x)sin x; 跟踪训练 解:(1)y'=+(log3x)cos x. (2)y=xtan x-2ln x; 解: (2)y'=tan x+x(tan x)'-. (3)y=(x-1)(x-2)(x-3); 解: (3)y=(x-1)(x-2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,y'=3x2-12x+11. (4)y=; 解: (4)y'=. (5)y=. 解: (5)y'= =. 知识点3　导数四则运算法则的应用 　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100).那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A.-40元/t　　　　　　　 B.-10元/t C.10元/t D.40元/t 例3 D (1)净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数, 因为c(x)=(80<x<100). 所以c'(x)=, 又因为c'(90)==40, 所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t. (2)曲线y=xln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是(　　) A. C.1 D.2 B (2)设曲线y=xln x在点(x0,y0)处的切线与直线x-y-2=0平行. ∵y'=ln x+1,∴y'=ln x0+1=1,解得x0=1, ∴y0=0,即切点坐标为(1,0). ∴切点(1,0)到直线x-y-2=0的距离为d=, 即曲线y=xln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是.   1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. 2.准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. 思维提升 3.已知函数f(x)=(x-2 022)(x-2 023)(x-2 024)(x-2 025),则f(x)的图象在x=2 024处的切线方程为(　　) A.2x+y-4 048=0 B.x+y-2 024=0 C.2x-y-4 048=0 D.x-y-2 024=0 跟踪训练 A 由题意知f'(x)=(x-2 022)(x-2 023)(x-2025)+(x-2 024)[(x-2 022)(x-2 023)(x-2 025)]', 所以f'(2 024)=2×1×(-1)=-2,又f(2 024)=0, 所以f(x)的图象在x=2 024处的切线方程为y-0=-2(x-2 024), 即2x+y-4 048=0. 4.一质点做垂直向上运动,该质点上升高度h(单位:m)与运动时间t(单位:s)的关系式为h=tet,当t=2 s时,该质点上升高度的瞬时变化率为　　　　　m/s.  3e2 由h=tet,求导得h'=(t+1)et,因此h'|t=2=3e2, 所以当t=2 s时,该质点上升高度的瞬时变化率为3e2 m/s. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设函数y=-2exsin x,则y'等于(　　) A.-2excos x　　　　　　　 B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) D y'=-2(exsin x+excos x) =-2ex(sin x+cos x). 2.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.(ex)'= B.(2x-log2x)'=(2x-x)ln 2 C. D. CD 对于A,(ex)'=ex,A错误; 对于B,(2x-log2x)'=2xln 2-,B错误; 由求导公式得C正确,由商的导数运算法则得D正确. 3.若函数 f(x)=sin x+2xf'(0),则 f'(0)=(　　) A.-3　　　　　　　　　 B.-1 C.1 D.3 B 因为f(x)=sin x+2xf'(0),所以f'(x)=cos x+2f'(0), 则f'(0)=cos 0+2f'(0)=1+2f'(0),所以f'(0)=-1. 4.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,则实数a的 值为　　　　　.  - 由f(x)=,得f'(x)=,则f'(1)=, 因为曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,所以,故a=-. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)下列导数运算正确的是(　　) A.'=0 B.(+x)'=+1 C. D.(x3-2x)'=3x2+2xln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 对于A选项:因为cos +1是常数,所以'=0,故A选项正确. 对于B选项:由于(+x)'=()'+(x)'=+1,故B选项错误. 对于C选项:由于'=(x)'-,故C选项正确. 对于D选项:由于(x3-2x)'=(x3)'-(2x)'=3x2-2xln 2,故D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数f(x)=exln x的导数是(　　) A.　　　　　　　　　　B.exln x C.exln x+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 f'(x)=(ex)'·ln x+ex·(ln x)'=exln x+. 3.已知气球的体积V(单位:cm3)与半径R(单位:cm)的关系为V=πR3, 则R=7 cm时体积V关于半径R的瞬时变化率为(　　) A.π cm2 B.196π cm2 C.98π cm2 D.16π cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由V=πR3,求导得V'=4πR2, 所以R=7时体积V关于半径R的瞬时变化率为V'=4π×72=196π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)当函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0时,那么x0可以是(　　) A.a B.0 C.-a D.a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 y'=,由-a2=0得x0=±a. 5.已知函数f(x)=2xf'(1)+xln x,则f'(1)=　　　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 14 函数f(x)=2xf'(1)+xln x,求导得f'(x)=2f'(1)+1+ln x, 当x=1时,f'(1)=2f'(1)+1,所以f'(1)=-1. 6.若直线y=x-1是曲线y=aln x-1的一条切线,则实数a=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 e 13 14 由题可知y'=(x>0),设y=aln x-1的切点为(x0,aln x0-1),则切线斜率为, 可得解得a=e. 7.某种动物的体温T(单位:℃)与太阳落山后经过的时间t(单位:min)满足函数关系T=+15. (1)当t=5时,求该动物体温的瞬时变化率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)对函数T=, T'=-1.2(℃/min), 故当t=5时,求该动物体温的瞬时变化率为-1.2 ℃/min. (2)在哪一时刻该动物体温的瞬时变化率是-2 ℃/min?(≈3.87,结果精确到0.1 min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)由T'=-=-2,可得(t+5)2=60,解得t=2-5≈2.7(min), 即当t=2.7 min时,该动物体温的瞬时变化率是-2 ℃/min. 8.令f(x)=x2+x-1,对抛物线y=f(x),持续实施下面牛顿切线法的步骤: 在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于(x1,0); 在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线交x轴于(x2,0); 在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线交x轴于(x3,0)…… 由此能得到一个数列,回答下列问题: (1)求x1的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)f(x)=x2+x-1,可得f'(x)=2x+1, 所以f'(1)=3,所以切线方程为y-1=3(x-1), 令y=0可得x=,即x1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设xn+1=g(xn),求g(xn)的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)因为f'(x)=2x+1,所以f(x)在(xn,f(xn))处的切线斜率为2xn+1, 所以切线方程为y-f(xn)=(2xn+1)(x-xn), 令y=0,得--xn+1=(2xn+1)(x-xn), 所以x=,即xn+1=, 所以g(xn)的解析式为g(xn)=. [B组　关键能力练] 9.(多选)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则(　　 ) A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3 C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 14 因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3. 因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1. 因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为27 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=f(t),其中=R(R为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,人就可以安全进入车库了.则(　　) A.R=- B.R= C.排气20分钟后,人可以安全进入车库 D.排气24分钟后,人可以安全进入车库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 14 由题意可设f(t)=abt(ab≠0), 则f'(t)=abtln b,此时=ln b=R为常数, 由=b4,则4ln b=ln=-ln 3,即ln b=-, ∴R=-,故A正确,B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 把b4=代入ab4=81,得a=243, 又b=,∴f(t)=243×, 由243×≤0.5,得t≥20+4log32.由于log32∈(0,1), 故排气24分钟后,人可以安全进入车库,则C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.若函数f(x)=x2-2x-aex的图象在点(0,f(0))处的切线平行于x轴,则a=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 13 14 由题意得f'(x)=x-2-aex, 由函数f(x)=x2-2x-aex的图象在点(0,f(0))处的切线平行于x轴, 可得f'(0)=-2-a=0,得a=-2. 12.如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则此函 数的解析式为　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y=x 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设所求函数解析式为y=ax3+bx2+cx+d,由题意知图象经过点(0,0),故d=0, 即y=ax3+bx2+cx, 又因为函数y=ax3+bx2+cx图象过点(-5,2)和(5,-2), 所以可得b=0,则125a+5c=-2,① 由于该函数图象在点(-5,2)的切线平行于x轴,且y'=3ax2+c, 则x=-5时,有75a+c=0,② 联立①②可得a=,c=-, 故该三次函数的解析式为y=x. 13 14 13.记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明:因为f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f'(x)=1,g'(x)=2x+2, 假设函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2存在“S点”, 即存在x0满足方程组无解, 所以函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”. (2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解:因为f(x)=ax2-1与g(x)=ln x,则f'(x)=2ax与g'(x)=, 设“S点”为x1,x1满足 所以a=. [C组　素养培优练] 14.(多选)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(　　) A.f(x)=sin x-cos x B.f(x)=ln x-4x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=xex 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x,f″(x)=-sin x+cos x=-, 当x∈时,-<0,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x不是凸函数; 对于B,f'(x)=-4,f″(x)=-<0,故f(x)=ln x-4x是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x2+2,对任意的x∈,f″(x)=-6x<0,故f(x)=-x3+2x-1是凸函数; 对于D,f'(x)=(x+1)ex,对任意的x∈,f″(x)=(x+2)ex>0,故f(x)=xex不是凸函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$