1.4.2 第2课时 夹角问题-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元3　空间向量的应用 1．4　空间向量的应用 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第二课时　夹角问题 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量方法解决两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角和二面角的问题．　2.体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点1　两条异面直线所成的角 内容索引 知识点2　直线与平面所成的角 课时作业 巩固提升 知识点3　两个平面所成夹角与二面角 课堂达标·素养提升 * 知识点1　两条异面直线所成的角 利用向量方法求两条异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为 θ，其方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝________． C 例1 思维提升 1．利用基向量法求异面直线的夹角的一般步骤 (1)找基底； (2)用同一个基底表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值； (4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角． 2．利用坐标法求两异面直线所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． C 跟踪训练 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A和B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值． 知识点2　直线与平面所成的角 例2 思维提升 利用向量方法求直线与平面所成角的步骤 3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1与AB的中点．求B1F与平面AEF所成角的正弦值． 跟踪训练 知识点3　两个平面所成夹角与二面角 90° 相等或互补 　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．   (1)证明：O1O⊥底面ABCD； [分析]　(1)利用线面垂直判定定理； 例3 (1)[证明]　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值． [分析] (2)利用(1)结论及菱形特点，建立适当坐标系，求出平面BDD1B1与平面OC1B1的法向量，代入公式求解． (2)[解]　因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． [变设问]　本例条件不变，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 思维提升 向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤 (1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量n1，n2； (3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 注意：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 B 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° A 3．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面   BDC1所成角的正弦值等于________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上， 且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点 (0，0，a)(a＞0).如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝AP，E为棱PB的中点．   (1)求直线PD与CE所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)求二面角E－AC－P的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②).在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． (1)求异面直线PD与BM所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：(1)∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD. 又∵∠BAD＝90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直． 以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 则由AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，可得A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4). 又∵M为PC的中点，∴M(1，1，2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明：如图，取AB的中点K，连接MK，NK. 由三棱柱ABC－A1B1C1可得四边形ABB1A1为平行四边形， 又B1M＝MA1，BK＝KA，则MK∥BB1. 又MK⊄平面CBB1C1，BB1⊂平面CBB1C1， 故MK∥平面CBB1C1. 由CN＝NA，BK＝KA，可得NK∥BC， 同理可得NK∥平面CBB1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为NK∩MK＝K，NK，MK⊂平面MKN， 故平面MKN∥平面CBB1C1， 又MN⊂平面MKN， 故MN∥平面CBB1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答， 按第一个解答计分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解：因为侧面CBB1C1为正方形，故CB⊥BB1. 因为CB⊂平面CBB1C1，平面CBB1C1⊥平面ABB1A1，平面CBB1C1∩平面ABB1A1＝BB1， 故CB⊥平面ABB1A1. 因为NK∥BC， 故NK⊥平面ABB1A1. 因为AB⊂平面ABB1A1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故NK⊥AB. 若选①，AB⊥MN， 又NK⊥AB，NK∩MN＝N， 故AB⊥平面MNK. 又MK⊂平面MNK， 故AB⊥MK， 所以AB⊥BB1，又CB⊥BB1，CB∩AB＝B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又KM⊂平面ABB1A1， 故NK⊥KM.又B1M＝BK＝1，NK＝1， 故B1M＝NK. 又B1B＝MK＝2，MB＝MN， 故△BB1M≌△MKN， 所以∠BB1M＝∠MKN＝90°， 故A1B1⊥BB1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$