1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元3　空间向量的应用 1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第三课时　空间中直线、平面的垂直 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　 2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的垂直关系. 知识点1　利用向量证明直线和直线垂直 内容索引 知识点2　利用向量证明直线和平面垂直 课时作业 巩固提升 知识点3　利用向量证明平面和平面垂直 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用向量证明直线和直线垂直 a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2垂直的充要条件是________． a⊥b 例1 　已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，求证：OA⊥BC. [分析]　本题考查线线垂直的向量证法．根据向量的数量积运算直接求解即可． 例2 　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．求证：无论点E在棱BC上的何处，都有PE⊥AF. [分析]　利用向量的方法证明直线与直线垂直，只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可． 思维提升 利用向量法证明两条直线垂直的方法 1．坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 2．基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 跟踪训练 1．在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：EG与直线PG和BC都垂直． 知识点2　利用向量证明直线和平面垂直 a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，直线l与平面α垂直的充要条件是________． a∥n 例3 思维提升 利用空间向量证明线面垂直的方法 1．坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标，然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． 2．法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3．基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，在平面内找出两个不共线的向量，也用基向量表示，然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证明得结论． 跟踪训练 2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 知识点3　利用向量证明平面和平面垂直 m，n是平面α，β的法向量，平面α与平面β垂直的充要条件是______． m⊥n 例4 　在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. [分析]　建立合适坐标系，可以证明平面BDE内的一个向量垂直于平面ABCD，或证明平面BDE与平面ABCD的法向量垂直． [变条件]　将本例中的条件“底面ABCD是正方形”改为“底面ABCD是菱形，且AS＝AB＝AC”，其他条件和结论不变． 思维提升 向量法证明面面垂直的两种思路 1．证明两个平面的法向量垂直． 2．根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 跟踪训练 3．如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE. 〈课堂达标·素养提升〉 B 2．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　 　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直 AC 3．若m＝(λ，2，3)和n＝(1，－3，1)分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ＝________． 3 ∵α⊥β， ∴m⊥n， ∴m·n＝λ－6＋3＝0， 解得λ＝3. 4．已知直线l的一个方向向量d＝(2，3，5)，平面α的一个法向量u＝ (－4，m，n).若l⊥α，则m＋n＝________． －16 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．已知两条直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－3，1)， b＝(－1，1，5)，则直线l1，l2的位置关系为(　　) A．平行　　　　　　　　　 B．垂直 C．相交 D．重合 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为a＝(2，－3，1)，b＝(－1，1，5)， 所以a·b＝－1×2＋1×(－3)＋1×5＝0， 所以a⊥b，即l1与l2垂直． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1).若α⊥β，则y＋z的值是(　　) A．－3 B．6 C．－6 D．－12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，α⊥β， ∴u·v＝－6＋y＋z＝0， ∴y＋z＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z).若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3， －2，1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________． 0或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2). (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$