1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元3　空间向量的应用 1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求一个平面的法向量．　2.理解空间直线、平面的向量表达式. 知识点1　空间中点和直线的向量表示 内容索引 知识点2　空间中平面的向量表示 课时作业 巩固提升 知识点3　平面法向量的求法 课堂达标·素养提升 3 知识点1　空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O为基点，那么对空间中任意一点P，向量________称为点P的位置向量． 2．直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_____________的非零向量，一条直线的方向向量有________个． 平行或共线 无数 a 例1 　(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线AB的一个方向向量为(0，0，1) C．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) D．直线B1D的一个方向向量为(1，1，1) [分析]　直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． AC 例2 A 思维提升 跟踪训练 D A 知识点2　空间中平面的向量表示 1．空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使________________________． 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 例3 B 思维提升 跟踪训练 －2 知识点3　平面法向量的求法 1．a是直线l的方向向量，若l⊥α，则称向量a是平面α的法向量． 2．若向量a是平面α的法向量，向量b，c分别是平面α内的两条相交直线m，n的方向向量，则a·b＝________，a·c＝________． 3．平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量；一个平面的法向量有无限多个，它们共线． 0 0 例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．   (1)求平面BCC1B1的法向量； [分析]　本题考查求平面的法向量，利用向量法进行求解即可． (1)写出各点坐标，设平面BCC1B1的法向量n＝(x，y，z)，利用空间向量求解即可； (2)求平面A1BC的法向量． [分析] (2)设平面A1BC的法向量m＝(a，b，c). 利用空间向量计算可得答案． 思维提升 平面法向量的求法 1．几何法，利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可． 2．代数法，即坐标法，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解． 其解题步骤如下： 跟踪训练 (2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 〈课堂达标·素养提升〉 A 2．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3，6)，则下列点在平面α内的是(　　) A．A(2，3，3) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) A 3．若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的两个方向向量分别是__________________，_______________________． (1，1，3) (2，2，6)(答案不唯一) 4．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的单位   法向量是____________________________________________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．在如图所示的坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1). 其中正确的个数为(　　) A．1个　　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，则棱AA1的长为________． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知平面α的一个法向量是n＝(1，1，－1)，且平面α经过点A(1，2，0).若点P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标一定满足的方程是__________________． x＋y－z－3＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2). (1)写出直线BC的一个方向向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(4，2，0)，C(2，4，0)， 则平面ABC的单位法向量为___________________________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)平面ADC的一个法向量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点， 求证：a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$