1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元2　空间向量基本定理　空间向量及其运算的坐标表示 1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.掌握空间向量运算的坐标表示．　2.掌握空间两向量平行、垂直条件的坐标表示，掌握空间向量的模和夹角的坐标计算公式．　3.掌握空间两点间的距离公式． 知识点1　空间向量运算的坐标表示 内容索引 知识点2　空间向量平行、垂直条件的坐标表示及应用 课时作业 巩固提升 知识点3　空间向量夹角、模的坐标计算公式及应用 课堂达标·素养提升 知识点4　向量概念的推广与应用 * 知识点1　空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，则： a＋b＝________________________， a－b＝________________________， λa＝________________， a·b＝________________． (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 　已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝______________． [分析]　由向量运算的坐标表示逐步运算即得答案． 　－4 例1 2a＋3b＝2(－1，2，1)＋3(2，0，1)＝(－2，4，2)＋(6，0，3)＝(4，4，5)， a－b＝(－1，2，1)－(2，0，1)＝(－3，2，0)， ∴(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－12＋8＝－4. 例2 思维提升 3．关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题：已知向量坐标，准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标问题：首先设出向量或点的坐标，然后通过已知条件建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 1．已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，则(a－2b)·b＝________． －19 a－2b＝(2，－3，1)－2(2，0，3)＝(2，－3，1)－(4，0，6)＝ (－2，－3，－5)， (a－2b)·b＝－2×2－3×0－5×3＝－19. 跟踪训练 (－1，3，3) 知识点2　空间向量平行、垂直条件的坐标表示及应用 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 例3 (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． [分析] (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 思维提升 1．判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 2．利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 3．已知向量a＝(3，－1，2)，b＝(x，y，－4)，且a∥b， 则x＋y＝(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．8 C．－4 D．－8 C 跟踪训练 D 知识点3　空间向量夹角、模的坐标计算公式及应用 　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； [分析]　(1)利用条件建立适当的空间直角坐 标系，写出点B，N的坐标，利用空间两点间 的距离公式求出BN的长． 例4 思维提升 5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； 跟踪训练 (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 知识点4　向量概念的推广与应用 1．平面向量(a1，a2)又称为二维向量，空间向量(a1，a2，a3)又称为三维向量．二维向量、三维向量统称为几何向量． 2．一般地，n元有序实数组_____________________称为n维向量．n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维向量空间，它的每一个元素可看成n维向量空间的一点． (a1，a2，…，an) 3．对于n维向量，可定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)、两点间的“距离”等： (1)设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，λ∈R，则a±b＝__________________________； λa＝__________________________； a·b＝________________________； |a|＝ ________________． (a1±b1，a2±b2，…，an±bn) (λa1，λa2，…，λan) a1b1＋a2b2＋…＋anbn (2)在n维向量空间中，A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离” dAB＝______________________________． 　某商品三年内的月销售量如表所示： 问这种商品的销售量是否随季节变化出现规律性变化． 销售量(千件) 1月 2月 3月 4月 5月 6月 第一年 1.0 1.2 0.8 0.9 0.8 0.8 第二年 1.2 1.1 0.9 0.8 0.7 0.8 第三年 1.2 1.0 1.0 0.8 0.8 0.7   销售量(千件) 7月 8月 9月 10月 11月 12月 第一年 0.7 0.7 0.8 1.0 0.9 1.0 第二年 0.7 0.9 0.9 1.1 1.0 1.1 第三年 0.6 0.7 0.8 1.0 1.0 1.0 例5 思维提升 在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表示，并可用向量理论来研究这些量的性质． 6．某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，请用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．若a＝(2，0，1)，b＝(－3，1，－1)，c＝(1，1，0)，则a＋2b－3c＝(　　) A．(－1，－2，0)　　　　　　　 B．(－7，－1，0) C．(－7，－1，1) D．(－7，－1，－1) D a＋2b－3c＝(2，0，1)＋2·(－3，1，－1)－3·(1，1，0)＝(－7，－1， －1). 2．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b，a⊥c B．a∥b，a⊥c C．a⊥b，a∥c D．a∥b，a∥c C ∵a·b＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b. ∵c＝(－4，－6，2)＝2a，∴a∥c. 3．已知a＝(4，1，2)，b＝(2，－1，3)，则(a－b)·(a＋2b)＝________． 6 由a＝(4，1，2)，b＝(2，－1，3)，得 a－b＝(4－2，1＋1，2－3)＝(2，2，－1)，2b＝(4，－2，6)， a＋2b＝(4＋4，1－2，2＋6)＝(8，－1，8). ∴(a－b)·(a＋2b)＝2×8＋2×(－1)＋(－1)×8＝6. 3 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组　必备知识练] 1．已知向量a＝(1，－2，3)，b＝(2，－1，－4)，则a·b＝(　　) A．－8　　　　　　　　　 B．－7 C．－6 D．－5 a·b＝1×2＋(－2)×(－1)＋3×(－4)＝2＋2－12＝－8. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设点C的坐标为(x，y，z)，由题意可得 (x，y，z)＝(3α－β，α＋3β，0)， 再由α＋β＝1可得，x＋2y－5＝0， 故点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0，即点C的轨迹为直线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).若a∥b，则λ＝________，m＝________． 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值   为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7．已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5). (1)求△ABC的面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求△ABC中AB边上的高． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知向量a＝(3，0，4)，b＝(－3，2，5)，则向量b在向量a上的   投影向量c的坐标是________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点(不包括端点)，且满足EN⊥FM，求线段MN的长度的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$