1.3.1 空间直角坐标系-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元2　空间向量基本定理　空间向量及其运算的坐标表示 1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系．　2.能建立适当的空间直角坐标系，并求出所给定点、向量的坐标． 知识点1　空间直角坐标系 内容索引 知识点2　空间中点的坐标 课时作业 巩固提升 知识点3　空间点的射影与对称问题 课堂达标·素养提升 * 知识点1　空间直角坐标系 1.在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图).以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做________．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做________，i，j，k都叫做________，通过每两条坐标轴的平面叫做________，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝____________，∠yOz＝90°. 坐标轴 原点 坐标向量 坐标平面 135°(或45°) 2．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为__________________． 右手直角坐标系 　在空间直角坐标系Oxyz中． ①x轴垂直于坐标平面Oyz； ②坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz. 其中正确命题的序号是________． [分析]　x，y，z轴两两垂直，借助线面垂直判定定理可得结论． ①② 例1 由空间直角坐标系概念知x轴、y轴、z轴两两垂直，∴x轴垂直于坐标平面Oyz，∴坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz. 思维提升 1．空间直角坐标系的三条坐标轴、三个坐标平面分别两两垂直． 2．在实际应用中，若无特别要求，不一定建立右手直角坐标系． 1．在空间直角坐标系Oxyz中． (1)坐标平面Oxy与坐标平面Oyz的交线是________，它与坐标平面Ozx的位置关系是________； y轴　 垂直　 (1)三个坐标平面两两垂直，任两个坐标平面的交线(坐标轴)垂直于第三个坐标平面． 跟踪训练 (2)三个坐标平面把空间分成________个部分． 八 (2)三个坐标平面把空间分成八个部分． 知识点2　空间中点的坐标 (x，y，z)　 (x，y，z)　 x　 y z 例2 思维提升 1．建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． 2．求点M坐标的代数方法 3．求点M的坐标的几何方法 作MM′垂直平面Oxy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z). 跟踪训练 知识点3　空间点的射影与对称问题 1．点P(x，y，z)在坐标轴、坐标平面上的射影的坐标   x轴 y轴 z轴 坐标平面Oxy 坐标平面Oyz 坐标平面Ozx 射影点 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 2.点P(x，y，z)关于原点、坐标轴、坐标平面的对称点的坐标   原点 x轴 y轴 z轴 坐标平面Oxy 坐标平面Oyz 坐标平面Ozx 对称点 (－x， －y，－z) (x， －y， －z) (－x，y， －z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) 例3 思维提升 1．点P，P′关于平面α对称⇔平面α垂直平分线段PP′. 2．点P(x，y，z)在坐标轴、坐标平面上的射影的坐标的记忆口诀：在谁上谁不变，其余变为0. 3．点P(x，y，z)关于原点、坐标轴、坐标平面的对称点的坐标的记忆口诀：关于谁谁不变，其余变相反． 3．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_________________． (2，－3，1) 跟踪训练 点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 4．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标为____________________；点P关于Oxy平面的对称点的坐标____________________；点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标为__________________________． (－2，－1，－4)　 (－2，1，－4)　 (6，－3，－12) 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4). 由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4). 设对称点为P1(x，y，z)，则点M为线段PP1的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P1(6，－3，－12). 〈课堂达标·素养提升〉 1．在空间直角坐标系中，点(1，2，3)与点(－1，2，3)(　　) A．关于Oxy平面对称 B．关于Ozx平面对称 C．关于Oyz平面对称 D．关于x轴对称 C 空间中的两个点(1，2，3)和(－1，2，3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于Oyz平面对称． 2．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3，2，1)，M点的坐标为(4，3，1)，则B点的坐标为____________________． (5，4，1) 3．在如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2， PA＝4，则PD的中点M的坐标为__________________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则点B1的坐标是(　　) A．(3，2，1)　　　　　　　 B．(1，2，3) C．(2，3，1) D．(3，1，2) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是(　　) A．z轴 B．与平面Oxy平行的一条直线 C．平面Oxy D．与平面Oxy垂直的一条直线 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在空间直角坐标系中画出动点(2，2，z)表示的图形如图所示，   故点(2，2，z)表示的图形为与平面Oxy垂直的一条直线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．(多选)在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，则下列说法不正确的是(　 　) A．点P关于x轴的对称点坐标是(x，－y，z) B．点P关于Oyz平面的对称点坐标是(x，－y，－z) C．点P关于y轴的对称点坐标是(x，－y，z) D．点P关于原点的对称点坐标是(－x，－y，－z) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于选项A，点P(x，y，z)关于x轴的对称点坐标是(x，－y，－z)，所以A不正确； 对于选项B，点P(x，y，z)关于Oyz平面的对称点坐标是(－x，y，z)，所以B不正确； 对于选项C，点P关于y轴的对称点坐标是(－x，y，－z)，所以C不正确； 对于选项D，点P关于原点的对称点坐标是(－x，－y，－z)，所以D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为_______________________． (－1，－2，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2，1)， 所以点M关于y轴的对称点 的坐标为(－1，－2，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是   ____________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(1)显然D(0，0，0). 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3，0，0).同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面Oxy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0).同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求点N的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．在空间直角坐标系Oxyz中． (1)求点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P1的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)类比平面直角坐标系中两点关于一点中心对称的坐标关系．写出点P(x，y，z)关于点M(a，b，c)对称的点P2的坐标，并证明结论的正确性． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，则点A1，B1，C1，D1的坐标依次为______________，______________，_________________，____________________． (－2，－3，1)　 (－2，3，1) (2，3，1)　 (2，－3，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意，得点B与点A关于Ozx平面对称， 故点B的坐标为(－2，3，－1)； 点D与点A关于Oyz平面对称， 故点D的坐标为(2，－3，－1)； 点C与点A关于z轴对称， 故点C的坐标为(2，3，－1)； 由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于Oxy平面对称， 故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，若PA＝3，AB＝2，AC＝2，建立空间直角坐标系．   (1)求各顶点的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：(1)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，则射线AB，AC，AP两两垂直， 以点A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，   所以A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，2，0)，P(0，0，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$