1.2.2 空间向量基本定理的应用-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元2　空间向量基本定理　空间向量及其运算的坐标表示 1．2　空间向量基本定理 第二课时　空间向量基本定理的应用 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　应用空间向量基本定理解决简单的空间几何体中的平行、垂直、夹角和距离等问题． 知识点1　利用空间向量基本定理证明平行、垂直 内容索引 知识点2　利用空间向量基本定理求夹角、距离 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用空间向量基本定理证明平行、垂直 1．利用向量方法证明线线平行，要把涉及的两条直线所在的方向向量用________表示出来，再进行证明． 2．利用向量方法证明线线垂直，要把涉及的两条直线所在的方向向量用________表示出来，再进行证明． 基向量 基向量 例1 　 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，BC的中点．求证： (1)DE∥平面ACC1A1； (2)AE⊥平面BCC1B1. 思维提升 1．应用空间向量基本定理证明空间的线线垂直、线线平行的基本思路： 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0. (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线． 2．证明线面平行问题可以转化为证明线线平行问题；证明线面垂直问题可以转化为证明线线垂直问题． 跟踪训练 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 知识点2　利用空间向量基本定理求夹角、距离 例2 思维提升 1．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 跟踪训练 B 〈课堂达标·素养提升〉 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合　　　　　　　　 B．垂直 C．平行 D．无法确定 B 2．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C (1)(2)(3) 4．在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，线 段EF的长度为________． 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [B组　关键能力练] 8．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线   DM与CN所成角的余弦值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)求证：EG⊥AB； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [C组　素养培优练] 10．在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点． (1)求证：DE∥平面ACF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求证：BD⊥AE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$