1.2.1 空间向量基本定理-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元2　空间向量基本定理　空间向量及其运算的坐标表示 1．2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间向量基本定理及其意义．　2.掌握空间向量的分解． 知识点1　空间向量基本定理及有关概念 内容索引 知识点2　给定基底分解空间向量 课时作业 巩固提升 知识点3　选择基底分解空间向量 课堂达标·素养提升 * 知识点1　空间向量基本定理及有关概念 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在________有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________． 2．基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做________． 空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底． 唯一的　 xa＋yb＋zc {a，b，c}　 基向量 不共面 例1 ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底； ⑤若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底． 其中正确说法的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [分析]　根据定理及概念判断． D ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量c与a，b共面，则{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数x，y，使得a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则a，b，c共面．由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能构成空间的一个基底，故正确． 思维提升 判断基底的基本思路及方法 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． 2．方法： (1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； (2)假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 跟踪训练 知识点2　给定基底分解空间向量 1．空间向量的分解 由空间向量基本定理可知，若给定空间的一个基底{a，b，c}，对空间中任意的向量p，存在唯一确定的实数组(x，y，z)，使p＝____________，这叫做空间向量的分解． xa＋yb＋zc 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为________，那么这个基底叫做________________，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行________． 两两垂直 1　 单位正交基底 两两垂直 正交分解 例2 思维提升 1．用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． 2．利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 跟踪训练 知识点3　选择基底分解空间向量 在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底．在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选取从________出发的三条棱所对应的向量作为基底． 　同一顶点 例3 思维提升 在空间几何体中选择基底的原则 1．尽量使所选的基向量能方便表示其他向量． 2．基向量的模及其夹角已知或易求． 3．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a　　　　　　　　　　 B．b C．a＋2b D．a＋2c D C 3．对于不共线的两个向量a，b，如果xa＋yb＝0，则x＝________，y＝________；对于不共面的三个向量a，b，c，如果xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________． 0 0 0 0 0 ∵a，b不共线，∴若xa＋yb＝0，则x＝0，y＝0. ∵a，b，c不共面，∴若xa＋yb＋zc＝0，则x＝y＝z＝0. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组　必备知识练] 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成基底的是(　　) A．b－c，b＋c，a B．b＋c，b－2c，3c C．b＋c，2a，a＋b＋c D．b＋c，b－c，2b 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1143 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1143 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1143 $$