1.1.2 空间向量的数量积运算-【优化探究】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

学习单元1　空间向量及其运算 1．1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 第一章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间向量夹角的概念．　2.掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.应用空间向量数量积解决简单空间几何体中的垂直、夹角和距离问题． 知识点1　空间向量的夹角 内容索引 知识点2　空间向量的数量积 课时作业 巩固提升 知识点3　利用空间向量数量积求距离和夹角 课堂达标·素养提升 知识点4　利用空间向量的数量积证明垂直 * 知识点1　空间向量的夹角 非零向量　 ∠AOB　 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π ⊥ 特别地，当______________时，向量a，b同向共线； 当______________时，向量a，b反向共线． 〈a，b〉＝0　 〈a，b〉＝π (1)对于空间内任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [分析]　利用空间向量夹角的定义及几何体特征求解． B　 例1 C 思维提升 1．由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π. 2．对空间内任意两个非零向量a，b： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉；(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 0°　 90° 跟踪训练 知识点2　空间向量的数量积 1．定义及运算性质 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 2.投影向量 如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c，c＝________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). 垂线 3．数量积的运算律 (λa)·b＝________，λ∈R； a·b＝________(交换律)； (a＋b)·c＝________________(分配律). λ(a·b)　 b·a　 a·c＋b·c 例2 思维提升 B 跟踪训练 ①③ (1)①正确；②错误；③正确． 2 知识点3　利用空间向量数量积求距离和夹角 例3 思维提升 C 跟踪训练 5．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，求CD的长． 知识点4　利用空间向量的数量积证明垂直 利用关系____________⇔a⊥b(a，b为非零向量)可以证明空间两直线的垂直． a·b＝0 例4 思维提升 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 1．证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直． 2．证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明． 6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：   (1)CD⊥AE； 跟踪训练 (2)PD⊥平面ABE. 〈课堂达标·素养提升〉 D a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，且a，b不共线，故D不正确． A ⊥ 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的空间单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋3p·q－2q·p－2q2＝3＋0－0－2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6．如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________． 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$