17.2 直角三角形课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

2024年秋季 数学 冀教版 八年级上册 第十七章 特殊三角形 17.2 直角三角形 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.探索并掌握直角三角形的性质定理及判定定理. 2.理解并探究含30°角的直角三角形的性质并加以应用. 理解并掌握直角三角形的性质定理及判定定理. 理解并探究含30°角的直角三角形的性质. 问题导入 直角三角形是又一类特殊的三角形，它也应该有特殊的性质.直角三角形都有哪些性质呢？ 新知引入 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 定义 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 由三角形内角和定理，容易得到： 直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是，有： 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 思考： 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC， ∠C=90°，如图(1)所示；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）所示；将纸展开，如图(3)所示. （1）∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？ （2）由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢？从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流． 知识点２直角三角形的性质定理 我们发现，CE＝AE＝EB，即CE是AB的中线，且CE=AB． 已知：如图，在Rｔ△ABC中，∠ACB＝９０°，CD为斜边AB上的中线． 求证：CD＝AB． 证明：如图，过点D，作DE//BC，交AC于点E；作DF//AC，交BC于点F. 在△AED和△DFB中， ∵∠A=∠FDB（两直线平行，同位角相等）， AD＝DB（中线的概念）， ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴△AED≌△DFB（ASA）． ∴AE＝DF，ED=FB.（全等三角形的对应边相等） E F 同理可证，△CDE≌△DCF． 从而，ED=FC，EC=FD. ∴AE=EC，CF=FB.（等量代换） 又∵DE⟂AC，DF⟂BC，（两直线平行，同位角相等） ∴DE为AC的垂直平分线，DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD（线段垂直平分线的性质定理）． ∴CD＝　AB． 直角三角形的性质定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 证明：在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°, ∴∠B =60°． 延长 BC 到 D，使CD = BC，连接 AD， 则 △ACD ≌ △ACB (SAS). ∴ AD = AB, ∠BAC =∠DAC = 30°, ∠BAD = 60°. ∴△ABD 是等边三角形． ∴BD=AB. 又∵ BC = BD, ∴ BC = AB． 证明：在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半． 做一做 A B C D 随堂练习 1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是（　　）． A.75° B.65° C.55° D.45° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=70°，则∠A的度数为(　　) A.80° B.70° C.60° D.50° C A ３.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则 AC =_____ ． ４.如图，在Rｔ△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝２0°，则∠BCD的度数是（　　）． Ａ．４０°　　　B．５０° C．６０°　　　D．７０° ６ D ５.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.18 C.14 D.13 C 1.如图，AC⊥BD，∠1=∠2，∠D=40°，则∠BAD的度数是 (　 　) A.85° B.90° C.95° D.100° C 拓展提升 2.如图，在△ ADC 中，AD=CD， 且AB ∥ DC， CB ⊥ AB 于B，CE ⊥ AD 交AD 的延长线于E，连接BE． (1)求证：CE=CB； (2)若∠CAE=30°，CE=2， 求AC 的长度． (1) 证明：∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA. ∵ AB ∥ CD， ∴∠ DCA= ∠ CAB， ∴∠ DAC= ∠ CAB. 又∵ CE ⊥ AD，CB ⊥ AB， ∴∠ AEC= ∠ ABC=90° . 又∵ AC=AC， ∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB． (2) 解：∵ CE ⊥ AE， ∴∠ AEC=90° . 在 Rt △ AEC 中， ∵∠ CAE=30°， ∴ AC=2CE=4. 归纳小结 直角三角形的判定定理 直角三角形的性质定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. １.直角三角形的两个锐角互余. ２.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ３.在直角三角形中，３０°的角所对的直角边等于斜边的一半． 谢谢！同学们再见！ $$