17.2 直角三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

17.2 直角三角形 数学（冀教版） 八年级 上册 第十七章 特殊三角形 学习目标 1.进一步认识直角三角形；会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握直角三角形两个锐角互余的性质；会用”两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形. 3.探究含30°角的直角三角形的性质，并会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算. 讲授新课 知识点一 直角三角形的相关性质 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 直角三角形表示： Rt△ 直角边 A B C 斜边 直角边 直角三角形ABC表示为Rt△ABC,∠ACB为Rt∠. 直角三角形的定义 讲授新课 直角三角形的性质一 直角三角形的两个锐角互余. A B C ∵∠ACB=90°( ) ∴∠A+∠B=90° 几何语言: 在△ABC中 ( ) 直角三角形的两个锐角互余 已知 讲授新课 1.△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B= . 2.直角三角形两个锐角之差是10°，则较大的锐角是____度. 3.直角三角形的两个锐角的平分线所构成的角是 度. 60° 50° 45°或135° 4.一个三角形的三个内角之比是1：2：3 ,则这个三角形是 ______三角形. 直角 讲授新课 【例1】如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高. （1）图中有几个直角三角形？ Rt△ABC、 Rt△ACD、Rt△BCD （2）图中有几对互余的角? ∠A与∠B、 ∠A与∠1、 ∠1与∠2、 ∠B与∠2 （3）图中有几对相等的角？ ∠1=∠ B、 ∠2=∠A 讲授新课 A B C 等腰直角三角形的两个锐角 为_____度. 45° 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 等腰直角三角形 讲授新课 【例2】如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD=BD=CD.请说明理由. A B D C 证明：∵△ABC为等腰直角三角形 ∴∠B=∠C=45°，∠BAC=90°，AB=AC ∵AD是斜边BC上的高 ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=45° ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ∴AD=BD=CD.   讲授新课 知识点二 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 操作——如图，剪一张直角三角形纸片。 A D B C 把纸片按照上图所示的方法折叠，再把纸片展开并连接CD，你有什么发现？ 4个小直角三角形全等 CD=AD=BD=AB 讲授新课 ∵∠BCD=∠B， ∴DB=DC（等角对等边）， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠A（等角的余角相等）， ∴DA=DC（等角对等边）， ∴DA=DB=DC，即CD是斜边AB上的中线，且CD=AB。 如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，∠B是锐角。在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D。 A D B C 讲授新课 于是，我们得到如下定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A D B C 符号语言： ∵∠ACB=90°，AD=BD， ∴CD=AB。 讲授新课 交流——试说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题。 逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，它是真命题。 证明如下： 讲授新课 如图，在△ABC中，AD=BD=CD。 证明：∵AD=CD，BD=CD， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，（等边对等角） ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACD+∠BCD+∠ACB=180°， ∴2∠ACB=180°，即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形。 A D B C 讲授新课 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 讲授新课 典例精析 【例3】一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B.已知AB＝200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？ 30° A C B D 讲授新课 解：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则 CD=AD=0.5AB=0.5×200=100m （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵∠B=300 ∴∠A=900－∠B=900－300=600 (直角三角形的两个锐角互余) ∴△ADC是等边三角形 (有一个角是600的等腰三角形是等边三角形) ∴AC=AD=100(m) 答:这名滑雪运动员的高度下降了100m. 30° A C B D 讲授新课 练一练 1.已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为______. 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=5，则AB=_____ 5cm 10 讲授新课 3.在Rt△ABC中,BD是斜边AC上的中线,∠A=30°. (1)∠C=______∠ABD=_____ ∠BDC=______ ∠CBD=_____ (2) △BDC是什么三角形？ (3) 此时BC与AC有什么关系？ 等边三角形 60° 30° 60° 60° 讲授新课 知识点三 含30°角的直角三角形 问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ A C B 讲授新课 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 讲授新课 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 你还能用其他方法证明吗？ 讲授新课 证明：在△ABC 中， ∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A B C D 证明方法：倍长法 ∴　BC = AB．　　 ∴BC = BD．　　 讲授新课 E A B C 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴BC = AB．　　 证明方法：截半法 讲授新课 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 讲授新课 判断下列说法是否正确： 1.直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2.三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3.直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4.直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． √ 讲授新课 典例精析 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 讲授新课 练一练 1、如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C. E C 讲授新课 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)， 讲授新课 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. 讲授新课 思考：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 3、如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(cm). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (cm). 答：立柱BC的长是3.7cm，DE的长是1.85cm. 讲授新课 4、已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， ) ) ∴CD= AC= ×20=10. 当堂检测 1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm，则AB=_____cm Ｃ Ｂ Ａ ３００ ８ 2.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,BD=＿___，　BE=____. A C E B D ４cm 　　　 ２cm 当堂检测 3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 4.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元 B B 当堂检测 5.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°． ∵∠C=90°， ∴AC= AE= BE=2.5． 当堂检测 6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AB=4，则AD的长为________。 【分析】∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60°，AC=AB=×4=2 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=×2=1 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 1 当堂检测 7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC=4，∠A=30°，则DE的长是________。 【分析】∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴AD=CD=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DE平分∠ADC，∴DE⊥AC（三线合一），即∠AED=90°， ∵∠A=30°，∴DE=AD，BC=AB=4 （在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴AB=8，AD=AB=4，DE=AD=2。 2 当堂检测 8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ. ∴△ADC≌△BEA. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， 当堂检测 ∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30°， ∴∠BQP=90°， 谢 谢~ $$