5.4.2 第2课时 单调性与最值-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第二课时　单调性与最值 第五章　三角函数 学习单元11　三角函数的图象与性质 [学习目标]　1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律,通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.　2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.　3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.　4.会求函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)及其单调区间. 知识点1　正弦函数、余弦函数的单调性 内容索引 知识点2　利用正弦函数与余弦函数的单调性比较大小 课时作业 巩固提升 知识点3　与正弦函数、余弦函数有关的最值问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　正弦函数、余弦函数的单调性 解析式 y=sin x y=cos x 图象     解析式 y=sin x y=cos x 单调性 在每一个闭区间 上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 上 都单调递减,其值从1减小到-1 在每一个闭区间 上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间 上都单调递减,其值从1减小到-1 (k∈Z) (k∈Z) [-π+2kπ,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) (1)求函数y=cos 2x的单调区间; 例1 [解]　(1)令2x=z, 由-π+2kπ≤z≤2kπ(k∈Z),得-π+2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤kπ(k∈Z). 由2kπ≤z≤π+2kπ(k∈Z),得2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z), 解得kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 所以y=cos 2x的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z). (2)求函数y=3sin 的单调递减区间; [解]　(2)∵y=3sin=-3sin , 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), 即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), ∴函数y=3sin的单调递减区间为(k∈Z). (3)求y=2sin,x∈[-π,0]的单调递增区间; [解]　(3)令-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z), 解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 又-π≤x≤0,∴-≤x≤0. 故y=2sin,x∈[-π,0]的单调递增区间为. (4)求函数y=cos的单调递增区间. [解]　(4)y=cos=cos, 令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z), 得2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z), ∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴单调递增区间为(k∈Z). 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上. 思维提升 1.(1)(多选)下列是函数y=|cos x|的增区间的是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 跟踪训练 AD (1)函数y=|cos x|=图象如图所示. 增区间有,,,…. (2)函数y=sin,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　 　.  (2)y=sin=-sin, 由+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),即+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 又x∈[0,π],故≤x≤π. 即单调递增区间为. 知识点2　利用正弦函数与余弦函数的单调性比较大小 不通过求值,比较下列各组数的大小: (1)sin 与sin ; [分析]　可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小. 例2 [解]　(1)因为sin =sin=sin , sin =sin =sin , 又y=sin x在上单调递增, 且0<<<, 所以sin <sin ,所以sin <sin . (2)cos 与cos ; [分析]　可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小. [解]　(2)因为cos =cos=cos , cos =cos=cos , 又y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以cos >cos ,所以cos >cos . (3)cos 1,sin 1; [分析]　可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小. [解]　(3)因为cos 1=sin,又0<-1<1<,且y=sin x在上单调递增, 所以sin<sin 1,即cos 1<sin 1. (4)cos 150°,sin 470°,cos 760°(按从小到大排列). [分析]　可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小. [解]　(4)cos 150°<0,sin 470°=sin 110°=cos 20°>0, cos 760°=cos 40°>0且cos 20°>cos 40°, 所以cos 150°<cos 760°<sin 470°. 1.比较三角函数值的大小时,先化三角函数为同名三角函数,再将角转化到同一个单调区间内. 2.对于正弦函数来说,一般将两个角转化到或内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内. 3.利用单调性比较大小.有时可先大致判断函数值的符号,若符号不同,则大小易判. 思维提升 2.比较下列各组数的大小: (1)cos与cos ; 跟踪训练 解:(1)cos=cos , cos =cos=cos . ∵0<<<π, 函数y=cos x在(0,π)上是减函数, ∴cos >cos , 即cos>cos . (2)sin 194°与cos 160°; 解: (2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°, ∴sin 14°<sin 70°. 从而-sin 14°>-sin 70°,即sin 194°>cos 160°. (3)cos 1与sin 2. 解: (3)∵cos 1=sin,且y=sin x在上单调递减, 又>+1>2>, ∴sin<sin 2,故cos 1<sin 2. 知识点3　与正弦函数、余弦函数有关的最值问题 解析式 y=sin x y=cos x 最值 当 时,ymax=1; 当 时,ymin=-1 当 时,ymax=1; 当 时,ymin=-1 x=+2kπ,k∈Z x=-+2kπ,k∈Z x=2kπ,k∈Z x=π+2kπ,k∈Z 求下列函数的最大值和最小值: (1)y=3+2cos; [分析]　第(1)(2)两个题,利用整体思想将问题转化为求余弦函数、正弦函数的最大(小)值问题. 例3 [解]　(1)因为-1≤cos≤1, 所以当cos=1时,ymax=5; 当cos=-1时,ymin=1, 所以函数y=3+2cos的最大值为5,最小值为1. (2)f(x)=sin,x∈; [分析]　第(2)题,要注意x的取值范围. [解]　(2)当x∈时,2x-∈, 由函数图象(图略)知, f(x)=sin∈, 即-≤sin≤1, 所以f(x)在上的最大值为1,最小值为-. (3)求函数y=-2cos2x+2sin x+3,x∈的最大值和最小值. [分析]　第(3)题,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求最值,要注意t的取值范围. [解]　(3)y=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1=2+. 令t=sin x, 因为x∈,所以≤sin x≤1, 所以≤t≤1.函数y=2+,当t=1时,ymax=5;当t=时,ymin=, 所以函数y=-2cos2x+2sin x+3,x∈的最大值为5,最小值为. 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的三角函数值域(或最值)问题,要注意利用整体代换思想.对有限定范围的求值域(或最值)问题,要注意x的取值范围,一般情况下先利用x的取值范围,求出ωx+φ的范围,再求三角函数的值域(或最值). 思维提升 3.对于函数y=(0<x<π),下列结论中正确的是(　　) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值也无最小值 跟踪训练 B 因为y==1+, 又x∈(0,π),所以sin x∈(0,1],所以y∈[2,+∞). 4.求y=2cos在[0,π]上的最大值与最小值及相应的x值. 解:∵0≤x≤π, ∴0≤2x≤2π, ∴-≤2x-≤π, 当2x-=0即x=时,f(x)有最大值为2; 当2x-=π即x=π时,f(x)有最小值为-2. 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=2sin 3x+1的最大值是(　　) A.1　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 因为函数y=sin 3x的最大值是1,所以函数y=2sin 3x的最大值是2,函数y=2sin 3x+1的最大值是3. C 2.下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<sin 168°<cos 10° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<cos 10°<sin 168° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° A 因为sin 168°=sin 12°,cos 10°=sin 80°,所以只需比较sin 11°,sin 12°,sin 80°的大小.因为0°<11°<12°<80°<90°,所以sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 3.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　.  ∵y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,∴只有当-π<a≤0时,满足条件.故a的取值范围是(-π,0]. (-π,0] 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.函数y=cos的单调递减区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 函数y=cos=cos, 令2kπ≤3x-≤2kπ+π(k∈Z), 得+≤x≤+(k∈Z), 故单调递减区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由y=|sin x|的图象,易得函数y=|sin x|的单调递增区间为(k∈Z).当k=1时,为函数y=|sin x|的一个单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cos A>sin B,则(　　) A.cos C>0 B.cos C<0 C.cos C=0 D.cos C≥0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为角A,B均为锐角, 所以0<A<,0<-B<. 因为cos A>sin B⇒cos A>cos, 又y=cos x在上单调递减, 所以A<-B,则A+B<, 因此C=π-(A+B)>, 在△ABC中,<C<π,故cos C<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A.sin>sin B.cos 400°>cos(-50°) C.sin 3>sin 2 D.sin >cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 y=sin x在上单调递增, 又<, ∴sin<sin,故A不成立; cos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°), 故B成立; y=sin x在上单调递减,又<2<3<π, ∴sin 2>sin 3,故C不成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 sin =-sin , cos =-cos =-sin =-sin . ∵0<<<,且y=sin x在上单调递增, ∴sin <sin ,∴sin >cos ,故D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 13 14 当x∈时,-≤sin x≤1. ∵y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1=+, ∴当sin x=时,ymin=; 当sin x=1或-时,ymax=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.函数y=(x∈R)的最大值是　　　　.  由题意得y=-1,而1≤2-cos x≤3, 所以≤≤4,所以≤y≤3.故函数y的最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 13 14 7.已知函数f(x)=2sin-1(ω>0)的周期是π. (1)求f(x)的单调递增区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵ω>0, ∴T==π, ∴ω=2, ∴f(x)=2sin-1. 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 则-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, ∴-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求f(x)在上的最值及其对应的x的值. 13 14 解: (2)∵0≤x≤, ∴-≤2x-≤, ∴-1≤2sin≤2, ∴-2≤2sin-1≤1. 当x=0时,f(x)min=-2; 当2x-=,即x=时,f(x)max=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-. (1)求a,b的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意知cos∈[-1,1], ∵b>0,所以-b<0. ∴ ∴ ∴f(x)=-cos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求y=f(x)的单调递增区间. 解: (2)∵f(x)=-cos, ∴2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z, ∴kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z, ∴f(x)的单调增区间为,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.对于函数f(x)=下列说法中正确的是(　　) A.该函数的值域是[-1,1] B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1 C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1 D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由图象容易看出,该函数的值域是,A错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1,B错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-,C错误;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且关于中心对称,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(1) C.f(2)<f(0)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为f(x)的最小正周期为π, 所以T==π,得ω=2, 则f(x)=sin(2x+φ), 又f(x)关于中心对称, 所以2×+φ=kπ,则φ=-+kπ,k∈Z, 又|φ|∈,∴当k=0时,φ=-, 则f(x)=sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 解得x∈,k∈Z. 故f(x)在上单调递增. 所以直线x=是f(x)的一条对称轴. 由正弦函数的图象知f(2)=f,且0<-2<1都在区间中, 故可得f(0)<f(2)<f(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.若x是△ABC中的最小内角,则y=sin x的值域为　　 　　.  在△ABC中,可知A+B+C=π, 因为x是△ABC中的最小内角,所以3x≤π,可得0<x≤, 又函数y=sin x在区间上单调递增, 且sin 0=0,sin =,所以sin x∈,即函数y=sin x的值域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则f=　　　　,ω的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴当x=时,f(x)取得最大值1. 则f=cos=1, ∴ω-=2kπ,k∈Z, ∴ω=8k+,k∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知函数f(x)=2cos,x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间; 解:(1)由余弦函数的单调性,令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)当x∈时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)函数f(x)=2cos的单调递增区间为,k∈Z, 令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z, 所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 且f=0,f=2,f=-, 所以当0≤k<2时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点, 即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根. 所以实数k的取值范围为[0,2). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,若α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:由f(x+1)=-f(x), 得f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期. 又函数f(x)在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增. 因为α,β是锐角三角形的两个内角, 则有α+β>, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即>α>-β>0, 因为y=sin x在上单调递增, 所以sin α>sin=cos β, 且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),所以f(sin α)>f(cos β). 13 14 $$