5.3.2 诱导公式(2)-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

5.3　诱导公式 第二课时　诱导公式(2) 第五章　三角函数 学习单元10　诱导公式 [学习目标]　1.借助单位圆的对称性,利用三角函数的定义推导出±α的正弦、余弦的诱导公式.　2.能熟练地利用诱导公式求值.　3.能利用诱导公式化简三角函数式或证明三角恒等式. 知识点1　诱导公式五、六 内容索引 知识点2　证明三角恒等式 课时作业 巩固提升 知识点3　化简三角函数式 课堂达标·素养提升 知识点4　求值 3 知识点1　诱导公式五、六 公式 公式五 公式六 角 -α +α 图示     与角α的 终边关系 关于直线y=x对称   公式 公式五 公式六 正弦 sin=______ sin=______ 余弦 cos=_______ cos=_______ 口诀 函数名改变,符号看象限 cos α cos α sin α -sin α 以下说法正确的是(　　) A.诱导公式五、六中的角α只能是锐角 B.cos(90°+α)=sin α C.sin=cos α D.sin(270°-θ)=-cos θ [分析]　利用诱导公式判断. 例1 D A.诱导公式五、六中的角α是任意角. B.cos(90°+α)=-sin α. C.sin=-sin=-cos α. D.sin(270°-θ)=sin(180°+90°-θ)=-sin(90°-θ)=-cos θ. 1.诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系.可借用口诀“函数名改变,符号看象限”来记忆. 思维提升 2.推论: 诱导公式 公式七 公式八 sin=-cos α, cos=-sin α sin=-cos α, cos=sin α 1.下列选项中正确的是(　　) A.sin(90°+α)=-cos α B.cos=cos α C.sin=-cos α D.若α为第二象限角,则sin=-cos α 跟踪训练 D 知识点2　证明三角恒等式 利用诱导公式证明三角恒等式一般从较复杂的一边入手,由繁到简. (1)求证:=; [分析]　(1)等式右边较复杂,利用相应的诱导公式,从右往左证明. 例2 [证明]　(1)右边= = = = = = =左边, 所以原等式成立. (2)=-tan θ. [分析]　(2)等式左边较复杂,利用相应的诱导公式,从左往右证明. [证明]　(2)左边= = = =-tan θ=右边 所以原等式成立. 1.sin=-cos α,cos=sin α是诱导公式的推广. 2.利用诱导公式证明三角恒等式要特别注意等号两边的差异,包括角的差异、三角函数名的差异、次数的差异等. 思维提升 2.求证:=. 跟踪训练 证明:左边=====. 右边====. 所以左边=右边,故原等式成立. 知识点3　化简三角函数式 已知f(α)=,化简f(α). [分析]　观察三角函数式中角的形式,灵活运用诱导公式一~六进行化简. [解]　f(α)= ==-cos α, 故f(α)=-cos α. 例3 利用诱导公式化简的基本策略 对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角的终边所在的象限,防止弄错符号及三角函数名称. 思维提升 3.化简:. 解:原式= = =-sin θ. 跟踪训练 知识点4　求值 诱导公式五、六的作用:实现 与 的相互转化. 正弦函数 余弦函数 (1)已知cos=,则 cos=　　　　,sin=　　　　;  例4 - (1)cos=cos =-cos=-. sin=sin =cos =. (2)已知α为锐角,且cos=-,则 sin+sin=　　　 　.  (2)因为α为锐角,所以α+∈, sin==. sin+sin =sin+sin =-cos-sin=. 对给定的式子进行化简求值时,寻找已知角与所求角之间的关系是解题的关键,有时可利用互余、互补等关系进行求解. 思维提升 4.已知sin=,则cos等于(　　) A.-　　　　　　　 B.- C. D.± 跟踪训练 D ∵sin=sin=cos α=, ∴sin α=±=±, ∴cos=cos =sin α=±. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知sin α=,则cos等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C.- D.- cos=-sin α=-. C 2.(多选)以下与sin的值恒相等的式子为(　　) A.sin B.cos C.cos(π-θ) D.sin CD sin=-sin=-cos θ, 因为sin=cos θ,cos=-sin θ, cos(π-θ)=-cos θ,sin=-cos θ, 所以A,B错误,C,D正确. 3.已知角α的终边过点(3m,-2),tan(π+α)=,则实数 m=　　　　;cos=　　　　.  -2 由tan(π+α)=,得tan α=, ∴tan α==, ∴m=-2, ∴cos=-sin α=-=. 4.化简:=　　　　.  -tan θ 原式= = = =-tan θ. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知cos=,且|φ|<,则tan φ等于(　　) A.-　　　　　　　　 B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 ∵cos=-sin φ=,∴sin φ=-. ∵|φ|<,∴cos φ==, ∴tan φ==-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(　　) A.- B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-, 得-sin α-sin α=-, 所以sin α=, 所以cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知sin=,则cos的值等于(　　) A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 ∵sin=-sin =-cos=, ∴cos=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若cos 165°=a,则tan 195°=(　　) A. B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 ∵cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°, ∴cos 15°=-a, ∴sin 15°=, ∴tan 15°=, ∴tan 195°=tan(180°+15°)=tan 15°=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.cos 140°·sin 230°+cos(-50°)·sin(-220°)=　　　　　.  原式=cos(90°+50°)sin(180°+50°)+cos 50°·sin(50°-270°) =(-sin 50°)(-sin 50°)+cos 50°[-sin(270°-50°)] =sin250°+cos 50°cos 50°=sin250°+cos250°=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 6.在△ABC中,下列式子正确的为　　　　　.(填序号)  (1)cos(A+B)=cos C; (2)cos=sin; (3)sin(2A+B+C)=-sin A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)(3) 13 14 在△ABC中,A+B+C=π, ∴cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故(1)错误; 在△ABC中,=, ∴cos=cos=sin ,故(2)正确; sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,故(3)正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.求证:=1. 证明:左边= ==1=右边, 故等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知tan α=2,α∈. 求:(1)sin α,cos α; 解:(1)∵tan α=2,α∈, ∴ ∴sin α=-,cos α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2). 解: (2)法一:原式====-4. 法二:原式===-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)给出下列四个结论,其中正确的结论有(　　) A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角 B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α= C.若α≠(k∈Z),则tan=- D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1(n∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 14 由诱导公式二,知α∈R时,sin(π+α)=-sin α,所以A错误; 当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时cos α=; 当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(π-α)=-cos α, 此时cos α=-,所以B错误; 若α≠(k∈Z),则tan===-,所以C正确; 将sin α+cos α=1两边平方,得sin αcos α=0, 所以sin α=0或cos α=0. 若sin α=0,则cos α=1,此时sinnα+cosnα=1; 若cos α=0,则sin α=1,此时sinnα+cosnα=1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sin β= B.cos(π+β)= C.tan β= D.tan β= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 14 ∵sin(π+α)=-sin α=-, ∴sin α=. ∵α是任意角, ∴cos α=±=±. 若α+β=,则β=-α. ∴sin β=sin=cos α=±,故A符合条件; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cos(π+β)=-cos β=-cos=-sin α=-,故B不符合条件; cos β=cos=sin α=. 又sin β=±,∴tan β=±,故C符合条件,D不符合条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值=　　　　.  原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+sin245° =(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+sin245°=1+1+…+1+=44+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.函数y=loga(x+4)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在角θ的终边上,则cos的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知点A为(-3,4), ∴sin θ==, ∴cos=cos =-cos=-sin θ=-. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知-<α<0,且函数f(α)=cos-sin α·-1。 (1)化简f(α); 解:(1)f(α)=sin α-sin α·-1=sin α+sin α·-1=sin α+cos α. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若f(α)=,求sin αcos α和sin α-cos α的值. 解: (2)法一:由f(α)=sin α+cos α=, 平方可得sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 即2sin αcos α=-.所以sin αcos α=-. 因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=, 又-<α<0,所以sin α<0,cos α>0, 所以sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:联立方程 解得或 因为-<α<0,所以 所以sin αcos α=-,sin α-cos α=-. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:假设存在角α,β满足条件, 则 由①2+②2得sin2α+3cos2α=2.∴sin2α=, ∴sin α=±.∵α∈,∴α=±. 当α=时,cos β=,∵0<β<π,∴β=; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当α=-时,cos β=, ∵0<β<π,∴β=,此时①式不成立,故舍去. 综上,存在α=,β=满足条件. 13 14 $$