5.3.1 诱导公式(1)-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

5.3　诱导公式 第一课时　诱导公式(1) 第五章　三角函数 学习单元10　诱导公式 [学习目标]　1.借助单位圆的对称性,利用三角函数的定义推导出-α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.　2.能熟练地利用诱导公式求值.　3.能利用诱导公式化简三角函数式或证明三角恒等式. 知识点1　诱导公式一~四 内容索引 知识点2　给角求值 课时作业 巩固提升 知识点3　给值(式)求值 课堂达标·素养提升 知识点4　化简、证明 3 知识点1　诱导公式一~四 公式 公式一 公式二 公式三 公式四 角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α 图示         与角α终 边的关系 相同 关于原点 对称 关于x轴 对称 关于y轴 对称 公式二:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= ;  公式三:sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= ;  公式四:sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,tan(π-α)= .  -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α 以下说法正确的是(　　) A.诱导公式一、二、三、四中角α是任意角 B.点P(x,y)关于x轴的对称点是P'(-x,y) C.诱导公式中的符号是由角α的象限决定的 D.诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变 [分析]　利用诱导公式特点及三角函数的意义进行判断. 例1 D 诱导公式一、二、三、四记忆的口诀为:函数名不变,符号看象限.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值,如sin(π+α),若α看成锐角,则π+α的终边在第三象限,正弦在第三象限取负值,故sin(π+α)=-sin α. 思维提升 1.下列等式恒成立的是(　　) A.cos(-α)=-cos α B.sin(360°-α)=sin α C.tan(2π-α)=tan(π+α) D.cos(π+α)=cos(π-α) 跟踪训练 D 知识点2　给角求值 利用诱导公式一~四,可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.一般步骤如图: 求下列三角函数值: (1)sin(-1 200°)=　　　　　;  [分析]　利用诱导公式,我们将“负角变正角”“大角变小角”,直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数,再求值. 例2 - (1)sin(-1 200°)=-sin 1 200°, =-sin(3×360°+120°) =-sin 120°=-sin(180°-60°)=-sin 60° =-. (2)tan 945°=　　　　　;  [分析]　利用诱导公式,我们将“负角变正角”“大角变小角”,直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数,再求值. (2)tan 945°=tan(2×360°+225°)=tan 225° =tan(180°+45°)=tan 45°=1. 1　 (3)cos =　　　　　;  [分析]　利用诱导公式,我们将“负角变正角”“大角变小角”,直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数,再求值. (3)cos =cos=cos =cos=. (4)sin +tan -cos=　　　　.  [分析]　利用诱导公式,我们将“负角变正角”“大角变小角”,直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数,再求值. 0 (4)原式=sin+tan-cos =sin +tan-cos =sin -tan +cos =-1+=0. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1.“负化正”——用公式一或三来转化. 2.“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角. 3.“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. 4.“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 思维提升 2.求下列三角函数值: (1)cos(-480°)+sin 210°; 解:(1)原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30° =cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=--=-1. 跟踪训练 (2)sin·cos ·tan . 解: (2)原式=sin·cos·tan =sin ·cos·tan =sin·cos ·tan =-sin ·cos ·tan =-××=-. 知识点3　给值(式)求值 (1)已知tan α=,求的值; [分析]　(1)将所求三角函数式进行化简转化为齐次式,再利用弦化切进行求值. [解]　(1)因为tan α=, 所以====-. 例3 (2)已知sin(π+α)=,α∈,求tan(π-α)的值. [分析]　(2)利用诱导公式求出sin α,再利用诱导公式及同角三角函数的关系式求值. [解]　(2)因为sin(π+α)=-sin α, 根据条件得sin α=-, 又α∈, 所以cos α==, 所以tan α==-=-, 所以tan(π-α)=-tan α=. 已知cos=,则cos=　　　　.  [分析]　观察-α,α+两个角的关系,再利用诱导公式进行转化. cos =cos =-cos=-. 例4 - [变设问]　若本例中的条件不变,如何求cos?如何求cos-sin2的值? 解:cos=cos =cos =cos=. 因为cos=cos =-cos=-, sin2=sin2 =1-cos2 =1-=, 所以cos-sin2=-- =-. 知值求值问题的求解方法 1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式,将不同的角化为相同的角是解决问题的关键. 2.对于有条件的三角函数求值问题,求解的一般方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求角转化到已知角完成求值. 3.当所给的角是复合角时,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系. 思维提升 3.(1)已知sin(-110°)=a,则tan 70°=(　　) A.　　　　　　 B.- C. D.- 跟踪训练 B (1)∵sin(-110°)=-sin 110°=-sin 70°=a, ∴sin 70°=-a>0, ∴cos 70°=, ∴tan 70°==-. (2)已知sin=-,且θ∈,则cos =　　　　.  - (2)cos=cos=-cos, ∵θ∈,∴θ-∈, ∴cos>0, 即cos==, ∴cos=-. 知识点4　化简、证明 化简:(1); [分析]　先利用诱导公式化为同角α的三角函数,再用同角三角函数基本关系化简. [解]　(1)tan(-α-180°)=tan[-(180°+α)]=-tan(180°+α)=-tan α, cos(-180°+α)=cos[-(180°-α)]=cos(180°-α)=-cos α, 所以原式==-cos α. 例5 (2). [分析]　先利用诱导公式化为同角α的三角函数,再用同角三角函数基本关系化简. [解]　(2)原式= ===1. 利用诱导公式化简、证明三角函数式,一般先利用诱导公式将三角函数式化为同角三角函数式,再利用同角三角函数的基本关系变形求解. 思维提升 4.若tan(5π+α)=m,则的值为(　　) A.　　　　　　　 B. C.-1 D.1 因为tan(5π+α)=tan α=m, 原式=====. 跟踪训练 A 5.求证: =cos α. 证明:因为 ==cos α, 所以等式成立. 〈课堂达标·素养提升〉 1.cos 480°=(　　) A.　　　　　　　　 B.- C. D.- cos 480°=cos(360°+120°)=cos 120°=-cos 60°=-. D 2.的值等于　　　　.  原式= = ===-2. -2 3.已知tan=,则tan=　　　　.  tan=tan =-tan=-. - 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.sin 2 024°等于(　　) A.sin 44°　　　　　　　 B.-sin 44° C.sin 46° D.-sin 46° sin 2 024°=sin(5×360°+224°) =sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 2.sin 780°+tan 240°的值是(　　) A. B. C.+ D.-+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 sin 780°+tan 240°=sin 60°+tan(180°+60°) =+tan 60°=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则cos(π+α)=(　　) A. B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 由题意得P, 故cos α=-, 则cos(π+α)=-cos α=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选)已知sin(π-α)=,则cos(α-2 024π)的值为(　　) A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 13 14 由sin(π-α)=sin α=, cos(α-2 024π)=cos α=±=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知角α的终边与单位圆交于点P,点P关于x轴的对称点为M,点M关于原点的对称点为N,设角β的终边为射线ON.若sin α=,则tan β=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 13 14 由题意可得点P(cos α,sin α), 又因为P,M两点关于x轴对称, 所以点M(cos(-α),sin(-α)). 又因为N,M两点关于原点对称, 所以N(cos(π-α),sin(π-α)), 由sin α=,且0<α<,得cos α=, 则tan β=tan(π-α)=-tan α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知cos(508°-α)=,则cos(212°+α)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法一:因为cos(508°-α) =cos(360°+148°-α) =cos(148°-α)=, 所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°) =cos(α-148°)=cos(148°-α)=. 法二:cos(212°+α)=cos[720°-(508°-α)] =cos(508°-α)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.化简:(1); 解:(1)原式====-cos2α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)+(α为第四象限角). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)依题意知α为第四象限角,所以 + =+ =+ =+ ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知f(α)=. (1)化简f(α); 解:(1)f(α)==-cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值; 解: (2)∵sin(α-π)=-sin α=, ∴sin α=-. 又α是第三象限角, ∴cos α=-,∴f(α)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)若α=-,求f(α)的值. 解: (3)∵-=-6×2π+, ∴f=-cos =-cos =-cos =-. 即f(α)的值为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.log2的值为(　　) A.-1 B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 ∵cos=cos=cos=, ∴log2=log2=log2=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知A=+(k∈Z),则A的值是(　　) A.-1 B.-2 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 当k=2n,n∈Z时, A=+ =+=2; 当k=2n+1,n∈Z时, A=+ =+ =-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知f(x)=则f+f=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 13 14 f=sin=sin= sin =, f=f-1=f-1 =f-2=f-2 =sin-2=-sin -2 =--2=-, 故f+f=-=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(99)=2,则f(100)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵f(99)=asin(99π+α)+bcos(99π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asin α-bcos β=2, ∴asin α+bcos β=-2, ∴f(100)=asin(100π+α)+bcos(100π+β) =asin α+bcos β=-2. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.求值:(k∈Z). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:当k为偶数时,可设k=2n,n∈Z, 原式= ==-1; 当k为奇数时,可设k=2n+1,n∈Z. 原式= ==-1. 综上,原式=-1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.在①点P(1,3)在角α的终边上,②sin α=3cos α,③=2这三个条件中任选一个,回答下列问题. 已知在　　　　条件下,  (1)计算的值; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)若选择①,点P(1,3)在角α的终边上, 则tan α=3, 原式===7; 若选择②,由sin α=3cos α, 则tan α=3, 原式===7; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若选择③,=2, 可得=2,解得tan α=3, 原式===7. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)计算4sin αcos α+2cos2α的值. 解: (2)4sin αcos α+2cos2α===. 13 14 $$