4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(1)-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

4.4　对数函数 4.4.2　对数函数的图象和性质 第一课时　对数函数的图象和性质(1) 第四章　指数函数与对数函数 学习单元7　对数　对数函数 [学习目标]　1.能用描点法画出具体对数函数的图象.　2.初步掌握对数函数的图象和性质.　3.会利用对数函数的单调性比较大小. 知识点1　对数函数的图象问题 内容索引 知识点2　比较对数值的大小 课时作业 巩固提升 知识点3　与对数函数有关的单调性问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　对数函数的图象问题 1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质   y=logax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象       y=logax(a>0,且a≠1) 定义域 ________ 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 最值 _________________ 奇偶性 ________________ 共点性 图象过定点 ,即x=1时,y=0 (0,+∞) 无最大、最小值 非奇非偶函数 (1,0)   y=logax(a>0,且a≠1) 函数值 特点 当x∈(0,1)时, y∈ ; 当x∈[1,+∞)时, y∈_______ 当x∈(0,1)时, y∈ ; 当x∈[1,+∞)时, y∈______ 对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于 对称 (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x轴 2.底数的大小与对数函数图象的关系 两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”,如图所示. (1)函数f(x)=loga(2x-1)+2的图象恒过定点　　　　　;  [分析]　(1)注意loga1=0的应用. (1)令2x-1=1,得x=1,又f(1)=2,故f(x)的图象恒过定点(1,2). 例1 (1,2) (2)如图所示的曲线是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为　　 　　.  [分析]　(2)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴;当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴. b>a>1>d>c (2)由题图可知函数y=logax,y=logbx的底数a>1,b>1,函数y=logcx,y=logdx的底数0<c<1,0<d<1. 过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a>1>d>c. 1.与对数函数有关的函数图象恒过定点问题的依据是对任意的a>0且a≠1,都有loga1=0. 2.作出三点:,(1,0),(a,1),就能快速作出函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象. 3.关于不同对数函数的底的大小比较,可以过点(0,1)作平行于x轴的直线,交点的横坐标就是各底数值,从而易于比较大小. 思维提升 1.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为　　　　.  ∵函数的图象恒过定点(3,2), ∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c. 又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立, ∴c=2,3+b=1,∴b=-2,c=2. 跟踪训练 -2,2 知识点2　比较对数值的大小 对数函数值的变化 即当a>0,且x>0时,(a-1)(x-1)>0⇔y>0; (a-1)(x-1)<0⇔y<0. 底数 a>1 0<a<1 函数值变化 _________ __________ ___________ __________ x>1,y>0 x>1,y<0 0<x<1,y<0 0<x<1,y>0 比较下列各组数的大小: (1)log3.10.5与log3.10.2; [解]　(1)因为y=log3.1x在定义域(0,+∞)上是增函数,0.5>0.2, 所以log3.10.5>log3.10.2. 例2 (2)lo8与lo4; [解]　(2)法一:因为y=lox在定义域(0,+∞)上是减函数,8>4,所以lo8<lo4. 法二:lo8=-3,lo4=-2, 由-3<-2知lo8<lo4. (3)log56与log65; [解]　(3)因为log56>log55=1,log65<log66=1,所以log56>log65. (4)loga3.2与loga3.7(a>0,且a≠1). [解]　(4)当a>1时,y=logax在定义域(0,+∞)上是增函数,所以loga3.2<loga3.7; 当0<a<1时,y=logax在定义域(0,+∞)上是减函数,所以loga3.2>loga3.7. 比较对数值大小时常用的四种方法 1.同底数的利用对数函数的单调性. 2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3.底数和真数都不同,找中间量.中间量常常为“0”或“1”. 4.若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 思维提升 2.比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; 解:(1)因为y=log3x在定义域(0,+∞)上是增函数,所以log31.9<log32. 跟踪训练 (2)log23,log0.32; 解: (2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以log23>log0.32. (3)logaπ,loga3.14(a>0,且a≠1). 解: (3)当a>1时,函数y=logax在定义域(0,+∞)上是增函数,则有logaπ>loga3.14; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域(0,+∞)上是减函数,则有logaπ<loga3.14. 综上,当a>1时,logaπ>loga3.14; 当0<a<1时,logaπ<loga3.14. 知识点3　与对数函数有关的单调性问题 求复合函数的单调性要抓住两个要点 (1)单调区间必须是定义域的 ,任何一个端点都不能超出定义域. (2)若a>1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性 ;若0<a<1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性 .另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 子集 相同 相反 (1)求函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调区间; [分析]　根据复合函数单调性,“同增异减”求解,注意对数的真数大于0. [解]　(1)设t=x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,由于t=(x-1)2-4在区间(3,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-1)上单调递减,又y=lot在定义域内单调递减,因而函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,+∞). 例3 (2)讨论函数f(x)=(lox)2-2lox+2的单调性. [分析]　根据复合函数单调性,“同增异减”求解,注意对数的真数大于0. [解]　(2)函数f(x)=(lox)2-2lox+2=(lox-1)2+1. 设t=lox∈R,因而y=(t-1)2+1,当t∈(-∞,1)时,函数y=(t-1)2+1单调递减,当t∈(1,+∞)时,函数y=(t-1)2+1单调递增,而t=lox在定义域内单调递减,则当x∈时,f(x)单调递减,当x∈时,f(x)单调递增. 解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同增异减”的原则判断函数的单调性或利用函数的最值解决恒成立问题. (1)对于形如f(x)=logaφ(x)的函数单调性,往往换元设t=φ(x),然后结合函数t=φ(x)与对数函数y=logat的增减性进行判断,原则是“同增异减”,同时为更加清楚直观,往往作出相应函数的图象进行判断; (2)对于形如f(x)=m(logax)2+nlogax+q(m≠0)的函数单调性,往往换元设t=logax,然后结合二次函数与对数函数的增减性进行判断. 思维提升 3.(1)函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间为(　　) A.(-∞,1)　　　　　 B.(2,+∞) C.(-∞,0) D.(1,+∞) 跟踪训练 C (1)解不等式x2-2x>0,可得x<0或x>2,函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 内层函数u=x2-2x在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(2,+∞)上为增函数, 外层函数y=lou在(0,+∞)上为减函数. 由复合函数单调性“同增异减”可知,函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间为(-∞,0). (2)已知函数f(x)=log3(1-ax).若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,+∞) B. C.(1,2) D.(-∞,0) B (2)函数f(x)=log3(1-ax)的内层函数为u=1-ax,外层函数为y=log3u. 函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且外层函数y=log3u在(0,+∞)上为增函数, 则内层函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数, 且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,所以-a<0,得a>0,且umin=1-2a>0,解得a<.因此,实数a的取值范围是. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列不等式成立的是(其中a>0,且a≠1)(　　) A.loga5.1<loga5.9 B.lo2.1>lo2.2 C.log1.1(a+1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2 B 选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定函数的单调性,所以不成立; 选项B,因为以为底的对数函数是减函数,所以成立; 选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,所以不成立; 选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,所以不成立. 2.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(　　) A.0<a<b<1　　　　 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 根据C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,可得0<b<1,0<a<1,且b<a. B 3.已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n=　　　　.  因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5), 故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5. 所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 1 4.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3从小到大的关系是　　 　　.  x2<x3<x1 分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x2<x3<x1. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则b=(　　) A.0　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 由题意知函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(0,2),∴2=20+b=1+b,∴b=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 2.下列各式中错误的是(　　) A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6 C.log20.3<0.30.2 D.0.75-0.3<0.75-0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由函数y=3x单调递增得30.8>30.7,A正确;由函数y=log0.5x单调递减得log0.50.4>log0.50.6,B正确;由函数y=log2x单调递增得log20.3<log21=0,而0.30.2>0,所以log20.3<0.30.2,C正确;由函数y=0.75x单调递减得0.75-0.3>0.75-0.1,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(多选)已知a=log32,b=ln 2,c=lo2,d=,则(　　) A.a<b B.b<c　 C.a<d D.b>d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 14 易知0<a<b<1,A正确; 由于c=lo2<0,B错误; 利用函数单调性,a=log32>log3==d,C错误; 又b=ln 2>ln==d,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由题设知a>0,且a≠1,则t=2-ax在区间[0,1]上单调递减. 因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上单调递减, 所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0. 因此故1<a<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1,2) 13 14 因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数, 所以log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔ 即 所以1<m<2,即m的取值范围是(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知函数f(x)=则f(8)=　　　　.若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则实数m的取值范围是　　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 {0}∪[2,+∞) 13 14 当x=8时,f(8)=log28=3; 作出函数f(x)的图象,如图所示, 若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,由图象可知,当m≥2或m=0时满足条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; 解:(1)因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数, 又0.3<2,所以ln 0.3<ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); 解: (2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 综上所述,当a>1时,loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)log30.2,log40.2; 解: (3)因为0>log0.23>log0.24,所以<, 即log30.2<log40.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (4)log3π,logπ3. 解: (4)因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数,又π>3, 所以log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当x∈(-∞,0)时,求函数f(x)的解析式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设任意x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 所以f(-x)=log2(-x), 又f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,得f(-x)=f(x),所以f(x)=log2(-x)(x∈(-∞,0)). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象,写出函数f(x)的单调区间,并指出单调性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)画出函数图象如图所示. f(x)的单调增区间是(0,+∞),单调减区间是(-∞,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知函数f(x)=loga(x2-2ax+8)在区间[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.[2,3) C.(0,1)∪[2,+∞) D.(0,1)∪[2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 由题意可知,a>0且a≠1. 设g(x)=x2-2ax+8,可得其图象的对称轴方程为x=a. 当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,2]上单调递减,且g(x)>0, 可得解得2≤a<3; 当0<a<1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,2]上单调递增,且g(x)>0, 可得解得0<a<1. 综上可得,实数a的取值范围为(0,1)∪[2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(4,2),则下列说法中正确的是( 　　) A.函数f(x)是增函数 B.函数f(x)是偶函数 C.若x>1,则f(x)>0 D.若0<x1<x2,则<f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 13 14 由题意,得f(4)=2, 即loga4=2,∴a2=4. ∵a>0且a≠1,∴a=2, ∴f(x)=log2x, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,但不是偶函数,故A正确,B错误; 当x>1时,f(x)>0,故C正确; 当0<x1<x2,==log2x1x2=log2<log2=f,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知实数a,b满足loa=lob,则给出下面的五种关系,其中可能成立的序号为　　　　　.  ①0<a<b<1;②0<b<a<1;③1<b<a;④1<a<b;⑤b=a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②④⑤ 13 14 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lox与函数y=lox的图象,如图所示.若loa=lob>0,则0<b<a<1;若loa=lob<0,则1<a<b;若loa=lob=0,则a=b=1.故②④⑤可能成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0,且a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-3,-1] 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由f(0)<0得loga3<0,因此0<a<1. 由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0, 解得-3<x<1. 因此函数f(x)的定义域为(-3,1). 设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 所以当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,而0<a<1,即y=logau单调递减, 故f(x)的单调递减区间为(-3,-1]. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.若不等式x2-logmx<0在内恒成立,求实数m的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由x2-logmx<0,得x2<logmx,在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示. 要使x2<logmx在内恒成立,只要y=logmx在内的图象在y=x2图象的上方,于是0<m<1. 因为当x=时,y=x2=, 所以只要当x=时,y=logm≥=logm即可, 所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1. 即实数m的取值范围是. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设t(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a, 当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立, ∴3-2a>0,∴a<. 又a>0,且a≠1, ∴实数a的取值范围是(0,1)∪. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)假设存在这样的实数a. 由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=logat在区间[1,2]上为增函数, ∴a>1.又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a), ∴即 故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 13 14 $$