4.2.2 第2课时 指数函数的图象和性质(2)-【优化探究】2025-2026学年高中数学必修第一册同步导学案配套课件（人教A版2019）

4.2　指数函数 4.2.2　指数函数的图象和性质 第二课时　指数函数的图象和性质(2) 第四章　指数函数与对数函数 学习单元6　指数　指数函数 [学习目标]　掌握指数型函数的图象和性质. 知识点1　指数函数的图象变换 内容索引 知识点2　与指数函数有关的单调性问题 课时作业 巩固提升 知识点3　与指数函数有关的奇偶性问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　指数函数的图象变换 函数图象的变换规律 1.一般地,函数y=ax+m+n(a>0,且a≠1,m,n为实数)的图象是由函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象沿x轴向左(m>0)或向右(m<0)平移 个单位长度后,再沿y轴向上(n>0)或向下(n<0)平移 个单位长度得到的. 2.含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. |m| |n| 利用指数函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象: (1)y=f(x-1);(2)y=f(|x|); (3)y=f(x)-1;(4)y=-f(x); (5)y=|f(x)-1|;(6)y=-f(-x). [分析]　图象变换时,注意定点和渐近线. 例1 [解]　利用指数函数f(x)=2x的图象及变换作图法可作出所要求作的函数图象,其图象如图所示. 平移、对称、翻折变换及其注意点 1.平移变换: 思维提升 2.对称变换: 3.翻折变换: 函数y=f(|x|)的图象:将y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到左侧,替换原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,y=a|x|的图象关于y轴对称. 函数y=|f(x)|的图象:将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上方的部分. y=|ax-b|(b>0)的图象就是y=ax-b的图象在x轴上方的部分不动,把x轴下方的部分翻折到x轴上方. 1.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; 跟踪训练 解:(1)f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以 又因为a>0,且a≠1, 所以a=,b=-3. (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; 解: (2)因为f(x)单调递减,所以0<a<1. 又f(0)<0,即a0+b<0,所以b<-1. 故a的取值范围为(0,1),b的取值范围为(-∞,-1). (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围. 解: (3)画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示,要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3,+∞). 知识点2　与指数函数有关的单调性问题 当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有 的单调性;当0<a<1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有 的单调性. 相同 相反 判断函数y=的单调性. [分析]　根据复合函数的单调性“同增异减”求解. 例2 [解]　设u(x)=-x2+3x+2=-+, 易知u(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数. 当a>1时,y=ax在R上单调递增, 所以y=在区间上是增函数,在区间上是减函数. 求指数型函数的单调区间的注意点 由于指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调性的定义. 特别地,对于形如f(x)=ag(x)(a>0,且a≠1)的函数,可以利用复合函数的单调性,转化为指数函数y=ax及函数g(x)的单调性来处理. 思维提升 2.求函数y=的单调区间. 解:设u=x2-2x+3=(x-1)2+2, 则u=(x-1)2+2在区间(-∞,1]上为减函数,在区间[1,+∞)上为增函数. 又因为y=是R上的减函数, 所以函数y=的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞). 跟踪训练 知识点3　与指数函数有关的奇偶性问题 指数函数是 函数,但与指数函数有关的且具有奇偶性的函数也是常见的.与指数函数有关的函数奇偶性问题主要是通过奇偶性的 来求解或证明,其难点在于指数式的化简与变形. 非奇非偶 定义 已知函数f(x)=. (1)证明:f(x)为奇函数; [分析]　(1)利用奇偶性定义进行证明. (1)[证明]　由题知f(x)的定义域为R. f(-x)====-f(x), 所以f(x)为奇函数. 例3 (2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明. [分析]　(2)利用单调性定义判断. (2)[解]　f(x)在定义域上是增函数. 证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=-=-=. ∵x1<x2, ∴->0,+1>0,+1>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数. 与指数函数有关的奇函数和偶函数 若a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax-a-x,g(x)=,h(x)=都是奇函数,φ(x)=ax+a-x是偶函数. 思维提升 3.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值. 解:依题意,对一切x∈R,都有f(-x)=f(x), 所以+=+aex, 所以=0, 所以a-=0,即a2=1.又a>0,所以a=1. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=-的图象为(　　) D 将函数y=的图象关于x轴对称,即可得到. 2.(多选)若a>1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象一定过(　 　) A.第一象限　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ABC ∵a>1,且-1<b<0, ∴函数的图象如图所示. 故图象过第一、二、三象限. 3.函数f(x)=0.的单调递增区间为　　　　.  设u(x)=x2-2,则u(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增. 因为y=0.8u为减函数, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0]. (-∞,0] 4.若f(x)=为R上的奇函数,则实数a的值为　　　　.  因为f(x)=为R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,所以a=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知函数f(x)=,则函数y=f(x-1)的图象大致是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 f(x)=图象上所有的点向右平移1个单位长度得到函数f(x-1)的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数y=的单调递增区间为(　　) A.(-∞,+∞)　　　　 B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 ∵t=1-x是R上的减函数, y=是R上的减函数, ∴函数y=的单调递增区间为(-∞,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.函数f(x)=的图象(　　) A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 易知f(x)的定义域为R,关于原点对称. ∵f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 4.(多选)若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则必有(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.b>0 D.b<0 因为若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象过第一、三、四象限,所以a>1且b+1>1,即a>1且b>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 13 14 5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),若f(x)>0,则x的取值范围是　　 　　.  ∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴图象关于y轴对称, ∴不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-∞,-2)∪(2,+∞) 13 14 6.已知函数f(x)=a+的图象关于原点对称,求实数a的值为　　　　.  ∵函数f(x)=a+的图象关于原点对称, ∴函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即a+=-=-a-,即2a=--=--==1,解得a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(1)判断f(x)=的单调性,并求其值域; 解:(1)令u=x2-2x,则原函数变为y=. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增, 又∵y=在定义域(-∞,+∞)上单调递减, ∴y=在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴y=,u∈[-1,+∞), ∴0<≤=3, ∴原函数的值域为(0,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)把(1)中的函数改为“f(x)=”,求其单调区间. 解: (2)函数y=的定义域是R. 令t=-x2+2x,则y=2t. 当x∈(-∞,1]时,函数t=-x2+2x为增函数,函数y=2t是增函数,所以函数y=在区间(-∞,1]上是增函数; 当x∈[1,+∞)时,函数t=-x2+2x为减函数,函数y=2t是增函数,所以函数y=在区间[1,+∞)上是减函数. 综上,函数y=的单调减区间是[1,+∞),单调增区间是(-∞,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性; 解:(1)由题意,得f(0)==0, 所以a=1,所以f(x)=, 该函数是减函数,证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f(x2)-f(x1)=- =. 因为x1<x2,所以0<<, 所以-<0,(1+)(1+)>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). 所以该函数在定义域R上是减函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解: (2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 得f(t2-2t)<-f(2t2-k). 因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2), 由(1)知,f(x)是减函数,所以t2-2t>k-2t2, 即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立, 所以Δ=4+12k<0,得k<-即为所求. 故实数k的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的关系是(　　) A.f(-4)=f(1) B.f(-4)>f(1) C.f(-4)<f(1) D.不能确定 因为函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.又函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的图象关于直线x=-1对称,所以f(-4)>f(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 10.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2) B. C.(-∞,2] D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 由题意知函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤,即实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≤0时,f(x)=3x+a,则f(2)的值 为　　　　.  函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≤0时,f(x)=3x+a,可得f(0)=1+a=0,解得a=-1,则f(2)=-f(-2)=-(3-2-1)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若函数f(x)=+m-1的图象与x轴有公共点,则实数m的取值范围为　　　　.  函数f(x)=+m-1的图象与x轴有公共点,即m-1=-有实数解,由于-1≤-<0,故-1≤m-1<0,解得0≤m<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [0,1) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知函数f(x)=kax(k为常数,a>0,且a≠1)的图象过点A(0,1)和点B(2,16). (1)求函数f(x)的解析式; 解:(1)将点A(0,1)和点B(2,16)代入f(x), 得 解得 故f(x)=4x. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)g(x)=b+是奇函数,求常数b的值; 解: (2)由(1)得g(x)=b+, g(-x)=b+=b+=-g(x)=-b-,解得b=-. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)对任意的x1,x2∈R且x1≠x2,试比较f的大小. 解: (3)∵f=, =>=, ∴f<. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.设函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1). (1)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)f(1)=a-a-1=a-<0,即<0,而a>0,则a2-1<0,解得0<a<1,显然f(x)在R上单调递减. 又f(-x)=a-x-ax=-f(x),于是得f(x)在R上是奇函数, 从而有f(x2+tx)+f(4-x)<0等价于f(x2+tx)<-f(4-x)=f(x-4). 由原不等式恒成立可得x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0恒成立,亦即Δ=(t-1)2-4×4<0,解得-3<t<5, 所以实数t的取值范围是(-3,5). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若f(1)=,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)且g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)f(1)=a-a-1=a-==,即2a2-3a-2=0,而a>0,解得a=2, 所以g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=2x-2-x,显然t=2x-2-x在[1,+∞)上单调递增,则t=2x-2-x≥2-=, h(t)=t2-2mt+2,对称轴为t=m, 当m≥时,h(t)min=h(m)=m2-2m2+2=-2,解得m=2或m=-2(舍),则m=2; 当m<时,h(t)min=h=-2m×+2=-3m=-2,解得m=>不符合题意. 综上,实数m的值为2. 13 14 $$